מערכות תקשורת

מה הקורס הזה הוא, וכיצד להשתמש בו

זוהי הקורס האחד-עשר באנג'יניריות חשמל באוניברסיטה: מערכות תקשורת. EE06 בנה את כלי האות; קורס זה שולח אותות דרך ערוצים אמיתיים – מודולציה על נשאים, דיגיטציה לבתים, הגנה על ידי קודים.

• יחידות 11.1–11.3 אנלוגיות: ספקטרים, AM, FM.
• יחידות 11.4–11.6 הן שרשרת דיגיטלית: רעש ו-SNR, PCM, מודולציה.
• יחידה 11.7 קובעת את הגבולות: אנטרופיה, קיבולת, קידוד.

הסיפור המתמשך הוא קישור רדיו אחד: מיקרופון, משדר, ערוץ רועש, מקלט ומודם נתונים החולקים את אותו כבל. כל יחידה למטה מזזה בלוק אחד מקישור זה קדימה, וכל מספר נבדק בדרך בה אבטח תקשורת בודק — כל טענת dB מוחזרת מחדש כיחס, כל תקציב הספק סגור (נושא + צדדים = סה"כ), וכל טענת רוחב פס נבדקה מול הערוץ שצריך להכיל.

אותות, ספקטרום ורוחב פס

למה זה חשוב. ויסות רדיו מוכר ספקטרום בקילו-הרצים; האם אות תואם לרישום שלו נקבע על פי הספקטרום שלו, וה הספקטרום נקבע על ידי צורת הגל.

הרעיון, עם תמונה. אות אמיתי תופס ספקטרום. הגל מכיל הרמוניות אי-זוגיות ב$4/\pi \cdot 1/k$ — ההרמונית ה3ית ב1/3 משרעת, וההרמונית ה5ית ב1/5 — ולכן רוחב פס הוא בחירת עיצוב לגבי כמות הזנב שאתם משאירים. עבור אותות מודולציה מבנה הפס הצדדי קובע: ערבוב מזיז את הספקטרום, אך לעולם לא יוצר צורה חדשה, ולכן אות רצועת בסיס בעל רוחב $W$ על גל נושא תופס $2W$ של ספקטרום רדיו.

הגזירה. סדרת פורייה כותבת את הגל המרובע כ $\frac{4}{\pi}\sum_{k\ \mathrm{odd}} \frac{1}{k}\sin(k\omega_{0}t)$, ולכן מסנן מעבר נמוך ב$B$ משאיר את ההרמוניות עם $kf_{0} \le B$, וההספק שאר מההספק נובע מאינטגרל פרסבל: הספק של כל הרמוניה הוא הריבוע של המשרעת שלה, ולכן רק ההרמוניה היסודית מובילה $1.273^{2}/(1.273^{2} + 0.424^{2} + 0.255^{2} + \ldots) \approx 81\%$.

דוגמה מפורשת 1 — גל מרובע 1 קילו-הרץ דרך מסנן מעבר נמוך 5 קילו-הרץ. המסנן מעביר את ההרמונית ה1 (מלאה בעוצמה $4/\pi = 1.273$) ואת ההרמונית ה3 ($1.273/3 = 0.424$), חוסם את ההרמונית ה5 (0.255) ומעבר. בדוק את ההספק שנשמר: $(1.273^{2} + 0.424^{2})/(1.273^{2} + 0.424^{2} + 0.255^{2} + \ldots)$ ≈ 90% — האוזן שומע את העיגול, המדד זז רק מעט, ולכן ערוץ הטלפוני 300–3400 Hz מעביר דיבור בהבנה מלאה בכל.

דוגמה פתורה 2 — העלייה לרישיון רדיו. מוזיקה בתדר 4 kHz ממוקמת על גבי נשיא בתדר 100 kHz באמצעות ערבוב: הספקטרום הופך לנשיא בעל צדדים כפולים המשתרעים מ-96 kHz עד 104 kHz — כלומר, $2W = 8$ kHz של רוחב הפס תפוס. אם הרישיון מאפשר 8 kHz, מודולציה בעוצמה ממלאה אותה בדיוק; אם הרישיון מאפשר רק 4 kHz, עליך לשדר צד אחד בלבד (SSB, נושא יחידה 11.2'). בדיקה: אף שילוב של מסננים לא יכול לדחס את התפוקה מתחת ל-$W$ מבלי למחוק את האות — חוק $2W$ הוא גיאומטריה, ולא אלקטרוניקה.

שגיאות נפוצות. הצגת "רוחב פס" ללא הגדרה (−3 dB? 98% מההספק? נקודת אפס ראשונה? — יש לציין איזו). האמונה שמסנן יכול להצר אות מודולציה מתחת לרוחב ההודעה שלו. ושכחה שההרמוניות של גל מרובע יורדות כ-$1/k$ בעוצמה אך כ-$1/k^{2}$ בהספק — הזנב חלש יותר ממה שנראה לעין. הזנב חלש ממה שנראה.

סיכום. ספקטרום נובע מצורות; זנב של מסנן נמוך תדירות הוא בחירת עיצוב נמדדת בשבר הספק; מודולציה מזזה ומכפילה. $2W$ הוא החוק לתפוקה נגדו נכתבים כל הרישיונות.

מודולציה בעוצמה

למה זה חשוב. AM היא מערכת הנשיא הפשוטה ביותר שעדיין סוגרת את התקציב האנרגטי שלה על נייר — והאריתמטיקה של תקציב זה מסבירה מדוע כל מהנדס שידור עבר למשהו אחר, ולמה גלאי מעטפת עדין מיוצר בכל רדיו.

הרעיון, עם תמונה. במודולציה בעוצמה המעטפת של נשיאה נושאת את ההודעה: $s(t) = A[1 + m \cdot x(t)]\cos(\omega_{c}t)$ עם מדד מודולציה $m \le 1$. הספקטרום הוא הנשיא פלוס שני סרטי צד ב- $f_{c} \pm f_{m}$, והתקציב האנרגטי מדויק: הספק בסרטי הצד $= (m^{2}/2)P_{c}$, כולל $P_{c}(1 + m^{2}/2)$.

הגזירה. עם אות הודעה בטון יחיד $x = \cos(\omega_{m}t)$: $s(t) = A\cos(\omega_{c}t) + \dfrac{mA}{2}\cos((\omega_{c}+\omega_{m})t) + \dfrac{mA}{2}\cos((\omega_{c}-\omega_{m})t)$ — כתוב את מכפלת הקוסינוסים כסכום וסרטי הצד יופיעו בעוצמת $mA/2$, ולכן הספק של $(mA/2)^{2}$ כל אחד ו-storing $\frac{m^{2}}{2}P_{c}$ יחד.

דוגמא פתורה 1 — התקציב ב-m = 0.5. נשיא בהספק 100 W: סרטי צד ב-SUM $\frac{0.25}{2} \times 100 = 12.5$ W, שידור 112.5 W, יעילות $12.5/112.5 = 11.1\%$ ✓. בפי הפיזיקלי המקסימלי $m = 1$: 50 W בסרטי צד, 150 W כולל, 33.3% — שני שליש העוצמה של המשדר מופנית לנשיאה שאינו נושא שום מידע. שני התקציבים נסגרים ב-$P_{c}(1 + m^{2}/2)$.

דוגמה מודגמת 2 — העברת המערכת לעיצוב הגלאי. האריזה הגלאי (דיודה ו-C) חייבת להשתחרר לאט מספיק כדי לעקוב אחר השקעים המהירים ביותר באריזה אך מהיר מספיק כדי לא לגשר על שיאי הנושא: $1/\omega_{c} \ll \tau \ll 1/\omega_{m}$. עבור $f_{c} = 100$ kHz ועבור $f_{m} = 5$ kHz, ערך $\tau$ חייב להיות בין $1.6\ \mu$s ל-$31.8\ \mu$s; ערך $\tau = 10\ \mu$s מתאים עם מרווח בשני הקצוות ✓. דחף את $m$ לכיוון 1 והגב העליון מתחדד ל$\dfrac{\sqrt{1-m^{2}}}{m\,\omega_{m}}$ — ב $m = 0.9$ הוא $\dfrac{\sqrt{0.19}}{0.9} \times \dfrac{1}{2\pi \cdot 5\,\text{kHz}} = 15.4\ \mu$s: אותו RC, פחות מחצי הזמן הפנוי, ומכאן ש- עמוק עיוות לפני שהכל השאר נכשל.

שגיאות נפוצות. הגדרת $m > 1$ (אריזת אריזה מתקפלת, פאזה הופכת הפוכה, ומול הספק נושא בדרך אחרת (צין את המכנה). וכן דרך ועל כוח נושא אחר (צין את המכנה). ו בחירת $\tau$ על ידי הנושא לבד: הנושא קובע רק את התחתון גב; התדר הגבוה ביותר של ההודעה ועומק $m$ קובעים את העליון.

סיכום. AM: אריזת אריזה $=$ הודעה; צדדים $m^{2}/2 \times P_{c}$; יעילות שיא ב33%; ה-R/C של גלאי חי בין $1/\omega_{c}$ ו-$\sqrt{1-m^{2}}/(m\,\omega_{m})$.

עיבוד זוויתי (FM/PM)

למה זה חשוב. FM משדר דרך סופות רעמים כי היא מחליפה רוחב פס להגנה בפני רעש, וגודל הפיצול — נוסחת קרסון מאחד הצדדים, הגברת יחס האות לרעש ומאידך — זוהי הסיכום הנקי ביותר בקורס ההנדסי.

הרעיון, עם תמונה. מודולציה בתדר שומרת את ההודעה בתוך התדר המיידי: $f_{i} = f_{c} + k_{f}x(t)$. הסטיית התדר $\Delta f$ ביחס לתדר ההודעה המקסימלי $f_{m}$ מספק את מדד המודולציה $\beta = \Delta f/f_{m}$, וחוק קרסון $B \approx 2(\Delta f + f_{m})$ מגבילה את הספקטרום המשמעותי.

הנגזרה. אינטגרציה של $f_i$ נותנת את הפזה $\phi(t) = 2\pi f_{c}t + \beta\sin(\omega_{m}t)$; פירוק $A\cos(\phi)$ באמצעות זהות ג'קובי-אנגר מייצר קווי ספקטרום ב $f_{c} \pm kf_{m}$ עם משקלים של בסל $J_{k}(\beta)$ — קווים משמעותיים נפסקים בסביבות $k \approx \beta + 1$, שזה בדיוק קרסון $2(\Delta f + f_{m})$. כלל קרסון מעריך רוחב פס המכיל כ-98% מה- העוצמה במודל FM הרגיל; זו אינה גזירה ספקטרלית מדויקת.

דוגמה פתורה 1 — שידורי FM. $\Delta f = 75$ kHz, $f_{m} = 15$ kHz: $\beta = 5$, $B = 2 \times 90 = 180$ kHz — והערוץ ב-200 kHz הרווח משאיר פס מגן של 20 kHz ✓. רצועה צרה ($\beta \ll 1$): $B$ מתכווץ לכ-$2f_{m}$, מצב ה-Walkie-Talkie. בדוק את הגבול: $\Delta f \to 0$ נותן $\beta \to 0$, $J_{0} \to 1$ — רק תדר נשיאה, כפי שצריך להיות.

דוגמה מופתרת 2 — העלאת מחיר ההסכמה. FM רחב-רצועה מקנה יחס אות לרעש אחרי גילוי: $(S/N)_{out} \approx (3\beta^{2}/2)\,(S/N)_{ref}$ ב- מצב SNR גבוה, שבו ההפניה $(S/N)_{ref}$ היא ההספק התקבל מאשר הרעש בסרט הודעת $f_{m}$ (מה העברת בסיס באותו עוצמה הייתה נותן). עבור $\beta = 5$: $10\log_{10}(37.5) = 15.7$ dB של שיפור — בתמורה ל-180 kHz של רוחב פס (6× ה-30 kHz ש-FM הייתה תופסת עבור אות שמע זהה ב-15 kHz) ואובדן לחלוטין מתחת לסף FM קרוב ליחס סיגנל לרעש של כ-10 dB בערוץ ב-180 kHz, שבו רעשי קליקים ו- תפיסה לוקחים בחלקם. הנהגה: 15.7 dB הגברה עבור 7.8 dB ספקטרום.

טעויות נפוצות. שימוש בחוק קרסון כאילו הוא מדויק (זהו 98%–power bound). Mixing up $\Delta f$ (a property of the modulator) מנגנון עם המסר בפאזה, $B$ — machinery with the message in the phase, $\beta_{PM} = k_{p}A_{m}$ — מודולטורי נתונים. בתוך מודמים נתונים.

Summary. $\beta = \Delta f/f_{m}$; $B \approx 2(\Delta f + f_{m})$; the wideband SNR gain is $3\beta^{2}/2$, real only above threshold.

Noise and SNR

מדוע זה חשוב. תקציב הרעש של הסיפור הנקודתי מסתיים ברצף רעש שאף מגבר לא יכול לחפור מתחתיו — רצף התרמי של היקום — וכל שלב מקלט קובע עד כמה מעליו האות מגיע. מגיע. מגיע.

ההגבר שלו מחלק את התרומה של כל שלב מאחריו. figure** $F$ measures how much, and Friis's cascade law אותם בלוקים, סדרה הפוכה, הבדל של $F = F_{1} + (F_{2}-1)/G_{1}$ dB — ההגבר בקצה המקלט הוא למעשה ההגנה המסקרן. רעש המוגדר על ידי כניסה בכל שלב נוסף בכניסה של

2.5 — לאחר שני

שלבים עם הגבר תקין, האיברים הזנביים נעלמים. רצף תרמי: כל שלב, וכל הגברה מוקדמת מדגמת את הרעש הבא לפי שלבי הגברה בריאים הזנבות נעלמים. רצפה תרמית: $F_{1} + (F_{2}-1)/G_{1} + (F_{3}-1)/(G_{1}G_{2}) + \ldots$ — לאחר שני שלבים של הגברה תקינה, האיברים האחרונים מתאפסות. רעש תרמי: $-174\ dBm/Hz + 10\log_{10}B$.

1 dB — גרוע ב-$F_{1} = 1.76$ dB עבור אותם רכיבים. ($F = 1.5$) ו-$G_{1} = 10$ דציבל מעל מעורב עם $F_{2} = 4.77$ דציבל ($F = 3$): המסלול מחשב $F = 1.5 + (3-1)/10 = 1.70 = 2.30$ דציבל ✓ — הערעור של 4.77 dB בקרסל לפיגוע של 0.5 dB. החלפו את הבלוקים: $3 + (1.5-1)/10 = 3.05 = 4.84$ dB — 2.5 dB גרוע יותר עבור אותם רכיבים. בערוץ FM ב-180 kHz, רצפת הרעש נמצאת ב- $-174 + 10\log_{10}(180\,000) = -121.4$ dBm.

דוגמה מופתרת 2 — מעבר למיזון הקשר. המשדר מספק $-20$ dBm באנטנת המקלט לאחר איבוד מסלול; ה ערוץ רחב ב-180 kHz. אות ב-$-20$ dBm מול רעש ב-$-121.4$ dBm הוא כניסה $S/N = 101.4$ דציבל — עצום. הרעש העצמי של המקלט מרים את הרעש על ידי ה-FN שלו של 2.3 דציבל ל-$-119.1$ dBm, ולכן יחס הנשיאה לרעש לאחר הקצה הקדמי הוא $-20 - (-119.1) = 99.1$ דציבל, גבוה מאוד מעבר לסף FM ההגברה של FM של היחידה 11.3 מוצגת ביחס לרזולוונס פס ההודעה: רעש בפס ה-15 kHz האודיו הוא $-174 + 10\log_{10}(15\,000) + 2.3 = -129.9$ dBm, כלומר $(S/N)_{ref} = 109.9$ דציבל, ומעביר המודולציה ב-15.7 dB מרים את ה-$S/N$ לאחר הגלאי לכ- 125.6 dB במצב ליניארי — הרבה מעבר לאודיו איכותי; הגבול הפרקטי הופך לסטריאו ולא לרעש. מיזון אחד, שלוש יחידות, נסגר.

טעויות נפוצות. חיבור מקדמי רעש ב-dB (המרה לליניארי ב-$F$ תחילה, חיבור יחסים, המרה חזרה פעם אחת). שכחון שהרצפה משתנה לפי רוחב הפס — ב-10 dB לכל עשור של ב-$B$. וציטוט מיזון אשכול ב-$F$ עבור טמפרטורת ייחוס או זימנסטיביות שאינן תואמות; b-$F$ מוגדר בטמפרטורה של b-290 K.

סיכום. b-$F_{total} = F_{1} + (F_{2}-1)/G_{1} + \ldots$; שלב ראשון שולט; רצפת רעש ב-b-$= -174\ dBm/Hz + 10\log_{10}B$; כל מיזון נסגר ב-arithmetic dB ברגע שהיחסים הם ליניאריים.

PCM ושליחה באות בסיס

למה זה חשוב. המיזון הנמשך הופך דיגיטלי בסקסיה זו: ה- מתח המיקרופון הופך לסביטים, הסביטים הופכים לסיביות, והצורה הגל קובעת כמה מהר הכבל יכול להעביר אותן.

הרעיון, עם תמונה. דיסקרטיזציה מוותרת על דיוק כדי לקבל סביטים: $n$ ביטים נותנים $2^{n}$ רמות ו- $SQNR \approx 6.02n + 1.76$ dB. דגימה ב-$f_{s} > 2W$ (ניקוויסט) ואז המרה היא PCM — הבסיס של כל רשת הטלפונים. בתדר בסיסי, מסנן קוסין מורם עם roll-off $\alpha$ מוותר על פס תדרים לתועלת זמן: $B = (1+\alpha)R_{s}/2$.

המסקר. מקדיט אחיד עם צעד $\Delta$ מעגל כל דגימה לרמה הקרובה ביותר; השגיאה היא אחידה ב-$[-\Delta/2, \Delta/2]$ with variance $\Delta^{2}/12$. מול סינוס בעוצמה מלאה של$(2^{n}\Delta)^{2}/8$, היחס הוא $1.5 \cdot 2^{2n}$ — $10\log_{10}$ ממנו הוא $6.02n + 1.76$ dB. ה- $6.02$ הוא ביט אחד = הכפל פעמיים = $10\log_{10}4$.

דוגמה פתורה 1 — מספר טלפון. קול 4 kHz נדגם ב-8 kHz עם 8 ביטים לדגימה: $8\,000 \times 8 = 64$ kbps; $SQNR = 6.02 \times 8 + 1.76 = 49.9$ dB ✓ (256 רמות). כל 1 dB נוספים של SQNR עולים 1/6 ביט לדגימה — בחירת 8 ביטים היא איכות שיחה הגדרת מחיר זה.

דוגמה מפורשת 2 — מעבר לקצה. ב-$R_{s} = 1$ Msym/s עם $\alpha = 0.35$: $B = 1.35 \times 1/2 = 0.675$ MHz ✓ — המספר שכל מפרט מודם מצטט. חתכו את נפילת התדר ל$\alpha = 0$ ואת ה קצוות סכין בזמניות. קידוד Manchester מכפיל את רוחב הפס לרכישת קו שעון חזק (הבחירה הקלאסית באתרנט): $R_s/2$; NRZ כולל רכיב DC ואין לו שעון. כל קוד קו הוא נקודה במישור רוחב פס מול שעון. מועד קצה הסכין. קידוד Manchester מכפיל את רוחב הפס לרכישת שעון (הבחירה הקלאסית באתרנט): האפס הספקטרלי הראשון שלו נמצא ב שעון (הבחירה הקלאסית לאתרנט): השבר הספקטרלי הראשון שלו נמצא ב- $2R$ מול ה-$R$ של NRZ, ול-NRZ יש רכיב DC וללא שעון. כל קוד קו הוא נקודה על הגרף של רוחב פס מול שעון בעת שוויון הפס הגנטי הוא אפס והכלשהו גלימת פילטר תהיה עיוות (aliases).

טעויות נפוצות. דגימה בדיוק ב-$2W$ (אי-השוויון היא מחמירה; בשוויון הפס הגיבוי הוא אפס וכל תנודת מסנן תגרם עיקוב). at equality the guard band is zero and any filter ripple aliases). $SQNR$ לא ניתן לבנייה — זהו הגבול שאותו פילטרים אמיתיים $\alpha = 0$ is unbuildable — it is the bound that real filters הקונסטלציה שמציירים מחליטה כמה מהם מתאימים לכל הרץ וכמה

סיכום. $SQNR = 6.02n + 1.76$ dB; ניוקיסט $f_s > 2W$; raised-cosine $B = (1+\alpha)R_{s}/2$; קודי קו מתחרים בספקטרל מול חוזק השעון.

מודולציה דיגיטלית

למה זה חשוב. הביטים בקשר חייבים לשאת נושאת, והקונסטלציה שאתה צייר קובעת כמה מהם יכנסו להרץ אחד וכיצד constellation you draw decides how many of them fit per hertz and how קל לרעש להפיל אותם מנקודותיהם.

הרעיון, עם תמונה. ביטים נוסעים על גבי נשאים כקבוצות כוכבים : ASK משנה את המשרעת, PSK מסובבת את הפאזה, QAM עושה שניהם. יותר נקודות לסמול = יותר ביטים/הרץ ורגישות רבה יותר לרעש — ה החלפה דו-ממדית הזו היא הסיפור כולו.

הגזירה. למרחק מינימלי שווה $d$, האנרגיה הממוצעת של הסמול היא הממוצע של הרדיוסים בריבוע, $E_{avg} = \overline{r^{2}}$, המחושב ישירות לפי קבוצת הכוכבים: ארבע הנקודות של QPSK יושבות על מעגל ברדיוס $r = d/\sqrt{2}$, ולכן $E_{avg} = r^{2} = d^{2}/2$; רשת ה16-QAM (4 נקודות פנימיות, 8 נקודות קצה, 4 נקודות פינה) ממיינת את הרדיוסים בריבוע ל-$E_{avg} = (4 \cdot 0.5 + 8 \cdot 2.5 + 4 \cdot 4.5)\,d^{2}/16 = 2.5d^{2}$ — a factor 5, i.e. 7.0 dB, for 2× the bits לסמול.

דוגמה מופעלת 1 — חשבון האנרגיה. QPSK: 2 ביטים/סמול ב $E = 0.5d^{2}$. 16-QAM: 4 ביטים/סמול ב$2.5d^{2}$ — חמישית מה אנרגיית הסמול, 7.0 dB. לביט בודד החשבון מתמתק: $0.25d^{2}$ מול $0.625d^{2}$ — גורם 2.5 = 4.0 dB, כי 16-QAM נושאת שני ביטים ל סמול ✓. בדוק עם מספר הטבלה: ה16-QAM הקלאסי מול QPSK חוסר ב$E_{b}/N_{0}$ ב-$10^{-6}$ BER מצוטט סביב 4 dB — ה גיאומטריה של ביט, נמדדת.

דוגמה מופת2 — עלייה לתל. תחת AWGN, ה-BER של BPSK הוא $Q(\sqrt{2E_{b}/N_{0}})$. ב-$E_{b}/N_{0} = 5$ dB: $\sqrt{2 \times 3.16} = 2.51$, $Q(2.51) \approx 6 \times 10^{-3}$. ב-9 dB ($\sqrt{2 \times 7.94} = 3.98$): $Q(3.98) \approx 3 \times 10^{-5}$. על 12 dB: $\approx 10^{-8}$. שלושה נקודות, צוק אחד — 4 dB קונים שני סדרי גודל ועוד 3 dB הבאים תוסיפו שלושה נוספים, ולכן תקציבי קשר מתמקדים ב- ה-decibel האחרון.

שגיאות נפוצות. השוואת קבוצות סימנים באנרגיה ממוצעת שווה כאשר ההשוואה הנכונה היא במרחק מינימלי שווה (או שיא שווה). קריאת עקומות $E_{b}/N_{0}$ ללא בדיקת התנורמליזציה. וזה רווחי ביטים לסמל גדלים כ$\log_{2}M$ בעוד שאנרגיה עולה הרבה מהר יותר ב-$M$ — התל הופך לתלול יותר.

סיכום. חשבון עם QPSK שווה-$d$ $d^{2}/2$, 16-QAM $2.5d^{2}$ (7 dB, 2× ביטים). BER של BPSK $Q(\sqrt{2E_{b}/N_{0}})$; העקומה היא תל — לתכנן את ה-dB לפני שהקישור יצא מהטווח.

מבוא למידע ולקידוד

למה זה חשוב. החלק האחרון מצייר קצוות המפה: ביטים ש המקור ראוי, הספרות שערוץ מאפשר, וכיצד קודים מיישמים מעשי לכיוון תיאוריה.

הרעיון, עם תמונה. אנטרופיה $H = -\sum p\log_{2}p$ מדד את ההפתעה של מקור ביט/סימול; הפער לקידוד באורך קבוע קידוד הוא עודפות. Huffman מסיר אותה מהמקור; קודי ערוץ מחלקים עודפות להגנה במקום זאת. הגב העליון הוא קיבולת ערוץ $C = B\log_{2}(1+S/N)$.

הגזירה. עבור מקור דו-אדי ($p$ הם חזקות שליליות של 2), האיחוד החסך של Huffman מייצר אורכים $\log_{2}(1/p)$ בדיוק, ולכן המוצע שווה ל$H$ — מושג, לא רק מתקרב; מקורות שאינם דו-אדי נמצאים בתוך ביט אחד.

דוגמה פותרת 1 — המקור הרביעי. הסתברויות 1/2, 1/4, 1/8, 1/8: ארבעת האיברים $p\log_{2}(1/p)$ הם 0.5, 0.5, 0.375, 0.375, כדי $H = 1.75$ ספרות ✓ מול 2 ספרות באורך קבוע — יעילות של 87.5%; אורכי Huffman 1, 2, 3, 3 מתאפסים בדיוק ל1.75 ✓ — דו-אדי, הגב הושג. קוד המהמינג (7,4): 4 נתונים + 3 פרטיטה, מרחק 3, מתקן כל טעות יחידה: קידוד 1011 → 0110011; שינוי ביט 5, הסינדרום מתחשב ל$101_{2} = 5$ ✓. קצב 4/7 (43% עודפות).

דוגמה פותרת 2 — עלייה לגב המודם. ערוץ בגודל 3 קילו-הרץ עם 30 dB SNR: $C = 3000 \times \log_{2}(1001) = 29.9$ kbps — גב המודם העליון. V.90/V.92 השגיבו ל56 kbps תחתון רק על ידי מעבר דיגיטלי עד החלפה — בתוך החוק. בדוק את הכיוון: 10 dB SNR נוסף מביא $\log_{2}(10) \approx 3.3$ ביטים/הרץ — ליניארי ברוחב פס, לוגריתמי בעוצמה.

שגיאות נפוצות. חישוב $H$ עם בסיס לוגריתם שגוי (ביטים = $\log_{2}$). האמונה שקוד הופמן תמיד עומד ב$H$ (רק כשהמקור דו-אדי). וגם קריאת $C$ כערובה — קודים שואפים אליה, אך אף אחד לא מגיע לה.

סיכום. $H = \sum p\log_{2}(1/p)$, שנמצא על ידי הופמן עבור מקורות דו-אדי מקורות; המספר הומינג (7,4) מתקן טעות אחת בעלות חוזר של 43%; $C = B\log_{2}(1+S/N)$ הוא הגג.