אלקטרומגנטיות

אלקטרומגנטיות — הפיזיקה הבסיסית לכל מעגל, אנטנה ו אלקטרומגנטיות — הפיזיקה העומדת מאחורי כל מעגל, אנטנה ו- מנוע. מעגלים מסתרים את השדות בתוך החוטים; קורס זה פותח את הקופסה.

• יחידה 7.1 סוקרת את ערכת הכלים לחישוב וקטורי (מפעילי EE02, כעת עם קואורדינטות וסימטריות).
• יחידות 7.2–7.4 בונות סטטיקה: אלקטרוסטטיקה, מגנטוסטיקה והמשוואות המקומפות של מקסוול.
• יחידות 7.5–7.6 מפיצות גלים ומשדרות אותן לאורך קווי הולכה.
• יחידה 7.7 פותחת מדריכי גל ואנטנות.

המסר המתמשך הוא קשר אחד: חיבור רדיו בגרם-הרץ 3 בין שתי לוחות על שולחן עבודה — השדות שלו, הגל שלו, הכבל שלו, המדריך שלו, האנטנות שלו. כל שדה מתחת מחושב בשתי דרכים (גאוס מול אינטגרציה ישירה; אמפר מול ביוט-סבאר), וכל תשובה לגבי גל נבדקת מול מקרה גבולי (רוקן מושלם, מוליך מושלם, זרם ישר). (רווח חסר, מוליך מושלם, DC).

למה זה חשוב. מקלט GPS בטלפון קולט −130 dBm; האם זה עובד נקבע על ידי התפשטות וקורל. המקריים של EE02 הם ה גורם לגיאומטריה מציאותית להיות ניתנת לניהול. הרעיון, עם תמונה. לשדה יש זרימה ליח' נפח (ה-

התפוצצות) וסיבוב ליח' שטח (ה-קורל). לפני התפשטות) ומחזוריות ליחידת שטח (ה-קורל). לפני touching an integral, test the symmetry of the source: full spherical צילינדרית → צילינדר קואקסיאלי ($dA = r^{2}\sin θ\,dθ\,dφ$); אין → אינטגרציה ישירה לאורך נוסחת השדה. cylindrical → a coaxial cylinder ($dA = r\,dφ\,dl$); none → direct integration along the field formula.

המסקר. משפט המבולע

קובע שהזרימה הנטו החוצה דרך משטח סגור שווה לנפח האינטגרל של המקורות שלו. עבור מקור סימטרי, האינטגרל מתפשט ל$E \times A$; פתרון לשדה הוא אז שורה אחת — שורה זו היא כל הדוגמה לחוק גאוס בקורס זה.

דוגמה מפורשת 1 — מבולע עם קואורדינטות. ניקח $\mathbf{F} = (3x^{2}, 0, 0)$: $\nabla \cdot \mathbf{F} = \partial(3x^{2})/\partial x = 6x$, so at הנקודה $(2, 0, 0)$ המבולע הוא 12 ליחידת נפח. בדיקה בנקודה נקודה $(−2, 0, 0)$: השדה עדיין מצביע לאורך $+x$ ($3x^{2}$ לעולם לא מקור סימטרי, 12. (צפיפות המקור), לא האם הוא מצביע.

דוגמה מפורשת 2 — המשפט על ריבוע. הדיפלוקס של השדה $\mathbf{F}$ היוצא מהריבוע היחיד $[0,1]^{3}$, לפי מסלול הנפח: $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} 6x\,dx\,dy\,dz = 6 \cdot \tfrac{1}{2} = 3$. לפי מסלול פני השטח: רק הפנים $x = 1$ נושאות דיפלוקס ($3 \cdot 1 \cdot 1 = 3$; הפנים $x = 0$ יש להן $3x^{2} = 0$, הארבעה האחרים הם מקבילים ל$\mathbf{F}$) — סך הכל 3 ✓. שתי מסלולים, מספר אחד: המשפט הוא זהות חשבונית שאפשר תמיד לבדוק אותה.

שגיאות נפוצות. אינטגרציה של $r^{2}$ אך גזירה של $1/r^{2}$ (רוב דוגמאות גאוס מסתירות שלב כזה — כתבו את שניהם במפורש). שוכחים שהספירה $dA = r^{2}\sinθ\,dθ\,dφ$ יש לה $r^{2}$ שמנטרל את השדה $1/r^{2}$ — נטרול זה הוא השיטה. והחלת חוק גאוס ל מקורות לא סימטריים: אין סימטריה, אין $E \times A$, אין קיצור דרך.

סיכום. התפרקות = צפיפות יציאה, סליל = צפיפות סיבוב; הסימטריה בוחרת את הפני השטח; משפט התפרקות הוא הבדיקה בשתי הדרך הופכת כל תשובה כאן לבדיקה עצמית.

למה זה חשוב. כל קבל, כל כשל בבידוד, כל מגע חיישן הוא בעיית אלקטרוסטטיקה עם תווית רכיב.

הרעיון, עם תמונה. השדה של קולון מטען נקודתי, $E = q/(4\pi\varepsilon_{0}r^{2})\,\hat{r}$, מתרכז בחוק גאוס:

והסימטריה ממירה את האינטגרל לחישוב: עבור מקור בעל symmetric source, $E \cdot 4\pi r^{2} = Q_{enc}/\varepsilon_{0}$.

הגזירה. בתוך ספירה טעונה באופן אחיד ברדיוס $a$ ו צפיפות $\rho$, הטען הכלוא עולה לפי $r^{3}$ בעוד שהספירה הגאוסיאנית שטחה עולה לפי $r^{2}$:

הפוטנציאל עורם את השדה: $V(r) = -\int_{\infty}^{r} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$; הקיבול של isolated sphere follows, $C = Q/V = 4\pi\varepsilon_{0}a$ — about 1.1 pF per cm של רדיוס, לכן אובייקטים בחלל ריק כמעט לא מצטרכים. בנקודת מעבר דיאלקטרית תנאי הגבול הם: רכיב משיקי $E$ רציף, רכיב נורמלי $D = \varepsilon E$ משתנה בנקודות מטען חופשי על פני השטח.

דוגמה מוצגת 1 — הכדור, שתי האזורים. עם $\rho = 1\ \mu\text{C/m}^{3}$ וערך $a = 2$ ס"מ: בפני השטח $r = a$, שתי הנוסחאות נותנות $E = \rho a/3\varepsilon_{0} = (10^{-6} \cdot 0.02)/(3 \times 8.854 \times 10^{-12}) = 753$ V/m ✓ ערך אחד בשתי דרכים. במרחק $r = 4$ ס"מ (כפול הרדיוס) הביטוי החיצוני נותן ערך של $753/4 = 188$ V/m — ירידה לפי $1/r^{2}$, אוקטבה אחת מחוץ לכדור.

בתוך ובחוץ לאזור המטעון. עם 2, השדה צפיפות מטען ולתת דיאלקטריק אחיד וליניארי למלא את כל החלל, בתוך ומחוץ לאזור המטעון. עם $\varepsilon_{r} = 4$, השדה בכל מקום יורד פי 4× והערך במשטח הופך ל-188 V/m. ה- קוטביות משנה $E$, בעוד ש-$D = \varepsilon E$ נשאר ללא שינוי עבור ה- אותו מטען חופשי. המטען הקשור בתוך הכדור הוא $Q_{bound} = -(1 - 1/\varepsilon_{r})Q_{free} = -0.75Q_{free}$. מתפלג דרך נפח המטעון. אין מטען קשור נוסף מטען פני שטח ב$r = a$, מכיוון שהדיאלקטר זהה משני הצדדים והיפוך הקוטביות רציף שם. כדור דיאלקטרי מוקף בוואקום הוא בעימת ערך גבול שונה.

שגיאות נפוצות. שימוש ב$4\pi r^{2}$ כאשר הגיאומטריה היא צילינדר ($2\pi r l$). ערבוב בין $\varepsilon_{0}$ ל$\varepsilon = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}$ באמצע הפתרון — בחרו סוג הסכמה אחד לכל שאלה. וכן שימוש בנוסחה החיצונית (מטען נקודתי) בתוך הכדור: מה שמעניין את גאוס הוא המטען הכלוא, לא המטען הכולל. גאוס רואה.

סיכום. חוק גאוס בשילוב סימטריה: $E \times A = Q_{enc}/\varepsilon$; השדה מתגדל ליניארית בתוך הכדור, יורד לפי $1/r^{2}$ מחוץ לו, ומתאים בפני משטח. דיאלקטר מפריד שדות באמצעות $\varepsilon_{r}$ ואגור את הפרש הפוטנציאל כמטען קשור.

למה זה חשוב. מנועים, ממסרים, מגנטי MRI וכל סליל מתחילים בזוג חוקים זהה: ביאו-סבאר למקרה הכללי, אמפיר כאשר סימטריה נוחה.

הרעיון, עם תמונה. זרמים יוצרים שדות. חוק ביאו-סבאר אינטגרל כל תרומת אלמנט זרם; חוק אמפיר $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}I_{enc}$ עוטף את השדה סביב הזרם. מבחן הסימטריה מהיחידה 7.1 מחליט איזה להשתמש בו.

ההוכחה. עבור סולנואי אינסופי עם $n$ סלילים למטר, לקחת לולאה אמפרית מלבנית עם צלע ארוכה אחת בפנים (אורך $l$), צלע אחת בחוץ, וצלעות קצרות החותכות את הסלילים. הזרם הכלוא הוא $n l I$; השדה החיצוני של סולנואי אינסופי נעלם בגלל ביטול, והצלעות הקצרות אינן תורמות כלום (שדה מאונך ל הצלעות). לכן $B \cdot l = \mu_{0} n l I$:

השטף המגנטי $\Phi = \int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$ מוביל ל הנדסה $L = N\Phi/I$; עבור הסולנואי, $L/l = \mu_{0}n^{2}A$. ה כוח לורנץ $\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ מעוות מטען זז למעגל בעל רדיוס $r = mv/qB$ — מסלול הציקלון.

דוגמה מופעלת 1 — הסולנואיד המוחשב. עם $n = 1000$ הליכים/מ"מ ו $I = 2$ A: $B = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 2 = 2.51$ mT בתוך, אחיד לאורך הציר. בדיקת ביאו-סבאר תדרוש אינטגרציה של אלף לולאות — ומכאן שחשוב לבצע את מבחן הסימטריה קודם כל: קו אחד במקום עמודה.

דוגמה מופעלת 2 — המסלול והכוח. מטען של $1\ \mu$C הנע במהירות $10^{6}$ m/s מאונך לשדה מגנטי בעוצמת $1$ T חווה $F = qvB = 10^{-6} \times 10^{6} \times 1 = 1$ N — ועוגים ברדיוס $r = mv/qB$: עבור אלקטרון (מסה $m = 9.11 \times 10^{-31}$ kg), $r = (9.11 \times 10^{-31} \times 10^{6})/(1.6 \times 10^{-19} \times 1) = 5.7\ \mu$m — ה רדיוס הקיכליתורון הקובע גיאומטריה למגטרון ולספקטרומטר. בדוק את המהירות: אלקטרון במהירות $10^{6}$ m/s נושא אנרגיה של 2.85 eV — נוח ללא השפעות יחסותיות, ולכן הנוסחה תקפה.

שגיאות נפוצות. שוכחים שמשפט אמפר דורש את הזרם הכולל זרם (לולאה עם $N$ סלילים → $NI$). בהנחה ש$\mathbf{B}$ רציף מעבר ללוח זרם (הרכיב המשיקי שלו משתנה ב $\mu_{0}K$). וגם משתמשים בנוסחת הסולנואיד לסליל קצר: "אינסופי" פירושו אורך ≫ קוטר, או שהשדה חלש ואינו אחיד.

סיכום. אמפר פלוס סימטריה: $B \cdot l = \mu_{0}I_{enc}$; הסולנואיד האינסופי סולנויד מתרכז זרימה, $B = \mu_{0}nI$, $L/l = \mu_{0}n^{2}A$; העברת במסלול מעגלי ברדיוס $r = mv/qB$.

למה זה חשוב. לכל רדיו, לכל פוטון, לכל מטען אלחוטי תלויה במונח היחיד שמקסוול הוסיף כדי לסגור את הלולאה.

הרעיון, עם תמונה. סטטיקה + זרם הזזה משלים את הקבוצה:

ארבעת הקופסאות הן לולאה: סיבוב $\mathbf{E}$ יוצר שינוי $\mathbf{B}$, זרימת $\mathbf{B}$ גורמת לשינוי $\mathbf{E}$ — גלים מתוחזקים עצמאית גליים

ההפקה. שימור המטען $\nabla \cdot \mathbf{J} = -\partial\rho/\partial t$ מחייב את התיקון: לקחת את הדיוורגנס של חוק אמפר המקורי ($\nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J}$) והצד שמאל הוא אפס זהותית בעוד שהצד הימני הוא $-\mu_{0}\partial\rho/\partial t$ — לא אפס כל עוד מטען מצטבר. הוספת $\mu_{0}\varepsilon_{0}\partial\mathbf{E}/\partial t$ תיקנה זאת, כי חוק גאוס הופך את הדיוורגנס של המונח הזה בדיו $+\mu_{0}\partial\rho/\partial t$. הלולאה נסגרת.

דוגמה מוצגת 1 — אמפר החסר בקבל. קבל לוחות מקבילים פלטיים מקביל נטען ב-$dQ/dt = 1$ A. בין הפלאטים אין זרם הולכה עדיין, אך לולאת אמפר סביב הכבל חייבת לקרוא אותו 1 A בכל משטח שבו היא מופצת. בין הפלאטים $E = Q/(\varepsilon_{0}A)$, ולכן $\varepsilon_{0}A \cdot \partial E/\partial t = dQ/dt = 1$ A ✓ — זרם ההזזה הוא זרם הולכה, מספרית.

דוגמה מופעלת 2 — מעבר למהירות הגל. במרחב חסר מקורות ($\rho = 0$, $\mathbf{J} = 0$), נגזור את משוואת הcurl של $\mathbf{E}$ ונציב: את $\mathbf{B}$ אחת:

משוואת הגל עם מהירות $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$. נציב את המספרים: $1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} = 3.0 \times 10^{8}$ מטר/שנייה — אור, שני קבועים שנמדדו על ספסל מעבדה. תקציב הקישור של הסיפור הנטל מתחיל כאן.

טעויות נפוצות. יחסה כזרם הזזה כסידור חשבונאות אופציונלי (הוא זה שמאפשר את עקביות המשוואות והוא זה שמוביל את הגל). שכחתי איזה משוואה מכילה סימן מינוס (משוואת פאראדיי: זו חוק לנץ, השדה המופעל מתנגד לשינוי). והחלת הדינמיקה הסטטית איבר התיקון העושה את עבודתו.

סיכום. ארבע משוואות, לולאה אחת; זרם הזזה מסגל שימור מטען ומביא, בוואקום, למשוואת הגל ב $c = 1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}$.

למה זה חשוב. Wi-Fi, רדאר, אור שמש ותדר נשיאה בתדר 3 GHz של קישור הספרייה הם כולם אותה פתרון: גל מישורי.

הרעיון, עם איור. במרחב חסר מקורות הפתרון הפשוט ביותר של משוואת הגל הוא גל מישורי: $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$ וה התפשטות המנוחה זהה, בשלב, עם $B = E/c$. ההתנגדות הפנימית $\eta_{0} = \sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}} = 377\ \Omega$ של החלל הפנוי קובעת את היחס בין $E$ ל$H$; וקטור פוינטינג $\mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{H}$ נקודות לאורך ההתפשטות עם $S = E^{2}/\eta_{0}$ (רגעי; עם ערכים יעילים של$E$ זהו צפיפות הספק ממוצעת, בעוד שאות קוסינוסי באמפליטודה $E_{0}$ מתמיינים ל-$E_{0}^{2}/2\eta_{0}$).

הגזירה. עבור $\mathbf{E} = E_{0}\cos(\omega t - kz)\,\hat{x}$, חוק פאראדי נותן $\partial B/\partial t = -\partial E/\partial z$, אינטגרציה ל- $B = (k/\omega)E = E/c$. צפיפות ההספק נובעת מההתנגדות: $H = E/\eta_{0}$, ולכן $S = E \times H = E^{2}/\eta_{0}$ — מספר אחד לגל.

דוגמה פותרת 1 — קריאת המספרים. גל ב-100 V/m (rms) בתדר 1 MHz: $B = 100/(3 \times 10^{8}) = 0.333\ \mu$T; אורך גל $\lambda = c/f = 300$ m; צפיפות הספק $S = 100^{2}/377 = 26.5$ W/m². בדוק את דרך ההתנגדות: $H = 100/377 = 0.265$ A/m, ו-$E \times H = 26.5$ ✓ — שתי הדרכים תואמות כי הן אותו יחס.

דוגמה מוצגת 2 — העלאת עוצמה לעור הדלקת. בתוך מוליך מוליך** הגל דועכ כ$e^{-\alpha z}$ עם עומק עור, $\delta = \sqrt{2/(\omega\mu\sigma)}$. נחושת ($\sigma = 5.8 \times 10^{7}$): בתדר 50 Hz, $\delta = \sqrt{2/(2\pi \cdot 50 \cdot 4\pi \times 10^{-7} \cdot 5.8 \times 10^{7})} = 9.3$ מ"מ; בתדר 1 GHz, $\delta = 2.1\ \mu$m — כ-4500 פעמים דק יותר עבור עשרים מיליון פעמים התדר ($\delta \propto 1/\sqrt{f}$ ✓). מספר אחד זה הסבר מדוע מגנים עובדים, מדוע זרמי RF רוכבים על הפני שטח, ולמה קו טבלת מעבדה של3 GHz דורש נחושת רחבה וחלקה: בתדר 3 GHz הזרם נמצא בתוך 1.2 המיקרומטר העליונים, ולכן מחוספסות הפניח וציפויים כלשהם שם קובעים את ההפרש (זהב ציפוי מגן מפני קורוזיה; הוא מוליך גרוע יותר מנחושת).

שגיאות נפוצות. שימוש ב-$c$ בתוך דיאלקטריק — מהירותם שם היא $1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ (≈ 0.67c במערכת הקואקסית למטה). ערבוב $E/H$ (377 Ω ב- $E/B$; מוליכים בולעים גלים כ-$c$ עם ששדות הגל נמצאים באותו שלב רק בסביבה ללא איבודים.

סיכום. גל מישורי: $E \perp B \perp \hat{k}$, $B = E/c$, $S = E^{2}/\eta_{0}$; מוליכים בולעים גלים כ-$e^{-z/\delta}$ עם $\delta = \sqrt{2/\omega\mu\sigma}$.

למה זה חשוב. שתי הלוחות בקו ה-Link מחוברים על ידי 40 ס"מ של קוואזי-סטטי; בתדר 3 ג'יגה הרץ זהו שישה אורכי גל — לא עוד מעגל, אלא קו העברה.

הרעיון, עם תמונה. משוואות הטלגרף מטפלים ב- הקו כעומס מפוזר: אינדוקטיביות $L'$ וקיבול $C'$ למטר: $\partial v/\partial x = -L'\partial i/\partial t$ ו $\partial i/\partial x = -C'\partial v/\partial t$. הפתרונות שלהם הם גלי מתח/זרם waves with $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$ and the line's characteristic impedance $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$.

המסקה. גזור את המשוואה הראשונה ב-$x$ ואת השנייה ב $t$ ובטוחים מ-$\partial^{2}i/\partial x \partial t$: משוואת גל עבור $v$ עם מהירות $1/\sqrt{L'C'}$. בעומס $Z_{L}$, התאמה נותנת את מקדם החזרה $\Gamma = (Z_{L} - Z_{0})/(Z_{L} + Z_{0})$: ערך קצר ($\Gamma = -1$) מתהפך, פתח ($\Gamma = +1$) מכפיל את המתח ו מבטל את הזרם — הדיאגרמת הקפיצה מעקבת אחרי כל קפיצה.

דוגמה מוצגת 1 — כבל קואקיאלי אמיתי. כבל קואקיאלי מסדרת RG-316 עם $L' = 250$ ננוהנרי/מטר ו$C' = 100$ פיקופרד/מטר: $Z_{0} = \sqrt{250 \times 10^{-9}/100 \times 10^{-12}} = \sqrt{2500} = 50\ \Omega$ ✓ (ה כבל הסטנדרטי — המספרים נבחרו במטרה לכך); $v_{p} = 1/\sqrt{250 \times 10^{-9} \times 100 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{8}$ m/s = 0.67c. הקישור העומדה על השולחן של 40 ס"מ ממנו הוא שש אורכי גל ב3 ג'יגה הרץ ($\lambda = v_{p}/f = 6.7$ ס"מ) — ומדגיש את הנקודה "קו, לא מעגל" באמצעות הרכיבים על השולחן.

דוגמה מוצגת 2 — צעד בסוף פתוח. הדלק קו זה ב50 אום עם 12 V צעד, סוף פתוח. הגל הפוגע נושא 12 V ו $12/50 = 0.24$ אמפר. בקצה הפתוח, $\Gamma = +1$: ההחזרה +12 וולט מכפילה מתח העומס ל-24 V והזרם המוחזר $-0.24$ A מבטל את הזרם הקדמי לאפס — מעגל פתוח אינו מושך זרם רציף ✓, ו ה-VSWR שואף לאינסוף; חתימת מעגל פתוח היא מה שהמד הגלים העומדים קורא.

טעויות נפוצות. שימוש ב$Z_{0}$ כתנגדות פיזית (זהו יחס; קו חסר הפסדים ב-50 Ω לא מפזר כלום). חישוב $\lambda$ עם $c$ במקום $v_{p}$ (שגיאה של 30% בPTFE). וגם שכחו את צד המקור החזר: נהג לא תואם מחזיר אור שוב, ודיאגרמת ההחזרה חייבת לכלול אותו.

סיכום. $Z_{0} = \sqrt{L'/C'}$, $v_{p} = 1/\sqrt{L'C'}$; $\Gamma = (Z_{L}-Z_{0})/(Z_{L}+Z_{0})$; פתיחות כפולה של מתח, קצר מבטל אותו; קווים ארוכים הם גלים, ודיאגרמת ההחזרה היא הרישום החשבונות.

מדוע זה חשוב. מעל ~10 GHz הקוואז מאבד יותר מדי; מקשר המעבדה התחבורה (וגם כל רדאר) עובר לקנה חלול, והמטר האחרון של כל קשר רדיו הוא תמיד אנטנה.

הרעיון, עם תמונה. קנה מוליך חלול מדריך גלים רק מעל תדר החיתוך: הדומיננטי של המדריך המלבני מוד חותך ב-$f_{c} = c/(2a)$ ($a$ = הממד הרחב). מעל חיתוך ה מדריך אורך הגל נמתח: $\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1 - (f_{c}/f)^{2}}$ — הגל צועד בסינוסים, ולכן פחות מחזורות ציריים מתאימים לכל מטר של צינור. אנטנות סוגרות את הקשר: חצי אורך גל דיפול יש מגבר 2.15 dBi והתנגדות כניסה ≈ 73 Ω; ה- משוואת פרייס משקללת את כל הקשר:

הגזירה. בין לוחות המדריך, השדה חייב להסתדר עם עומד מחצית-גל על פני $a$: $a = \lambda_{c}/2$ בחיתוך, ולכן $f_{c} = c/2a$. לאורך המדריך, קבוע ההתפשטות מקיים $k_{g}^{2} = k^{2} - (\pi/a)^{2}$; פתרון עבור האורך הגלי נותן את ה נוסחת המתיחה לעיל. שרשרת פרייס כופלת: הספק שידור × שני הגיינים × גורם הפיזור $(\lambda/4\pi R)^{2}$ — יחס שטחים, ה פתח האנטנה על שטח הכדור.

דוגמה מודגמת 1 — WR-90 בתדר X. מדריך גלים WR-90 הוא $a = 22.86$ מ"מ: $f_{c} = 3 \times 10^{8}/(2 \times 0.02286) = 6.56$ GHz — תדר X (8.2–12.4 GHz) עולה מעל התדר החיתוך. ב-10 GHz ($\lambda = 30$ מ"מ): $\lambda_{g} = 30/\sqrt{1 - 0.656^{2}} = 39.8$ מ"מ — ארוך ב-33% מאוויר חופשי. בדיקת הגבול: כאשר $f \to f_{c}$, $\lambda_{g} \to \infty$ (הגל נעצר); כאשר $f \to \infty$, $\lambda_{g} \to \lambda$ (הזיגזג נעלם) ✓.

דוגמה מודגמת 2 — תקציב הקישור בשולחן העבודה. שני אנטנות בעלות 10 dBi (G = 10) מוצבות במרחק 1 מ' זה מזה בשולחן, בתדר 3 GHz ($\lambda = 0.1$ מ'): $P_{r}/P_{t} = 10 \times 10 \times (0.1/(4\pi \times 1))^{2} = 100 \times 6.33 \times 10^{-5} = 6.3 \times 10^{-3}$ — 22 dB של איבוד, עדיין קל לשולחן העבודה. השקה ללוחות אותם במרחק 1 ק"מ: $(0.1/(4\pi \times 1000))^{2} = 6.33 \times 10^{-11}$, כפול 100 = $6.3 \times 10^{-9}$ (−82 dB) — תקציב הקישור שמחליט על גדלי הצלחות. נוסחה אחת, שני סקאלות, והיחס ביניהן הוא גיאומטריה טהורה ($R^{2}$, גורם של $10^{6}$ ✓).

טעויות נפוצות. שימוש בממד הצר של המדריך עבור $f_{c}$ (התדר נקבע על ידי הממד הרחב). יישום $\lambda_{g}$ כאילו היה $\lambda$ בפרייס (האורך-גל בחלל הפנוי שייך לשם). וציון רכישת האנטנה ב-dB בלי ה-i: 2.15 dBi היא ביחס לאיזוטרופית; ביחס לאנטנת דאיפול היא אפס.

סיכום. מדריך: $f_{c} = c/2a$, $\lambda_{g} = \lambda/\sqrt{1-(f_{c}/f)^{2}}$ (נמתח, אינסופי בגבול החיתוך). אנטנות: פרייס $P_{r}/P_{t} = G_{r}G_{t}(\lambda/4\pi R)^{2}$ — הגיאומטריה קובעת את האיבר האחרון בכל פעם.