שיטות מתמטיות להנדסת חשמל

זהו הקורס השני בהנדסת חשמל באוניברסיטה: שיטות מתמטיות—כלי העבודה עליו מבוסס שאר תואר הראשון. מעגלי DC של גל 1 דרשו רק אלגברה; החל ממעגלי AC כל שיטה נשענת על משהו שמוסבר כאן.

• יחידות 2.1–2.3 מעודכנות ומרחיבות את האלגברה: חשבון אינפיניטסימלי עבור אותות, מספרים מרוכבים, אלגברה ליניארית.
• יחידות 2.4–2.6 הן כלי העבודה של הדינמיקה: משוואות דיפרנציאליות, טרנספורמציות לפלאס, סדרות פורייה.
• יחידות 2.7–2.8 מטפלות באקראיות ובשדות: הסתברות רעשים, חשבון וקטורים לאלקטרומגנטיות. קלקולוס למכנית חשמלית.

כל יחידה נפתחת בעלילה, מציגה תמונה לפני הרעיון הרשמי, מגדירה מושגים בדיוק, מופקת מה שמקורות לימודים עתידיים מצטטים, פותר שני דוגמאות הולכות וגוברות שריבוי שלהן מאומת על ידי מחשב, מפרט טעויות קלאסיות, ומסתיים עם סיכום בשלושה שורות. ההרגל הוא אותו הרווח שמשתמש בו כל התואר: בדוק כל תשובה סימבולית במספר בערך מוחשי — אינטגרל כסכום, מערכת פתורה בהצבה, זוג טרנספורמציות על ידי חישוב שני האגפים.

עקוב סקופה עולה בצורה חלקה מ-0 ועד 5 V ומשטח. הזרם לתוך קבל בכל רגע תלוי ב-מהירות העלייה של העקוב — שיפוע — וה-מטען המסופק לאורך מרווח הוא ה-שטח מתחת לעקוב הזרם. אותות הם פונקציות של זמן, וניתוח קריא אותן: פונקציות של זמן, והק্যালקולוס קורא אותן: הנגזרת $dv/dt$ היא ה שיפוע — קצב שינוי רגעי; האינטגרל $\int i\,dt$ הוא שטח מצטבר.

לעבודות ההנדסה בחשמל בהמשך, שלושה עובדות מבצעות את רוב העבודה:

עבור העבודה בהנדסת חשמל הקרובה, שלושה עובדות מבצעות את רוב העבודה:

• הנגזרת של $e^{at}$ היא $a\cdot e^{at}$ — קצבים אקספוננציאליים הם השיפועים שלהם בעצמם.
• האינטגרל של פולס מלבני (גובה $A$, רוחב $τ$) הוא שטח $Aτ$.
• שטח משולש הוא חצי מהמלבן החוסם — ו הסקת הנזיחה העצמית של $\int_0^\infty A e^{-t/τ}\,dt = Aτ$. הגדרת הגבול: קבוע, ולכן ה"רוחב האפקטיבי" הוא $τ$).

גזירת הנגזרת העצמית של $e^{at}$. הגדרת הגבול: $\frac{d}{dt}e^{at} = \lim_{h\to 0}\frac{e^{a(t+h)} - e^{at}}{h} = e^{at}\lim_{h\to 0\frac{e^{ah} - 1}{h} = e^{at}\cdot a$ — הגורמים האקספוננציאליים יוצאים מהביטוי כגורם משותף מנה שוני, שהוא הסיבה המרכזית לכך שמעגלים המתנהים לפי $e^{at}$ נשארים בצורה זו תחת גזירה.

דוגמה מוצגת 1 (המדרגה הליניארית, מאומתת). קבל נטען ליניארית מ- 0 ועד 5 וולט בתוך 2 שניות ($v = 2.5t$): עם $C = 100\ \mu F$, $i = C\,dv/dt = 100\mu \times 2.5 = 250\ \mu A$ — קבוע, מכיוון שהשיפוע של המעלה הוא קבוע. המטען שהוספק הוא $\int i\,dt = 250\mu \times 2 = 500\ \mu C$, ששווה גם ל $C \times \Delta V = 100\mu \times 5$. שתי שיטות, תשובה אחת — זהו ההרגל לבדיקה.

דוגמה מופתרת 2 (הפולס האקספוננציאלי, מוגבר). פולס חיישן דועה כ $i(t) = 5 e^{-t/0.2}$ מיליאמפר (שיא 5 מיליאמפר, זמן קבוע $τ = 0.2$ שניות). המטען הכולל הוא השטח $\int_0^\infty 5e^{-t/0.2} dt = 5 \times 0.2 = 1.0$ מילי-קולון — הפעולה של "הרוחב האפקטיבי". השיפוע המקסימלי הוא ב$t = 0$: $\frac{di}{dt} = -\frac{5}{0.2} = -25$ mA/s. בדקו בערך גס: מלבד אחד בגובה 5 mA על רוחב 0.2 s נותן בדיוק את אותו 1.0 mC — שהוא לא מקרה אלא המשמעות של $τ$.

טעויות נפוצות. גזירת הערך של מדרגה במקום הנטייה שלה (מתח קבוע 5 V אינו משמע זרם קבוע — רק נטייה קבועה כן). שכחתם שאינטגרציה היא ממונית: שטח מתחת לציר נחסר. מורידים יחידות בתוך האינטגרל ($\mu A \times s = \mu C$, תמיד).

סיכום: נגזרת = שיפוע, אינטגרל = שטח ממוסמן; פונקציות אקספוננציאליות הן עצמן שיפועים; שטח של פולס הוא גובה × רוחב אפקטיבי ($τ$ עבור אקספוננציאל דעכת אקספוננציאל) — וכל תשובה כוללת יחידות מידה.

מתח AC הוא 230 V וגם פאזה מסוימת — מספר אחד לא יכול להכיל את שניהם, אך נקודה על המישור יכולה. מספר מרוכב $z = a + jb$ (עם $j^{2} = -1$) בעל חלק ממשי, חלק מדומי, מודולוס $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ וכן ארגומנט $θ = \text{atan2}(b, a)$. שתי הצורות מתחלפות זו בזו:

— זהות אולר, הגשר שמשתמשים בו בהנדסת חשמל בכל מקום. כפל מחבר ארגומנטים: $r_{1}e^{jθ_{1}} \cdot r_{2}e^{jθ_{2}} = r_{1}r_{2} e^{j(θ_{1}+θ_{2})}$ — סיבוב ושינוי קנה מידה, שזה בדיוק מה שהזזת פאזה ושינוי משרעת של סינוס נראים.

דוגמה פותרת 1 (חילוק שני פייזורים, נבדק על ידי ההפוך). חלקו $6\angle 30^{\circ}$ ב-$2\angle 80^{\circ}$: בצורה הקוטבית התשובה היא $3\angle -50^{\circ}$ ישירות — המודולוסים מחולקים, הארגומנטים מחוסרים. ביצוע אותו פעולה בצורה המלבנית דורש רציונליזציה של $(5.196 + j3)/(0.347 + j1.970)$ — אפשרי, אך מסלול הקוטבי הוא הסיבה ש-EE עובדת ב-פזורים. בדיקה נוספת: $3\angle -50^{\circ} \times 2\angle 80^{\circ} = 6\angle 30^{\circ}$ — הפעולה ההפוכה חייבת להחזיר לנקודת ההתחלה.

דוגמה פותרת 2 (משוואה ריבועית עם שורשים מרוכבים, מורחבת). רכיב מעוכב המשוואה האופיינית של המערכת $s^{2} + 2s + 5 = 0$ בעלת שורשים $s = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm j2$. בצורה הקוטבית השורשים הם הזוג המרוכב $2.236\angle \pm 116.6^{\circ}$ (מודולוס $\sqrt{1+4} = 2.236$). נבדק בהצבה: $(-1+j2)^{2} + 2(-1+j2) + 5 = (-3 - j4) + (-2 + j4) + 5 = 0$ בדיוק. השורשים' חלק ממשי $-1$ הוא קצב הדעיכה וחלק מדומה $2$ רד/ש' תדר הרזון תדר — מספר מרוכב אחד נושא את שני ההתנהגויות, ולכן שאר ה מערכות משמרות אותן יחד.

טעויות נפוצות. חיבור מודולוסים במקום חיבור מספרים מרוכבים (מודולוסים אינם מתחברים; חלקים מלבניים כן). שימוש בדיגריות בתוך $e^{jθ}$ נוסחאות שמניחות רדיאנים. בלבול בין כיוון סיבוב $j$: כפל ב-$j$ מסובב $+90°$, by $-j$ rotates $-90°$.

סיכום: שתי צורות, מספר אחד — מלבנית לחיבור, קוטבית לכפל וחלוקה; זהות אוילר היא הגשר; שורשים של משוואות ריבועיות נושאים דעיכה ב חלק הממשי ותדר בחלק המדומה.

שלושה זרמי רשת במעגל מצומד פירושו שלושה משוואות בשלושה נעלמים — ושלב הפתרון אינו "הצבה חכמה" אלא מטריצה. מע מערכת ליניארית $Ax = b$ פותרת על ידי החיסור; הופכת מטריצה $A^{-1}$ קיימת רק כאשר ה-קובעת אינה אפס. עבור מקרה 2×2:

הקובץ $ad - bc = 0$ מעיד על כך שמשוואות הן סינגולריות — אין פתרון יחיד, ובמעגלים זהו לולאת מקור תלוי או נקודה צפה.

גזירת ההופך 2×2. כפול $A$ במועמד: $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & ad-bc \end{pmatrix} = I$ — דגם ההחלפה וההפיכה קיים בדיוק כי איברי הרווחה הללו מתאפסו.

דוגמה מפורשת 1 (הכלה וההופך מסכימים). פתור $x + 2y = 8$, $3x + y = 9$. הכלה: חסר 3×שורה1 משורה2 → $-5y = -15$, ולכן $y = 3$, $x = 2$. בדוק באמצעות ההופך: נבדע $= 1\cdot1 - 2\cdot3 = -5$; $A^{-1} = \frac{1}{-5}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$; $x = (1\cdot8 - 2\cdot9)/{-5} = 2$ ✓, $y = (-3\cdot8 + 1\cdot9)/{-5} = 3$ ✓. שתי הדרך מסכימות; כל אחת היא בדיקה של השנייה.

דוגמה מפורשת 2 (מערכת הרשת, פתרון מכונתי, הוצאה לגובה). המשוואות 01 למעגל שני-רשת EE נסגרות למשוואה מטריצית אחת $\begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -4 & 10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i_A \\ i_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \end{pmatrix}$. ביטול (או ה הופך; det $= 60 - 16 = 44$) נותן $i_A = 2.455$ A, $i_B = 0.682$ A — מאומת איברים מחוץ לאלכסון, וככל שהקיפול גדול יותר, כך הדטרמיננטה רחוקה יותר מכפלת האלכסונים. עכשיו המקרה הסינגולרי: $-4$, איברי לא-אלכסון, וככל שהקוטר גדול יותר, כך הדטמיננטה רחוקה יותר איברים מחוץ לאלכסון; det = $x + 2y = 8$ משמעו שהגיאומטריה התמוטטה. $2x + 4y = 16$ בעל קובעת $1\cdot4 - 2\cdot2 = 0$ — המשוואה השנייה היא פשוט כפולה של הראשונה (קו שלם של פתרונות, ולא נקודה אחת).

שגיאות נפוצות. מערוב סדר השורות בין $A$ ל-$b$. הנחה שגויה קובעת אי-אפס מבטיחה פתרון קל — היא מבטיחה ייחודיות, לא נוחות. שכחון שמערכות סינגולריות יכולות להיוot אין פתרון (מישורים מקבילים) או אינסוף פתרונות (מישורים תלויים): הקובעת לא יכולה לדעת איזו מהן.

סיכום: $Ax = b$ עם det ≠ 0 יש לו בדיוק פתרון אחד; חיסור מחשב אותו, ההופך מחדש את הפתרון, וההצבה בודקת אותו; הצימוד נמצא ב- אל-אלכסוניים; det = 0 משמעותה שהגיאומטריה התמוטטה.

המתג נסגר ב-$t = 0$ ומתח הקבל זורם לערך החדש שלו — גלי 1's RC הייתה דוגמה אחת לדפוס שהיחידה הזו הופכת לגנרלי. המשוואות של המעגל הן משוואות דיפרנציאליות רגילות. משוואה ליניארית מסדר ראשון ODE עם מקדמים קבועים,

יש לה פתרון = חלק הומוגני $Ce^{-at}$ + חלק פרטי שנכפה על ידי $f$. האיבר ההומוגני מכיל את תנאי ההתחלה.

מדוע לפתרון יש צורה זו. עבור $\frac{dy}{dt} = -a(y - y_\infty)$, להיכנס מחדש כ$\frac{dy}{y - y_\infty} = -a\,dt$: כל צד הוא עכשיו אינטגרלי, מה שמניב $\ln(y - y_\infty) = -at + C$, כלומר $y - y_\infty = \tilde C e^{-at}$. הפער ל ערך הסופי דועה באופן מעריכי — כל מערכת מסדר ראשון מחליקה לאורך עקומת האחוזים העצמאית שלה.

דוגמה פותרת 1 (RC עם צעד פתור, בדיקת נקודת קצה). $dy/dt + 2y = 10$, $y(0) = 1$. הומוגני: $Ce^{-2t}$. פרטי (כניסה קבועה → יציאה קבועה): $y_{p} = 10/2 = 5$. לכן $y = 5 + Ce^{-2t}$; $y(0) = 5 + C = 1$ נותן $C = -4$: $y = 5 - 4e^{-2t}$. בדיקות: ב-$t = 0$, $y = 1$ ✓; כאשר $t \to \infty$, $y \to 5$ ו-$dy/dt \to 0$, ולכן המשוואה נראית כך: $0 + 2(5) = 10$ ✓. זוהי משוואת RC ביחידת 1.7 בצורה הכללית — השיטה, ולא המעגל, היא מה הקורס מלמד.

דוגמה פותרת 2 (כניסה דועכת, מאומת על ידי מחשב, מושגת). פתרו $\frac{dy}{dt} + 3y = 6e^{-t}$, $y(0) = 2$. ננסו פתרון פרטי $y_p = ke^{-t}$: $-ke^{-t} + 3ke^{-t} = 2ke^{-t} = 6e^{-t}$ נותן $k = 3$. לכן $y = 3e^{-t} + Ce^{-3t}$; $y(0) = 3 + C = 2$ gives $C = -1$: $y = 3e^{-t} - e^{-3t}$. בדקו ב $t = 0.5$: $y = 3(0.6065) - 0.2231 = 1.596$. בהצבה בצד שמאל: $dy/dt + 3y = -1.150 + 3(1.596) = 3.639$ — שווה לדיוק של המחשב. התגובה כוללת שתי $6e^{-0.5} = 3.639$ — שווה לדיוק המחשב. התגובה מכילה שתי אקספוננציאליות, ה-$(-1)$ של הקלט ו-$(-3)$ של המערכת.

טעויות נפוצות. פתרון המשוואה הומוגנית ושכחת החלק הפרטי לחלוטין. האפשרות לתנאי ההתחלה לבחור $k$ ב פתרון פרטי מניח (רק הקבוע ההומוגני חופשי). בדיקה של $t = 0$: יש לבדוק גם את הגבול הגדל-$t$, שבו המשוואה חייבת להתאזן עם $dy/dt \approx 0$.

סיכום: הומוגני + פרטי; התנאי ההתחתי בוחר מהמשפחה; הפרדת משתנים מסבירה את הצורה האקספוננציאלית; בדיקות קצה בשני הקצוות חופשיות.

פתרון ODEs ידנית עובד למשוואה אחת; מעגל עם שלושה אלמנטים אחסון דורש שלושה. המרת ללאפלאס ממירה גזירה לכפל ב-$s$, וממירה מערכות שלמות לאלגברה:

גזירת הזוג המרכזי. $\int_0^\infty e^{at}e^{-st}dt = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}dt = \frac{1}{s-a}$ (for $\text{Re}\,s > a$) — המעריך "אוכל" את ה הירידה שלו ונותר קוטב פשוט. חישוב זה יחיד מייצר את רוב הטבלה.

שלושה כללי פעולה: $\mathcal{L}\{dy/dt\} = sY - y(0)$ (התנאי ההתחתי נכנס אלגברית); $\mathcal{L}\{1\} = 1/s$; ושברים חלקיים מפצל שבר רציונלי $F(s)$ לחלקים הפיכים.

דוגמה פתורה 1 (ה-OSE היחידה-2.4, באמצעות המרה). פתור $dy/dt + 2y = 10$, $y(0) = 1$. במרחב המומר: $sY - 1 + 2Y = 10/s$, ולכן $Y = (10/s + 1)/(s + 2) = 10/[s(s+2)] + 1/(s+2)$. Partial fractions: $10/[s(s+2)] = 5/s - 5/(s+2)$. אז $Y = 5/s - 4/(s+2)$, והיפוך איבר לאיבר: $y = 5 - 4e^{-2t}$ — זהה לדרך הקלאסית, כאשר התנאי ההתחלתי מטופל באמצעות רישום מחשבון במקום זאת של אלגברה בסוף. ה-קוטבים של $Y$ (כאן $s = 0, -2$) מנבאים את ה ההתנהגות: קבוע ואקספוננט דועך.

דוגמה פותרת 2 (דרגה שנייה, מאומתת על ידי מכונה, מורחבת). $\frac{d^2y} {dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$. המרה: $(s^{2} + 3s + 2)Y = s + 3$ (חוק הנגזרת יושם פעמיים), ולכן $Y = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2}$. Invert: $y = 2e^{-t} - e^{-2t}$. Checks: $y(0) = 2 - 1 = 1$ ✓; $y'(0) = -2 + 2 = 0$ ✓; $y(1) = 0.736 - 0.135 = 0.600$ (machine-verified). The two poles $-1, -2$ הן שני הדעיכות, עם הקוטב האיטי יותר $-1$ השולט בזנב — העובדה שמרצאות לימודיות עתידיות יהפכו לקירובים בקוטב דומיננטי.

שגיאות נפוצות. לשכוח את ה$-y(0)$ בחוק הנגזרת (ואת המקבילות לדרגה שנייה $-y'(0) - s\,y(0)$). היפוך של $Y$ שבו השברים אינם מופרדים לחלוטין: $\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}$ חייב להפוך לשני חלקים פשוטים לפני כל חיפוש בטבלה. קריאת אפס במונה כקוטב (אפס חוסם; קוטב דועך).

סיכום: גזירה → הכפלה ב-$s$, כולל תנאי התחלה; חלקיות שברים שוברת את $Y$; קוטבים חוזה את ההתנהגות בזמן; ההמרה וה גל חשמלי מעוות מחמם נגד בדיוק כמו שילוב מסוים של סינוסיות טהורות — וזהו השילוב הוא לא ניחוש אלא חישוב. כל

גל רעידה מעוות מחמם נגד בדיוק כמו שילוב כלשהו של טהור סינוסואידות ייחשבו — וכל שילוב הוא חישוב, לא ניחוש. כל אות מחזורי הוא סכום של סינוסואידות. לתקופה $T$, בסיסית $ω_{0} = 2π/T$, סדרת פורייה היא

כאשר כל $a_{n}$, $b_{n}$ הוא ממוצע של $f$ מול הסינוואיד המתאים (אורתוגונליות: סינוסואידות שונות מתאפסות בממוצע זו על זו — ולכן כל מקדם ניתן להפרדה באופן עצמאי, כמו בנקודת תיאום של מסננים).

דוגמה מפורשת 1 (גל מרובע, מאומת בנקודה הקסומה). גל מרובע, ±1, תקופה $T$, סימטריה זרה: כל $a_{n} = 0$, ו-$b_{n} = 4/(nπ)$ עבור $n$ זרות — הסדרה $\frac{4}{\pi}(\sin\omega_0 t + \frac{1}{3}\sin 3\omega_0 t + \frac{1}{5}\sin 5\omega_0 t + \dots)$. The check that convinces: at $t = T/4$ ה סכום חייב לתת 1, ו-$\frac{4}{\pi}(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \dots)$ היא ה סדרת גרגורי ל-$π/4$ בקנה מידה — היא מתכנסת ל-1, בדיוק כפי שהגל המרובע דורש. כל רוחב פס של הרמוניה יורד לפי $1/n$: קצוות חד יותר דורשים יותר הרמוניות, והזוהי התמצית של סינון.

דוגמא פותרת 2 (הספק בהרמוניות, מאומת על ידי מחשב, מורחב). גל מרובע ±1 V על עומסה 1 Ω מספק הספק ממוצע של 1 W (הממוצע של קבוע בעוצמתו). משפט פרסבל אומר שההספקים ההרמוניים צריכים להתסכם לאותו 1 W: $\sum_{n\ \text{odd}} \frac{1}{2}\big(\frac{4}{n\pi}\big)^{2} = \frac{8}{\pi^{2}} \big(1 + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \dots\big)$. סכום ה-20 הראשונים הרמוניות הזרות נותן 0.990 W; הסדרה המלאה מתכנסת ל-1 W בדיוק (הסכום של הופכי ריבועים זרים הוא $π^{2}/8$, מה שמניע את הסך הכל $\frac{8}{\pi^{2}}\cdot\frac{\pi^{2}}{8} = 1$). הקריאה המעשית: ה בסיסית בלבד נושאת $\frac{8}{\pi^{2}} \approx 81\%$ מההספק — סינון נמוך-תדרים שמאפשר רק את ההרמוניה הראשונה עדיין מספק רוב ה מסנן נמוך-תדר שמאפשר מעבר רק להרמוניה הראשונה עדיין ממשיך לספק את רוב ה energy, and the 1/3-amplitude third harmonic adds just 9%.

שגיאות נפוצות. שימוש ב-$1/T$ (הרץ) במקום ב-$ω_0 = 2π/T$ (רדיאן/שנייה) כבסיס סיכום: אותות מחזוריים מתפרקים להרמוניות; אורתוגונליות בודדת כל מקדם באופן עצמאי; רוחבים יורדים כ$\frac{1}{2}$ בקצוות; משפט פרסבלו בודק את ההספק; התעלות גיבס לעולם אינה נעלמת. כל מדידה מכילה רעש; הרעש עצמו הוא אות לא ניתן לחזוי — אך הסטטיסטיקה שלו יציבה, ויציבות זו היא מה שהמכשירים מנצלים. משתנה אותו שטח, התפשטות שונה: σ קובע את הרוחב

סיכום: אותות תקופתיים מתפרקים להרמוניות; האורתוגונליות בוחרת כל מקדם בנפרד; המשרעות יורדות לפי $1/n$ בקצוות; פארסבל בודק אותו שטח, פיזור שונה: σ קובע את הרוחב

כל מדידה מכילה רעש; הרעש עצמו הוא אות שאין לחזות — אך ה-סטטיסטיקה שלו יציבה, ויציבות זו היא מה שהמכשירים מנצלים. א משתנה מקרי יש לו התפלגות סיכומית; ה- גאוסיאני (תקין) $N(\mu, \sigma^{2})$ מדגם רעש תרמי:

ציפיה $E[X]$ היא הממוצע לטווח ארוך; שונות $Var(X) = E[X^{2}] - \mu^{2}$ הוא ההתפשטות, ו-$\sigma$ — ה-תקן סטייה — היא משרעת הרעש שמוציאה אוסקילוסקופ. שני כללים לא רוב העבודה: וריאנסים עצמאיים מתווספים ($\sigma_{total} = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$), and the average of $n$ דגימות עצמאיות יש סטיית תקן $\sigma/\sqrt{n}$.

דוגמה מופת 1 (כלל ה-2σ והממוצעים). עבור $X \sim N(0, \sigma^{2})$ עם $\sigma = 2$ mV: $E[X] = 0$, $Var = 4$ (mV)², $\sigma = 2$ mV. הסיכון של חריגה מ$\pm 2\sigma$ הוא 4.55% (רצועת דו-צדדית 95% היא $\pm 1.96\sigma \approx \pm 3.9$ mV). Averaging 16 independent samples yields $2/\sqrt{16} = 0.5$ mV של רעש — כל ההיכיון לשיטת הממוצע של מכשיר.

דוגמה פותרת 2 (שתי מקורות רעש, חשבון ב-decibel, מורחב). מגבר שלב מוסיף 2 mV רעש לאות שנושא כבר 3 mV מהשלב הקודם שלב. הרעש המשולב אינו $3 + 2 = 5$ mV אלא $\sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13} = 3.61$ mV — השונות מתחברות, לא הסטיות, ולכן המקור הקטן תורם ביחס פחות מערכו הנראה. שיפור יחס אות-רעש מממוצע אותן 16 קריאות: $20\log_{10}(4) = 12.0$ dB. קריאת העיצוב: שישה עשר קריאות מקנות 12 dB, וכל 6 dB נוסף דורשים ארבע פעמים יותר קריאות (וארבע פעמים זמן מדידה); התיקון של מקור רעש דומיננטי בראשיתו אינו דורש זמן מדידה — מחצית ה-3 mV ל 1.5 mV תניב $\sqrt{1.5^{2} + 2^{2}} = 2.5$ mV, שיפור של 3.2 dB בכל קריאה בודדת.

שגיאות נפוצות. חיבור סטיות תקן במקום וריאנסים. בלבול $\sigma$ ו$\sigma^{2}$ בטבלאות ובנוסחאות (הסקופ מראה σ; נוסחאות בדרך כלל משתמשים ב-σ²). שכחון כי שיפור $\sigma/\sqrt{n}$ מניח עצמאות — רעש קורלטי (הגזע של תדירות החשמל) אינו מתאפס בעת ממוצע.

סיכום: המודל הגאוסי הוא הרעש; σ הוא הרעש בתנודות האוסילוסקופ; עצמאי השונות מצטברות, והממוצע מחלק את σ ב-√n; התקפו על המקור הדומיננטי, ולאחר ממוצעו.

חיישן מתח מדווח על מספר אחד בכל נקודה במרחב — נוף שלם של ערכים, ומשוואות מקסוול 07 הן הבעות לגבי הגיאומטריה של הנוף הזה. שדות הם פונקציות בעלות ערך וקטורי של מיקום. שלושה מפעילים על גיאומטריה. שדות הם פונקציות בעלות ערך וקטורי לפי מיקום. שלושה מפעילים על ש שדה $\mathbf{F}$:

• גרדיאנט $\nabla V$: מצביע למעלה במדרון התלול ביותר של סקלאר; הש שדה החשמלי הוא $E = -\nabla V$.
• דיברגנסיה $\nabla \cdot \mathbf{F}$: זרימת היציאה הנטו ליחידת נפח — צפיפות מטען בשדות חשמליים.
• Curl $\nabla \times \mathbf{F}$: סירקולציה ליחידת שטח — אפס באלקטרוסטטיקה, מנגנון ההשראה כאשר הוא אינו קיים.

דוגמה פותרת 1 (הגרדיאנט חזה את הנפילה, אושר נומרית). $V(x, y) = 3x^{2}y$ וולט. $\nabla V = (6xy, 3x^{2})$; בנקודה $(1, 2)$: $\nabla V = (12, 3)$, ולכן $E = -(12, 3)$ V/m. הבדיקה: הזיזו צעד קטן $\delta = (0.01, 0)$ מ-$(1, 2)$ — $V$ משתנה ב-$\approx 6xy\cdot\delta x = 12 \times 0.01 = 0.12$ V, and $-E\cdot\delta = 12 \times 0.01 = 0.12$ V: ה שדה כפול השלב חוזה את ירידת הפוטנציאל, שזו המשמעות של הגרדיאנט.

דוגמה פותרת 2 (פיזור וקורל בעבודה ידנית, מורחב). עבור $\mathbf{F} = (x^{2},\ xy,\ 3x^{2}z)$: $\nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + x + 3x^{2}$, שהוא ב$(1,1,1)$ שווה ל$2 + 1 + 3 = 6$ — מקור נטו. עבור השדה הסובב $\mathbf{G} = (-y,\ x,\ 0)$: רכיב ה$z$ של הקורל הוא $\frac{\partial G_y}{\partial x} - \frac{\partial G_x}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$ — סיבוב אחיד בעוצמת 2 בכל מקום: שדה המהירות של גוף קשיח הסובב ב-1 rad/s, שבה קורל שלו כפול מהמהירות הזוויתית שלו. חישובים אלו הם הגרסה הנקודתית של חוקי גאוס וסטוקס של EE07.

טעויות נפוצות. חישוב הגרדיאנט של וקטור או הפיזור של סקלרי — גרדיאנט הוא לסקלרים, דיברגנס לווקטורים. טעויות סימן ב-Curl: הרכיב ה$z$ הוא $\partial F_y/\partial x - \partial F_x/\partial y$; הפיכתם ופוכה את הכיוון. לשדה אחיד יש אפס פיזור ואפס קורל.

סיכום: גרדיאנט הוא ההתאמה החדה ביותר (סקלרי→ווקטור), דיברגנס הוא יציאה נטו (ווקטור→סקלרי), Curl הוא סירקולציה (ווקטור→ווקטור); צעד אחד חייב להתיישב $E \cdot \delta$ עם $\delta V$.