היקף ותנאי מקדימים
בהתבסס על המסגרת Digital SAT. משימות נייר אלו אינן מותאמות אישית ואינן חוזה ציון מוקנה.
- לפתור ולסווג משוואות ליניאריות עם פרמטר בנעלם אחד
- לפרש משוואות ליניאריות בשני נעלמים כקבוצות של זוגות מסודרים
- לפרש השיפוע והחתך של פונקציה ליניארית בהקשר נתון
- לסווג מערכות משוואות ליניאריות שתי-משוואות ולבדוק את נקודות החיתוך שלהן
- לייצג אי-שוויונות מוחקים ומכילים בשני נעלמים או בנעלם אחד
דרישות מקדימות: איסוף איברים דומים; הצבת זוגות מסודרים; חישוב עם סימנים.
הסבר ובחירת השיטה
אספו איברים משתנים וקבועים בנפרד. המשוואה ax+b=cx+d הופכת ל-(a-c)x=d-b. אם a-c שונה מאפס יש פתרון אחד; אם שני האגפים מתאפסים יש אינסוף פתרונות; אם מקדם המשתנה הוא אפל אך הקבוע שונה מאפס אין פתרון. לעולם אל תחלקו בפרמטר לפני שתבדקו האם הוא יכול להיות אפס.
משוואה בשני משתנים נותנת קבוצה של זוגות מסודרים. במשוואה y=mx+b, m הוא השינוי ב-y ליחידת x אחת, ו-b הוא ערך ה-y ב-x=0. בדגם קונטקסטואלי יש להצמיד יחידות לשני הגורמים: תשלום מוניט C=3t+5 כולל תעריף התחלתי ביחידת 5 ועלות של 3 יחידות לכל יחידת זמן. הנקודת החיתוך עשויה להיות מחוץ לתחום ההשמה המעשי גם כאשר היא קיימת אלגברית.
מערכת משוואות דורשת השוואת מקדמי המשתנים והקבועים. הכפלת משוואה שלמה במספר שאינו אפס נותנת אותה ישר; התאמת מקדמי המשתנים עם קבועים שונים נותנת ישרים מקבילים ושונים. במקרה האחר צומת מספק את הזוג המקיים שתי משוואות. הציעו את הזוג לשתי המשוואות המקוריות כדי לבדוק אותו.
הכפלה או חילוק של אי-שוויון במספר שלילי הופכים את כיוונו. אי-שוויון מחמיר (strict) לא כולל את הגבול, בעוד ≤ או ≥ כוללים אותו. עבור שני משתנים, שרטטו את הישר המתאים ובדקו נקודה שאינה עליו כדי לזהות את למחצה המותרת. הדיאגרמה מייצגת את כל הפתרונות, ולא נקודה מועדפת בודדת.
זהות מתקיימת לכל קלט מותר. התחילו ב$ax+b=cx+d$. איסוף איברים: $(a-c)x=d-b$. בדקו את $a-c$ לפני החלוקה. אם $a=c$ ו-$b=d$, כל קלט ממשי מתאים. אם רק $a=c$, אין קלט שמתאים. במקרה אחר, $x=(d-b)/(a-c)$ נותן פתרון אחד.
*שלבים פרושים: (a-c)x = d-b → a-c = 0: בדיקת d-b → a-c ≠ 0: חלוקה בטוחה
דוגמה פותרת. עבור kx+6=2x+6, הערך k=2 נותן 0=0 ואינסוף פתרונות; k≠2 נותן x=0. עבור -2x+3<11, subtract 3 and divide by -2 to get x>-4. עבור y≤2x+1, הערך (0,0) מתאים והגבול הרצוף כלול. למערכת 2x+4y=10 ו-x+2y=6 אין פתרון כי הכפלה ב-2 של המשוואה השנייה נותנת אותו ביטוי בצד שמאל השווה ל12, ולא ל10.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
מיינו את הפתרונות של $(p-1)x+3=2x+p$ עבור כל ממשי $p$.
הסבר. נאספו איברים כדי לקבל $(p-3)x=p-3$. ב$p=3$, המשוואה היא $0=0$, ולכן כל ממשי $x$ עובד. ב$p\ne3$, חילקנו ב$p-3$ כדי לקבל $x=1$. אין ערך של $p$ שמעניק פתרון. הצבה של $x=1$ נותנת $p+2$ בשני הצדדים.
תרגול 2
תשלום שכירות $C$ יואן כולל תשלום קבוע של $f$ יואן וקצב של $r$ יואן לשעה. שלוש שעות עולות 31 יואן; שבע שעות עולות 59 יואן. מצאו $f,r$ ואת מספר השעות הגדול ביותר המתקבל עם 80 יואן.
הסבר. השתמשו ב$C=f+rt$. המשוואות הן $31=f+r(3\,\mathrm{h})$ ו$59=f+r(7\,\mathrm{h})$. נחסר: $r=(59-31)\,\mathrm{yuan}/(7-3)\,\mathrm{h}=7\,\mathrm{yuan/h}$. אז $f=31\,\mathrm{yuan}-(7\,\mathrm{yuan/h})(3\,\mathrm{h})=10\,\mathrm{yuan}$. תקציב: $10+7t\le80$, לכן $t\le10$ שעות. עשר שעות שלמות הן בהישג יד; אחת עשרה עולות 87 יואן.
תרגול 3
תארו את כל הנקודות המקיימות $y>2x-1$ ו-$y\le-x+5$. האם $(2,3)$ מושמעת? ציינו את ערכי ה-$x$ האפשריים.
הסבר. הגבול הראשון הוא מקווקע והשני מוצק. האזור המשותף נמצא מעל הקו הראשון ועל או מתחת לקו השני. ב$(2,3)$ התנאי הראשון הוא $3>3$, שהוא אינו מתקיים. כדי שקיים קט אנכי, $2x-1<-x+5$, ולכן $x<2$. הקווים נפגשים ב$(2,3)$ אך נקודת הפגישה אינה כלולה.
מגבלות ושימוש עתידי
אל תבלבל בין x=0 לבין מקדם משתנה שנעלם, אל תהפוך כיוון אלא רק בהכפלה/חלוקה במספר שלילי, ואל תצלל חצי מישור מהשיפוע של הקו בלבד.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.