ניתוח מעגלים I (מתח ישיר)

זוהי הקורס הראשון בהנדסת חשמל באוניברסיטה: ניתוח מעגלים זרם ישר. מעגל DC הוא זה שבו זרמים ומתחים מתכנסים לערכים יציבים — סוללות, חיישנים, ספקי לוגיקה, ורשתות ההטיה בתוך כל מגבר. הקורס הוא סולם, וכל מדרגה משמשת את הבאה:

הקורס הוא סולם, וכל מדרגה משמשת את הבאה:

• יחידות 1.1 ו-1.2 דורשות רק אלגברה: כמויות, קונבנציות סימן, חוק אוהם ו- חוקי קירשוף.
• היחידות 1.3 עד 1.5 בונות שיטות שיטתיות — ניתוח צמתים ומעגלים, משארי רשת, ומגבר אופרציונלי אידיאלי — הממירות מעגלים ארוכים לחישובים קצרים.
• היחידות 1.6 ו-1.7 מוסיפות את אלמנטיה האחסון אנרגטי והתגובה הדחופית הראשונה , שבה נדרש החשבון האינפיניטסימלי.

כיצ לקרוא כל יחידה: סיפור קצר מסביר מדוע זה חשוב; תמונה או טריק הקונספט מגיע לפני כל נוסחה; לאחר מכן הניסוח המדויק; ולאחר מכן דוגמאות פתורות שהולכות ועשותות קשות יותר, שלב אחר שלב, כל אחת עם בדיקה בסוף; לאחר מכן השגיאות שאנשים מעשיים באמת; ולאחר מכן סיכום בשלושה שורות. כל מספר בדוגמאות הוא דבר שתוכל לבדוק בדרך שנייה — מעגל אחר, צמת לא בשימוש, מקרה גבולי — ואתה צריך לבנות הרגל זו כאן: בקורסים מאוחרים הבדיקה היא ההבדל בין טעות נתפסת לבין נתיך נשרף.

מטען לטעינה שמסומן "20 W" ומטבח חשמלי שמסומן "2000 W" שניהם מזיזים מטען. מדוע פי מאה יותר חזק? כדי לענות, יש להשתמש בשש הגדלים בכל מעגל שנשאלת בהן — וגם נהוג אחד ששומר על נכונות הסימנים שלהן.

למד אותן כשרשרת, לא כרשימה: מטען זז; הקצב שלו הוא זרם; זרם העובר דרך הפרש פוטנציאל מעביר אנרגיה; קצב ההעברה הזו הוא הספק.

• מטען $q$ נמדד ב-קולונים (C). קולון אחד הוא בערך $6.24 \times 10^{18}$ מטענים יסודיים. מטען שמור: הוא לעולם אינו נוצר או נבלע במעגל, אלא רק מוזז.
• זרם $i$ הוא קצב זרימת המטען, ב-אמפרים (A): $i = dq/dt$, ולכן 1 A = 1 C/s.
• Voltage $v$ is energy per unit charge, in volts (V): 1 V = 1 J/C. It is always measured between two points; "5 V at a node" means 5 V בין הנקודה הזו לנקודת הייחוס (הארקה).
• הספק $p$ הוא אנרגיה ליחידת זמן, ב-וואטים (W): $p = vi$, ולכן 1 W = 1 J/s.
• אנרגיה $w$ היא הספק אינטגרלי לפי זמן, $w = \int p \, dt$, ב-ג'אולים (J). Electricity meters sell the kilowatt-hour: $1\ \text{kWh} = 3.6\ \text{MJ}$.

Deriving the power formula. Move a charge $dq$ through a potential difference $v$ and the energy transferred is $dw = v \cdot dq$. Divide by $dt$: $p = dw/dt = v \cdot (dq/dt) = vi$. Power is voltage times current — nothing deeper.

עבור הזרם דרך אלמנט ובחר קוטב למתח שלו; כאשר הזרם for the current through an element and a polarity for its voltage; when the current חץ נכנס למוצב $+$, $p = vi$ הוא ההספק שהרכיב בולע. תוצאה חיובית משמעותה שהרכיב צורך הספק; תוצאה שלילית משמעותה שהוא מספק הספק. הפוך את זה והכי שגיאת הסימנים הנפוצה ביותר בכל הקורס.

דוגמה מודגמת 1 (הספק ואנרגיה). סוללת 12 V מניעה נורה ששוטפת 0.25 A, כאשר חץ הזרם מצויר אל מוצב ה$+$ של הנורה. עבור הנורה, $p = vi = 12 \times 0.25 = 3 \text{ W}$ נבלע. במשך 2 דקות המנורה צורכת $w = pt = 3 \times 120 = 360 \text{ J}$. עם אותו חץ שצויר עבור הסוללה, הזרם של הסוללה נכנס למוצב ה$-$ שלה, ולכן ההספק הנבלע שלה הוא $-3$ וואט: היא מספקת בדיוק מה שמחייבת המנורה, והחישוב מתאזן.

דוגמה מודגמת 2 (המדד מקבל את המספר השגוי). מקור אידיאלי 12 V מזין שתי 10 M$\Omega$ נגדים בסדרה, כך שכל אחד מהם אמור להיות 6 V מעליו. וולטמטר אמיתי עם התנגדות כניסה של 10 M$\Omega$ מחובר על פני התחתון כדי "לבדוק". ה מדד הוא עכשיו נגד נוסף 10 M$\Omega$ במקביל: החלק התחתון משתלב ל 5 M$\Omega$, והמדד מראה $\frac{5}{10+5} \times 12 = 4 \text{ V}$ במקום 6 V. הבדיקה עצמה שינתה את המעגל. (על פני המקור האידיאלי עצמו המדד יהיה מראה 12 V נכון: מקור אידיאלי שומר על המתח שלו לא משנה מה מחובר.) כלל אצבע: התנגדות המדד צריכה להיות לפחות מאה שהוא מודד. בהמשך: מד-זרם במצב מדידת זרם הוא המקרה ההפוך — מדגודל בסדרה עם התנגדות לא זניחה גוזל מתח ומציג זרם נמוך מדי. טעויות נפוצות. דיווח על "המתח בנקודה A" מבלי לציין מהי הנקודה השנייה. המתח הוא

טעויות נפוצות.

• דיווח "המתח בנקודה A" מבלי לציין מה הנקודה האחרת. מתח הוא תמיד בין שתי נקודות; קרא להן שמות.
• ערבוב יחידות: דקות עם ואטים, mA עם k$\Omega$. הפוך קודם; אז יחידת התשובה יוצאת באופן טבעי ($\text{V}/\Omega = \text{A}$).
• לסמוך על מדד מבלי לשאול מה התנגדות הוא מוסיף.

סיכום: שש כמותות, רצף אחד (מטען לזרם לאנרגיה להספק); הספק הוא $vi$ לפי קונבנציית הסימן הפעיל; המדידים חייבים להיות כמעט בלתי נראים למעגל (מדיד זורם בסדרה = קרוב לנתיק, מדיח מתח במקביל = קרוב לפתוח).

שני נגדים מגיעים לצומת ואחד יוצא. כמות הזרם בכל יציאה? התשובה דורשת את שני החוקים המכונים על שם קירכוף — והם אינם פיזיקה חדשה. אחד מהם "טעון לא מצטבר"; השני הוא "ספריות אנרגיה מאוזנות". שניהם היו נסתרים ב 1.1.

חוק אום מקשר נגד: $v = Ri$, עם $R$ ב-אוהם ($\Omega$). הולכות $G = 1/R$ (סימנס) היא לעיתים נוחה יותר. הספק ב נגד תמיד נבלע, ושילוב $v = Ri$ עם $p = vi$ נותן את שלושת צורות שקולות $p = vi = i^{2}R = v^{2}/R$ — השתמשו במשתנה שמצאתם כבר.

לרכיבים בסדרה הנגדים מחברים וזרם אחד משותף; עבור מקבילים ההולכות מחברות ומתח אחד משותף. שני נגדים במקביל מתאחדים כמכפלה חלקי סכום, $R_{1} \parallel R_{2} = \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$ — והתוצאה היא תמיד קטנה מאחת מהן.

מסקרת מחלקת המתח. שני נגדים בסדרה על מקור נושאים זרם אחד $i = v_{s}/(R_{1}+R_{2})$. המתח על $R_{2}$ הוא זרם זה כפול $R_{2}$, ולכן $v_{2} = v_{s} \cdot R_{2}/(R_{1}+R_{2})$ — מחלקת המתח. הארגומנט המשוקף הטיחון על שני נגדים מקבילים המוזנים על ידי מקור זרם מוביל לזרם מחלק: $i_{1} = i_{s} \cdot R_{2}/(R_{1}+R_{2})$. שימו לב להחלפה: כל הענף לוקח את החלק היחסי של העומס האחר.

חוק זרם קירכוף (KCL) מניח מחדש שימור מטען: הזרמים הממוספרים היוצאים מכל פני שטח סגורים מסכמים לאפס. נקודה היא מפגש של שני רכיבים או יותר; כל חיבור של אותו חוט הוא נקודה אחת, ללא תלות בכמה ענפים נפגשים שם.

חוק מתח קירכוף (KVL) מניח מחדש שימור אנרגיה: ה מתחים ממוספרים סביב כל לולאה סגורה מסכמים לאפס. צעודו בלולאה וספרו את העלייות והירידות: התווית שעולה במעבר אחד היא אותה תווית שמורדת כשאתם חוזרים, ולכן הסכום הכולל חייב להיות אפס — אי אפשר להשיג אנרגיה על ידי הליכה ב מעגל.

דוגמה מפורשת 1 (מחלקת מתח, נבדקה בשתי דרכים). מקור 9 V מזין $R_{1} = 6$ k$\Omega$ בסדרה עם $R_{2} = 3$ k$\Omega$. הזרם הוא $i = 9 \text{ V} / 9 \text{ k}\Omega = 1 \text{ mA}$, לכן $v_{2} = 1 \text{ mA} \times 3 \text{ k}\Omega = 3 \text{ V}$ — אותה תשובה כמו נוסחת מחלקת המתח $9 \times 3/9$. בדקו באמצעות KVL: $-9 + 6 + 3 = 0$. בדקו באמצעות הספק: מקור $9 \times 1 \text{ mA} = 9$ mW; עומסים $6$ mW $+ 3$ mW $= 9$ mW.

דוגמה מפורשת 2 (מחלקת זרם, ואז הנקודה שהיא מזינה). מקור 2 A מזין 6 $\Omega$ במקביל ל-3 $\Omega$. הזוג המקביל הוא $6 \times 3/9 = 2\ \Omega$, ולכן לשניהם יש 4 V, והזרמים הם $4/6 = 0.667$ A ו-$4/3 = 1.333$ A — נוסחת המחלקה נותנת את אותם חלקים, ו-$0.667 + 1.333 = 2$ A בנקודה, KCL סגור. כעת הגדילו: בנקודה זו ענף נוסף עם זרם לא ידוע $i_{4}$ גם יוצא; אם עוד 0.5 A זורם כניסה ממקום אחר, חוק KCL קובע $-0.667 - 1.333 - 0.5 + i_{4} = 0$, ולכן $i_{4} = 2.5$ A יציאה. המטען לא נעלם; הוא הוסדר מחדש.

טעויות נפוצות.

• ציור KCL עם כמה חצים בתוך וכמה בחוץ, ולאחר מכן חיבור הגדלים. כתוב "סכום של" היוצאים = 0" ולהשאיר לסימנים לדבר.
• טיפול בשתי גושיות חוט נפרדות כנקודה אחת (הן נקודה אחת רק אם מחוברות).
• התנגדויות מקבילות שמסוכמות למשהו גדול יותר — השילוב תמיד קטן מההתנגדות הקטנה ביותר.

סיכום: חוק אום שנוסף לשני חוקי השימור פותרים כל מעגל DC התנגדתי; מחלקי מתח נובעים מהם, ולא מהזיכרון; סמן כל חץ תחילה, ואז האמן על האלגברה — תשובה שלילית היא מידע, לא שגיאה.

מעגל בעל ארבע נקודות וששת ענפים ניתן לפתרון באמצעות ניחושים חכמים — פעם אחת. אותו מעגל מופיע מאה פעמים בעיצוב, והעבודה בניחושים חייבת להפוך למתכון שאי-ספק מחשב יכול לבצע. קיים מתכון אחד; שניהם מסתיימים במספר מעט משוואות בו-זמניות.

ניתוח נקודות משתמש בחוק KCL. בחר נקודת ייחוס (ארץ), סמן את ה$n-1$ מתחי הנקודות שנותרו, וכתוב משוואת KCL אחת לכל נקודה לא ידועה, כאשר זרם בכל ענף נכתב כהפרש מתחים חלוקה בהתנגדות. שיטה זו מעגלי רשת הם הכלי העיקרי במחקי מעגלים (SPICE פותר בדיוק משוואות אלו, מיליוני מהם).

ניתוח רשת משתמש בקVL. הטפל זרם רשת סובב r כל חלון במעגל מישורי וכתבו משוואה KVL אחת לכל רשת; נגד המשותף לשתי רשתות נושא את ה-הפרש של שני זרמי הרשת. בחרו בשיטה עם פחות משוואות, וזכרו: מקור מתח קובע הפרש מתח בין נקודות (ניתוח נקודות הופך לקל יותר), בעוד שמקור זרם קובע זרם ענף (ניתוח רשתות הופך לקל יותר).

גזירת משוואת נקודה. בנקודה $A$ עם נגדים $R_{1}$ למקור נקודת $V_{s}$ ו$R_{2}$ לאדמה, KCL (סכום הזרמים יוצאים) נותן $\frac{V_{A}-V_{s}}{R_{1}} + \frac{V_{A}-0}{R_{2}} = 0$. כפלו על ידי והאגדו: המשוואה היא ליניארית ב-$V_{A}$ — תמיד. כל ניתוח נקודות הוא משוואה אחת זו מוחזרת לכל נקודה.

דוגמה מופעלת 1 (צומת אחד בלתי ידוע). מקור של 12 V מחובר דרך 2 $\Omega$ ל נקודה $A$; מ-$A$, נגד 6 $\Omega$ הולך לאדמה ומקור 1 A דוחף זרם לתוך $A$. KCL ב-$A$, זרמים יוצאים:

כפולו ב-6: $3(V_{A} - 12) + V_{A} - 6 = 0$, ולכן $4V_{A} = 42$ ו $V_{A} = 10.5$ V. בדקו עם ענף המקור: $(12 - 10.5)/2 = 0.75$ A זורם מה מקור, בנוסף ל1 A ממקור הזרם; ה6 $\Omega$ נושא $0.75 + 1 = 1.75$ A, ו-$10.5/6 = 1.75$ A — הערוץ הלא משמש מאשר את התשובה.

דוגמה פתורה 2 (שתי רשתות, נגד משותף). רשת A: מקור 12 V (עולה ב הכיוון השעון) עם נגד 2 $\Omega$. רשת B: נגד 6 $\Omega$ עם מקור מתח 3 V (ניגודי). הרשתות משתפות נגד 4 $\Omega$. KVL עם זרמי רשת שעוניים $i_{A}$, $i_{B}$:

איסוף: $6i_{A} - 4i_{B} = 12$ ו-$-4i_{A} + 10i_{B} = -3$. פתרון המשוואות, $i_{A} = 2.455$ A ו-$i_{B} = 0.682$ A, ולכן בנגד המשותף עובר $i_{A}-i_{B} = 1.773$ A כלפי מטה בכיוון רשת A. בדיקה על ידי הצבה חוזרת לתוך אחת המשוואות המקוריות: שתי התוצאות אפס בתוך סטיית העיגול.

טעויות נפוצות.

• שכחון הזרם בעומק המשותף הוא הפרש זרמי הרשתות.
• בחירת שיטה ללא ספירת משוואות: מקורות זרם מתאימים בדרך כלל לניתוח צמתים ישירות, בעוד שמקורות מתח מתאימים בדרך כלל לניתוח רשת ישירות.
• הנחה שהצומת הייחוס חייב להיות הקוטב השלילי של מקור. כל צומת יכול להיות הייחוס; בחירת קצה של מקור מתח עשויה לפשט את המשוואות.

סיכום: ניתוח נודות = KCL לכל נודה לא ידועה (בחירת תוכנות סימולציה); ניתוח רשת = KVL לכל חלון; אלמנטים משותפים רואים הפרשי זרמים; הבחירה מבוססת על ספירת המשוואות.

החלפת לוח החיישן גרמה לכך שהמנורה הארוכה בה בהירות מעטת. מה נראה הלוח כמו למנורה? לא הסכמה – מקור אחד ונגד אחד. שלושה משפטים הופכים החלפה זו לדויקנית, והם כולם אומרים דבר אחד: רשת ליניארית היא בלתי נבדלת מהתנהגותה בשני מסילות.

• משפט ת'וונין: כל רשת ליניארית דו-מסילית של מקורות ו נגדים מתנהגת במסילותיה כמו מקור מתח אחד $V_{th}$ בסדר עם התנגדות אחת $R_{th}$. $V_{th}$ היא מתח פתוח; $R_{th}$ ההתנגדות הנראית כאשר מקורות הופעלו אפס (מקורות מתח מקוצרים, מקורות זרם נפתחים).
• משפט נורטון הוא אותו ביטוי כמו מקור זרם $I_{N} = V_{th}/R_{th}$ במקביל ל-$R_{th}$. שניהם מהווים את המרת המקור: החלפו ביניהם כל עוד הסכמה אלגברית נוחה יותר. המרה**: החלפו ביניהם כל פעם שהחישוב נוח יותר.
• הפרשיות: במעגל ליניארי עם מספר מקורים עצמאיים, ה אסטרטגיית חישוב, ולא תכונה של רכיב בודד. היא אסטרטגיית חישוב, ולא תכונה של רכיב ספציפי.

מסקק הספק מקסימלי. מקור ת'וונין $V_{th}$, התנגדות $R_{th}$, $R_{L}$. גזרו לפי $P = \left(\frac{V_{th}}{R_{th}+R_{L}}\right)^{2} R_{L}$. גזרו לפי $R_{L}$ והשוו את התוצאה לאפס: המקסימום נמצא ב$R_{L} = R_{th}$, שבו כשהעומד מספק: יעילות של $P_{max} = V_{th}^{2}/(4R_{th})$%, לא יותר. כמו העומס מספק: יעילות של 50%, ואף יותר.

מערכות שמע ו-RF מתאימות עכבות כדי לשמור על חוזק האות; רשתות חשמל לעולם אינן עושות זאת במערכות אודיו ו-RF מכוונים עכבות כדי לשמור על אותות חזקים; רשתות חשמל לעולם לא עושות זאת (יעילות של 50% תכפיל כל חשבון). שקול ת'יונין אינו שומר על ה ההפסדים הפנימיים של הרשת המקורית; היעילות שלו חייבת לחושב מה מקורות בפועל.

דוגמה מפורטת 1 (מצאו את השווה, ולאחר מכן טענו אותו). מקור 10 V ומנגנון 4 $\Omega$ יוצרים ענף סדרתי אחד על פני נגד 6 $\Omega$. מצאו את השווה הנראה ממטען חיצוני המחובר על פני הנגד 6 $\Omega$ זה. כאשר המטען החיצוני מוסר, המתח בקצוות הוא $V_{th} = 10 \times 6/10 = 6$ V (מחלק מתח). איפוס המקור משאיר 4 $\Omega$ מקביל ל6 $\Omega$: $R_{th} = 2.4\ \Omega$. עם $R_{L} = R_{th} = 2.4\ \Omega$, זרם הלולאה הוא $6/(2.4+2.4) = 1.25$ A וההספק של המטען הוא $1.25^{2} \times 2.4 = 3.75$ W. בדקו מול הנוסחה: $V_{th}^{2}/(4R_{th}) = 36/9.6 = 3.75$ W.

דוגמה מפורטת 2 (עקרון הסופרפוזיציה, נבדק ישירות). מקור 12 V דרך 2 $\Omega$ מזין את הנקודה $A$; מקור זרם 3 A גם הוא מזין את $A$; נגד 4 $\Omega$ מחובר בין $A$ לאדמה. לפי הפרשיות: המקור ה-V 12 בלבד (3 A פתוח) מניע את ה4 $\Omega$ through a $2+4$ divider: $V_{A1} = 12 \times 4/6 = 8$ V. The 3 A source alone (12 V קצר) רואה $2\ \Omega \parallel 4\ \Omega = 1.333\ \Omega$: $V_{A2} = 3 \times 1.333 = 4$ V. סה"כ $V_{A} = 8 + 4 = 12$ V. בדיקה ישירה באמצעות משוואת צומת אחת: $(V_{A}-12)/2 + V_{A}/4 - 3 = 0$ נותן $V_{A} = 12$ V — השני פתיחה למקורות זרם.

טעויות נפוצות.

• חישוב $R_{th}$ עם מקורות עצמאיים פעילים עדיין. כבה אותם: קצר מקורות מתח בלתי תלויים אידיאליים ופתח מקורות זרם בלתי תלויים אידיאליים. שמרו על המקורות התלויים והשתמשו במקור בדיקה כאשר נדרש.
• יישום עקרון החפיפה על הספק (זהו ליניארי במתח ובזרם, אך לא ב הריבועים שלהם — חשב תחילה התגובות, ואז רבע).
• האמונה שנקודת יעילות 50% היא מטרת עיצוב להעברת הספק.

סיכום: מדוד שני דברים ($V_{th}$ פתוח-מעגל, $R_{th}$ מופסל) וכל קווי אחד-דלת הופך לסוללה ולנגד; החלף בין צורות סדרתי↔מקביל בחופשיות; הוסף תגובות, לעולם לא הספקים; התאם נגד למקסימום הספק אות, ולא לחיסכון.

מיקרופון מייצר 10 mV. רמקול דורש 2 V. משהו חייב להכפיל ב200 — עם ידית לכיוונון בדיוק כמה. הדבר הזה הוא מגבר הפעולה, וכל המערכת עומדת על טריק אחד: משוב הופך מכשיר בעל הגברה אבסורדית להתנהג כמו מכשיר מדויק עם הגברה מתונה.

מגבר הפעולה הוא מגבר מתח דיפרנציאלי בעל הגברה גדולה מאוד, המוצג כמשולש עם כניסות $+$ ו$-$ וכניסה אחת. מגברי פעולה אמיתיים יש להם מכפלת הגברה-רוחב פס וזרמי כניסה סופיים; המודל של מגבר הפעולה האידיאלי המשמש בניתוח מניח הגברה ללא מעגל פתוח אינסופית, התנגדות כניסה אינסופית והתנגדות יציאה אפסית.

מדוע הכללים הזהב נובעים ממשוב. עם משוב שלילי (מסלול מהיציאה חוזר אל הכניסה $-$), היציאה עושה את כל מה שנדרש כדי שה ההפרש בכניסה יהיה כמעט אפס — עם הגברה מעל $10^{5}$, יציאה בוולטים דורשת הפרש כניסה במיקרו-וולטים, שזה מתעגל לאפס. שני כללים זהב שמור:

1. זרם אינו נכנס לאף אחד מהקלטים (התנגדות כניסה אינסופית).
2. הפרש המתח בין הקלטים הוא אפס — קצר וירטואלי. הקלטים עוקבים זה אחרי ללא חיבור פיזי ביניהם.

גזירת רכיב ההגברה ההופך. המרכיב המרכזי הוא מגבר הופך: הכניסה דרך $R_{in}$ לקצה $-$, הפידבק דרך $R_{f}$, קצה $+$ מאדם. כלל 2 מקבע את קצה $-$ במתח של 0 V (אדמה וירטואלית). כלל 1 קובע שהזרם הכניסתי זרם $v_{in}/R_{in}$ לא יכול להיכנס לשבב, ולכן כולו זורם דרך $R_{f}$:

הרכיב מוגדר על ידי שני התנגדויות — הגבהות העצומה של השבב מתבטלת בתשובה. המגבר הבלתי הופך מציב את האות ב$+$ ומחלק מתח ב$-$: $v_{out}/v_{in} = 1 + R_{f}/R_{in}$, תמיד לפחות יחידה אחת (ביחידה זו הוא ה עוקב מתח, בופר).

דוגמה פתורה 1 (שלב הופך, מחושב במלואו). $R_{in} = 10$ k$\Omega$, $R_{f} = 100$ k$\Omega$, $v_{in} = +0.2$ V. הרכיב הוא $-100/10 = -10$, ולכן $v_{out} = -2$ V, בתוך טווח הספק $\pm 15$ V. זרם הפידבק הוא $0.2/10\text{k} = 20\ \mu\text{A}$ וזורם ליציאה; הכניסה האידיאלית נושאת אין בה זרם. בדקו באמצעות האדמה הוירטואלית: קצה $-$ נמצא במתח של $0$ V, ולכן הנפילה על $R_{f}$ היא $0 - (-2) = 2$ V $= 20\ \mu\text{A} \times 100$ k$\Omega$.

דוגמה פתורה 2 (מעורבב, ופתח רוויה). הרחיבו את השלב ההופך ל שני כניסים ($R_{1} = R_{2} = 10$ k$\Omega$, אותו $R_{f} = 100$ k$\Omega$): האדמה הוירטואלית האדמה אוספת את שני הזרמים, ולכן $v_{out} = -\left(\frac{R_f}{R_1}v_{1} + \frac{R_f}{R_2}v_{2}\right)$ — סכום של מגבר העוצמה. עם $v_{1} = 0.2$ וולט ו-$v_{2} = -0.05$ וולט: $v_{out} = -(10 \times 0.2 + 10 \times (-0.05)) = -(2 - 0.5) = -1.5$ וולט. עכשיו המלכודת: החלפת $R_{f}$ ב-1 M$\Omega$ (רווח $-100$ לכל כניסה) והאותות זהים דורשים $-(100 \times 0.2 + 100 \times (-0.05)) = -15$ וולט. כלל ה-רוויה מעצור אותו: הפלט לא יכול לעזוב את מסילות האספקה של המקור, ומגבר אופ-אם עם $\pm 15$ וולט נמצא ליד $-13.5$ וולט. הכללים הזהבים עמדו בשקט ועפלו על ההנחה — דווח את הקליפס, ולא את המתח האל-מתוקן.

טעויות נפוצות.

• שכחון סימן הפוך בשלב ההפוך (או "תיקון" שלו בהמשך).
• יישום הכלל 2 כאשר אין מסלול משוב שלילי — אין משוב, אין וירטואלי קצר.
• דחיפת התשובה מעבר למסילות והדיווח עליה בכל זאת.

סיכום: הגבר אינסופי שמבוקר על ידי משוב נותן שני כללים זהבים; מגבר האינטרטינג ממיר אותם ל-$-R_{f}/R_{in}$, והאינו-אינטרטינג ל-$1 + R_{f}/R_{in}$; קרקע וירטואלית יוצרת מערכות מערבולת; רוויה היא מצב פלט אמיתי, לא טעות עיגול.

כל הבזק במצלמת הטלפון אוסף אנרגיה לאט ושחרר אותו באלףית השנייה. אין תצורת נגדים שיכולה להחזיק דבר כלשהו — נגדים משחררים אנרגיה; שני אלמנטים חדשים אוספים אותה, והשינוי היחיד הוא מה שהופך את המעגלים לדינמיים ועדינים לקורס מחשבת. קבל אוסף מטען המופרד על ידי בידוד: שני פלטים עם

קבל מחסן מטען המופרד על ידי מבודד: שתי פלטות עם השדה החשמלי ביניהם. הקיבול $C$, בפרקים (F), הוא טעון לוולט, $q = Cv$. נגזור: הזרם הוא קצב השינוי של המתח,

לכן קבל נושא זרם רק כל עוד מתחו משתנה; DC יציב הוא מעגל פתוח מעגל אליו. אינטגרציה של אותו חוק נותנת את האנרגיה המאוגרת $w = \frac{1}{2}Cv^{2}$ — מצב זיכרון התלוי רק במתח הנוכחי, ולא בכיצד הגיע למצב זה.

סולנויד מאחסן אנרגיה בשדה מגנטי סביב הסליל. ה אינדוקטיביות $L$, בהנריים (H), נותנת את החוק הנגדי,

לכן סולנויד מפתח מתח רק כל עוד הזרם משתנה; DC יציב הוא מעגל קצר מולו. האנרגיה המאוגרת היא $w = \frac{1}{2}Li^{2}$.

מדוע השילובים מחקרים את חוקי הנגד. קבלים מקבילים חולקים מתח אחד ולכן הטעונים נוספים: $C_{eq} = C_{1}+C_{2}$ (שטחים נוספים). סולנוידים סדרתיים חולקים זרם אחד ולכן הקישורים הפלוקסיים נוספים: $L_{eq} = L_{1}+L_{2}$ (אורכים נוספים). קבלים סדרתיים וסולנוידים מקבילים מתאחדים לפי חוק ההופכי — ההעתקה המדויקת של אריתמטיקת הנגדים, מכיוון שמחוקי האחסון מחליפים את התפקידים של $v$ ו-$i$.

דוגמה מפורשת 1 (שתי אנרגיות, שני יחידות). קבל בגודל 100 µF טעון עד 12 V מתקיים $w = \frac{1}{2} \times 100\times10^{-6} \times 12^{2} = 7.2$ mJ. משרת של 10 mH עם זרם של 2 A מכיל $w = \frac{1}{2} \times 0.01 \times 2^{2} = 20$ mJ. שניהם קטנים בהתאם לסטנדרטים של קומקום, אך ה-7.2 mJ של הקבל שהועברו בתוך 1 ms הם 7.2 W — ובתוך 1 µs היו 7.2 kW. האנרגיה המאוגרת היא צנועה; הקצב גורם לה להיות דרמטית, וזה מדוע יש לפרק קבלים גדולים לפני מגע ידני.

דוגמה מודגמת 2 (חוק השיפוע והשילובים). מתח בקבל בעל קיבול 10 µF עולה בקצב 100 V/s; הזרם הוא $i = C\,dv/dt = 10\times10^{-6} \times 100 = 1$ mA — קבוע, משום שהשיפוע קבוע. כעת שילבו: קבל עם קיבול 2 µF וקבל עם קיבול 3 µF מחוברים בסדרת תנופה נותן קיבול סך הכל של $2 \times 3/5 = 1.2$ µF (כל קבל נושא את אותה מטען, ולכן ה"קיבול ל" וולט" מצטמצם); במקביל הם נותנים 5 µF. משרת של 10 mH ו-20 mS in series give 30 mH; אותם שני משרתים במקביל נותנים $10 \times 20/30 = 6.67$ mH.

⚠ זרם המשרת רציף: פתיחת מתג במסלול המשרת מחייבת $di/dt$ להיות ענק, והמתח המופעל $L\,di/dt$ עלול ליצור קשת חשמלית דרך הפתח מגעים. זהו תהליך אמיתי ולא רק תיאורטי — כך היו יוצרות סלילי הצתה ישנים את ה תופעה אמיתית ולא תיאורטית — כך עבדו סלילי הצתנה ישנים כדי לייצר הבזק.

טעויות נפוצות.

• שימוש ב$w = \frac{1}{2}Cv^{2}$ עם וולטים מחולפים במקום אחר – בדוק את ה היחידות: פראד כפול וולט בריבוע שווה לג'אול.
• חיבור קיבולי מקביל כהופכים (זהו חוק הסדרה).
• האמונה שקבל "חסם" DC מיד — הוא חוסם DC קבוע; בזמן שינויים הוא מעביר זרם ברצון.

סיכום: קבלים זוכרים מתח, סלילים זוכרים זרם; $i = C\,dv/dt$ ו $v = L\,di/dt$; אנרגיות $\frac{1}{2}Cv^{2}$, $\frac{1}{2}Li^{2}$; שילובים משקפים אלגברת נגד עם $v$ ו$i$ מחולפים; לעולם לא לקרוע פתח של סליל באופן פתאומי.

לוחצים על כפתור והאור דוהה לאט במשך שנייה — או שקריאת החיישן זוחלת לערכה החדש בתוך מיליוניות של שנייה. ממירים מקור, אלמנט מאגר אנרגיה ונגד לארגון חדש, וכמות המאוגרת אינה יכולה לקפוץ: היא מחליקה לערכה היציב החדש שלה. מעגל עם אלמנט אחסון אחד הוא דרגה ראשונה, וכל מעגל מסוג זה יש לו את אותו צורת פתרון — לומדים את הצורה פעם אחת.

מגדירים את התגובה הטבעית כקירוי מהמצ ההתחלתי לאחר הסרת המקור, ואת תגובת השלב כמעבר מהמצ ההתחלתי ל המקור הוסר, והתגובה למדרגה היא המעבר ממצא התחלתי ל ערך מאולץ חדש $V_{F}$. עבור מתח קבל,

$C$. מפרידים משתנים: $R$, ומשלים: $C\,dv/dt + v/R = 0$. הפרד משתנים: $dv/v = -dt/(RC)$, אינטגרל: $\ln v = -t/(RC) + \text{const}$, ולכן $v = V_{0}e^{-t/RC}$ — פונקציה אקספוננציאלית עם זמן קבוע $\tau = RC$. הוסף מקור ומשוואה אותה תוסיף קבוע פתרון $V_{F}$; הפתרון הכללי הוא הקבוע פלוס הבדל הדועך: מאוגרת (רציפות מתח עבור C, רציפות זרם עבור L), והערך היציב $\tau = RC$ נובע מה $\tau = L/R$.

ב-$t = \tau$ השכבה נסגרה ל-37% מגודלה ההתחלתי; לאחר $5\tau$ המעגל נמצא בתוך 1% ונתפס כייצב. הערך ההתחלתי $V_{0}$ נובע מהאנרגיה אגורה (רציפות מתח לקבל, רציפות זרם לסליל), ו-$V_{F}$ נובעת מה מעגל שהמתג השאיר מאחוריו, כאשר אלמנט האגירה מוגדר כפנייה (C) או קיצור (L) במצב היצב שלו.

דוגמה מופת 1 (פריקת RC). קבל 100 µF טעון ל-12 V מתפרק על ידי 10 k$\Omega$. לאחר $\tau = RC = 10\,000 \times 100\times10^{-6} = 1$ שניות, נותרו $v(t) = 12e^{-t}$ וולט. לאחר 2 שניות, נותרו $v = 12 \times e^{-2} = 1.62$ V. לאחר 5 שניות ($5\tau$) הוא הגיע ל-$12e^{-5} = 0.08$ V — יציב. בדוק את סיפור האנרגיה: ההתחלתית 7.2 mJ הוסבה כולה למנגנון החום בנגר על ידי זמן זה.

דוגמה מופת 2 (טעינה בין שני ערכים שאינם אפס). אותו רשת RC, אך המתג מעביר את הנגר מספק של 2 V לספק של 9 V כאשר הקבל נמצא כבר ב-2 V. זמן התחלתי $V_{0} = 2$, זמן סופי $V_{F} = 9$, ולכן זמן מאפיין $v(t) = 9 + (2-9)e^{-t} = 9 - 7e^{-t}$ וולט. ב-$t = 1$ שניות ($= \tau$) הוא מגיע ל-$9 - 7 \times 0.368 = 6.42$ V — הפער (7 V) נסגר ב-63.2%, בדיוק לפי ההגדרה. בדיקות נקודות קצה: $v(0) = 2$ V ו- $v(5) = 9 - 0.047 \approx 9$ V.

דוגמה מופת 3 (המראה RL, מהיר). סליל 20 mH בסדרה עם 100 $\Omega$ מתחבר לספק 10 V. לאחר $\tau = L/R = 0.02/100 = 0.2$ ms, הזרם הסופי $I_{F} = 10/100 = 0.1$ A, ולכן זמן מאפיין $i(t) = 0.1(1 - e^{-t/0.2\text{ms}})$. ב-$t = 0.6$ ms (שלושה זמנים מאפיין) הוא הגיע ל-95%: $0.095$ A. אותו צורה כמו מתח הקבל — חוק אחד, שני רכיבים.

שיטה לכל בעיית מתג: (1) מצאו $V_{0}$ מהמעגל הישן; (2) מצאו $V_{F}$ מהמעגל החדש; (3) חשבו $\tau$ מהמעגל החדש עם המקור מושרף; (4) כתבו תשובה בשורה אחת ובדקו אותה מול שתי נקודות הקצה.

טעויות נפוצות.

• שימוש במעגל הישן עבור $V_{F}$ או במעגל החדש עבור $V_{0}$ — הערכים מגיעים מ ממצבי צילום שונים, באופן מתכוון.
• חישוב $\tau$ כאשר המקור עדיין נוכח — אפס את המקור כדי לראות את ההתנגדות האמיתית שהאלמנט האגירה מפגש.
• האמונה ש$5\tau$ הוא קבוע פיזיקלי — זהו מוסכמה הנדסית של 1%.

סיכום: אלמנט אחיד של אגירה פירושו פונקציה מעריכית אחת; $V_{0}$ מתנאי הרציפות, $V_{F}$ מהמעגל הסופי, $\tau$ מההתנגדות עם מקור מאופס; $\tau = RC$ או $L/R$; $5\tau$ התייצב למטרות פרקטיות, וכל תשובה נבדקת בשני הקצוות.