היקף ותנאי מקדימים
בהתבסס על המסגרת Digital SAT. משימות נייר אלו אינן מותאמות אישית ואינן חוזה ציון מוקנה.
- יישום קנה מידה של אורך, שטח ונפח לצורות דומות
- שימוש בזוויות קווים מקבילים וסכום זוויות משולש למציאת נעלמים
- הבדל בין דמיון לחפיפה ומידע מספיק
תנאי קדם: סכום זוויות במשולש; פיתגורס; מידות אורך/שטח/נפח.
הסבר ובחירת השיטה
לצורות דומות עם קנה מידה אורך k, אורכים המתאימים משתנים ב-k, שטחים ב-k² ונפחים ב-k³. חוקים אלו חלים כאשר כל הממדים המתאימים משתנים יחד. צילינדר שרק הרדיוס שלו הוכפל וגובהו קבוע, יש לו ארבע פעמים הנפח, ולא שמונה פעמים. ציינו אילו ממדים משתנים לפני בחירת החזקה.
השתמשו במידה גיאומטרית הנכונה: שטח משולש הוא חצי בסיס כפול גובה אנכי; נפח צילינדר הוא שטח בסיס כפול גובה. שטח פנים מוסיף פנים חשיפות, בעוד שנפח מודד מרחב סגור. אורך אלכסוני אינו בהכרח הגובה האנכי הנדרש בנוסחת שטח. חברו יחידות ריבועיות או קוביות לתוצאה.
זוויות אנכיות שוות. עבור קווים מקבילים החתוכים על ידי חוצה, זוויות תאומות וזוויות פנימיות חלופיות שוות, וזוויות פנימיות באותו צד סכומן 180°. סכום הזוויות הפנימיות במשולש הוא 180°; זווית החיצונית שלו שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הרחוקות. כללים אלו תלויים במקבילות המצוינת או מסומנת, ולא במראה הציור.
משולשים דומים משתפים זוויות תואמות וצדדים תואמים פרופורציונליים; משולשים חופים גם הם בעלי אורכים תואמים שווים. שתי זוויות מקימות דמיון אך לא שוויון גודל. שמרו על התאמה בעת כתיבת יחס. סידור צד-צד-זווית אינו מבטיח חפיפה אוניברסלית, בעוד שצד-זווית-צד כולל את הזווית בין שני הצדדים.
גורם קנה מידה $k$ משנה כל אורך תואם. $A_2=k^2A_1$ ו-$V_2=k^3V_1$ לצורות דומות. אם $k=3/2$ ו-$A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, אז $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. שינוי של ממד אחד בלבד אינו מבטיח את חוקי הדמיון הללו.
דוגמה פותרת. שני גופים דומים יחס הערכות שלהם הוא 2:3, ולכן יחס השטחים הוא 4:9 ויחס הנפח הוא 8:27. גינה משולשת עם בסיס 12 מטר וגובה מאונך 5 מטר היא בעלת שטח 30 מטר². אם למשולש יש זוויות פנימיות של 48° ו-67°, הזווית השלישית היא 65° והזווית החיצונית הסמוכה היא 115°=48°+67°.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
כלים דומים בעלי שטחי פנים 96 ו216 ס"מ רבועים. הנפח הקטן יותר הוא 160 ס"מ מעוברים. מצא את הנפח הגדול יותר.
הסבר. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. הנפח משתמש בקובייה: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. שימוש ישיר ביחס השטח יניב נפח שגוי.
תרגול 2
למשולש ישר זווית היפרוטנוז של 13 ס"מ וזרוע אחת של 5 ס"מ. מצא את הזרוע השנייה, את השטח ואת סינוס הזווית מול הזרוע של 5 ס"מ.
הסבר. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
תרגול 3
שתי זוויות פנימיות במשולש הן 42° ו73°. מצא את הזווית השלישית ואת הזווית החיצונית הסמוכה לה. האם זוויות אלו לבדן קובעות את כל אורכי הצלעות?
הסבר. הזווית השלישית היא $180-42-73=65$ מעלות. הזווית החיצונית הסמוכה לה היא $180-65=115$ מעלות, גם כן $42+73$. זוויות קובעות צורה אך לא קנה מידה; משולשים דומים יכולים להיות בעלי אורכי צלעות שונים.
תרגול 4
Two parallel lines are cut by a transversal. One corresponding angle is 68°. Find its matching corresponding angle and the adjacent angle on the second line. Explain which given condition justifies each step.
Reasoning. Parallelism gives the matching corresponding angle 68°. The adjacent pair forms a straight angle, so the other is 180°−68°=112°. Equal corresponding angles require the stated parallel lines; the straight-angle sum uses adjacency on one line. A similar-looking sketch without parallelism would not justify the first equality.
מגבלות ושימוש עתידי
השתמש ב-k² או k³ רק כאשר הצורה כולה מושקלת; אל תסקור קווים מקבילים או גובה מאונך מעיצוב שאינו מסומן.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.