היקף ותנאי מקדימים
בהתבסס על המסגרת Digital SAT. משימות נייר אלו אינן מותאמות אישית ואינן חוזה ציון מוקנה.
- השווה באופן איכותי ממוצע, חציון, טווח וסטיית תקן
- חזה את ההשפעה של הוספה או הכפלה של כל ערך במset
- קרא מידע בתדרות מבלי לבלבל בין ערכים לספירות
תנאי קדם: נתונים מסודרים; תדר; ממוצע וחינוך.
הסבר ובחירת השיטה
הממוצע משתמש בסכום כל התצפיות חלקי למספרן; החדשן הוא אמצע התצפיות המסודרות. תדירות פירושה שערך חוזר: אם 2 מופיע שלוש פעמים ו8 פעם אחת, הממוצע הוא (3·2+8)/4=3.5, ולא (2+8)/2. המיקום האופקי בתצוגה הוא הערכים והתדירות קובעת כמה תצפיות הן מייצגות.
הטווח הוא מקסימום מינוס מינימום; סטיית תקן מתארת מרחקים טיפוסיים מהממוצע. אין צורך לזכור נוסחה מלאה כדי להשוות חלוקות פשוטות עם מרכזיות שווה: נתונים קבועים סביב הממוצע יש להם סטיית תקן קטנה מאשר נתונים שמרוחקים ממנו סימטרית. חריגה יכולה לשנות את הממוצע והפיזור באופן משמעותי תוך שמירה על יציבות החציון.
הוספת c לכל תצפית מעלה את הממוצע והחציון ב-c אך משאירה את הטווח וסטיית התקן ללא שינוי, מכיוון שהמרחקים הזוגיים אינם משתנים. הכפלת כל תצפית ב-k חיובי מכפילה את הממוצע, החציון, הטווח וסטיית התקן ב-k. באופן כללי, הפיזור נשמר פי |k|, בעוד שכופל שלילי הופך את הסדר.
בעת השוואת גרפים, בדוק את קנה המידה ואת ספירת התצפיות לפני שישפט רוחב apparent. גרף שנמתח אופקית עשוי להיראות משתנה יותר מבלי לייצג ערכים שונים. טענה לגבי שוויון סטיות תקן דורשת את ההתפלגויות בפועל, ולא רק טווחים שווים או ממוצעים שווים.
תדירות סופרת תצפיות חוזרות. ערכים 1, 3, 7 עם תדרים 2, 1, 1 מייצגים ארבע תצפיות: 1, 1, 3, 7. $\bar x=\sum fx/\sum f=(2(1)+1(3)+1(7))/4=3$. התיכון הוא $(1+3)/2=2$; אינו חייב להתאים לממוצע.
*אותו ממוצע, אך ערכי B נמצאים רחוק יותר מהמרכז, ולכן ל-B יש סטיית תקן גדולה יותר
דוגמה פותרת. A={4,5,6} ו-B={0,5,10} לשתי הקבוצות יש ממוצע ומיון של 5, אך ל-B יש פיזור גדול יותר. הוספת 7 נותנת את A+7={11,12,13}, ממוצע 12 והסטייה התקנית זהה לזו של A. הכפלת A ב-2 נותנת {8,10,12}; הממוצע שלה הוא 10 והטווח והסטייה התקנית כפולים ממקורם. טווח שווה לבדו אינו מבטיח סטייה תקנית שווה.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
הערכים 2, 5, 8 בעלי תדירויות 3, 2, 1. מצאו ממוצע, חציון וטווח.
נימוק. הנתונים הם 2,2,2,5,5,8. $\bar x=(3(2)+2(5)+1(8))/6=4$. המיון הוא הממוצע של עמדות 3 ו-4, $(2+5)/2=3.5$. הטווח $R=8-2=6$.
תרגול 2
כל תצפית למעלה שונתה ב-$z=3x-4$. מצא את הממוצע, החציון והטווח החדשים. ציין כיצד סטיית התקן משתנה ללא חישוב.
הסבר. הממוצע הוא $\bar z=3\bar x-4=3(4)-4=8$. התיכון הוא $3(3.5)-4=6.5$. התחום הוא $3(6)=18$. סטיית תקן משולשת; חיסור 4 אינו משנה את המרחק מהממוצע.
תרגול 3
השוו בין A = {0, 0, 10, 10} לבין B = {0, 5, 5, 10}. לשניהם תחום 10. האם חייב להיות להם גם סטיית תקן זהה? נמק.
הסבר. שני הממוצעים הם 5. כל ערך ב-A נמצא במרחק 5 מהממוצע שלו; מרחקי B הם 5,0,0,5. לכן ל-B יש סטיית ריבועים ממוצעת קטנה יותר וסטיית תקן קטנה יותר. תחום זהה לבדו אינו מספיק.
מגבלות ושימוש עתידי
אל תחשב ממוצע של תוויות קטגוריה שונות כאשר התדירות שונה, או אל תבלבל בין התפלגות מוזזת לבין התפלגות יותר מפוזרת.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.