היקף ותנאי מקדימים
בהתבסס על המסגרת Digital SAT. משימות נייר אלו אינן מותאמות אישית ואינן חוזה ציון מוקנה.
- factoring and expanding expressions without changing their values
- צמצום ביטויים רציונליים ושורשיים בתחום המקורי
- Use expression structure to identify zeros and coefficients
תנאי קדם: חוק החילוק; הפרש ריבועים; שורשים ריבועיים ממספרים אמיתיים.
הסבר ובחירת השיטה
הפעלת סוגריים מפזרת כל גורם על שאר הגורמים; factoring מהפך תהליך זה. x²-5x+6=(x-2)(x-3), כך שהצורה המוכפלת חושפת את האפסים בעוד הצורה המפותחת חושפת את המקדמים. בחרו את הצורה המשמשת את השאלה ולא טיפלו בצורה אחת כעדפה תמידית.
ביטול גורמים, לעולם איברים בסכום. הביטוי (x²-4)/(x-2) הופך ל-x+2 רק עבור x≠2, מכיוון שהביטוי המקורי אינו מוגדר ב-2. מגבלה עשויה להישאר לאחר שכל המכנים נעלמו מהביטוי המפושט. ציינו אותה לפני הביטול והמשיכו איתה בהשוואות או בפתרון משוואות.
חוקי מעריכים תלויות בהקשר: a^m·a^n=a^(m+n) ו-(a^m)^n=a^(mn) בתחום הממשים המותר. מעריכים שליליים יוצרים חוזרות וחייבים בסיסים שאינם אפס. עם שורשים ריבועיים ממשיים, √(x²)=|x|, משום שהשורש הראשי הוא אי-שלילי; הוא אינו שווה ל-x עבור כל ממשי x.
לבדיקת שוויון, הצבה מספרית יכולה לחשוף שגיאה, אך ערך התאמה אחד אינו מוכיח שתי ביטויים שווים. זהות אלגברית תקנית בשילוב תחום התאמה הם מוכיחים זאת. כאשר השאלה מבקשת מקדם, פתחו רק עד הספיסה הנדרשת וחשבו כל תרומה לכוח הרלוונטי.
ביטויים שווים חייבים להיתאים בתחום המוגדר. $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$ רק עבור $x\ne5$. ביטול גורם מסיר גורם, אך אינו יכול לשחזר קלט שאינו מוגדר. גם $\sqrt{x^2}=|x|$, כי שורש ריבועי ראשי אינו יכול להיות שלילי.
דוגמה מוצגת. (x²-9)/(x-3)=(x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 עבור x≠3. בנקודה x=3 הביטוי המקורי אינו מוגדר. עבור x=-5, √(x²)=5=|x|. בביטון (2x+1)(x-4), מקדם ה-x הוא -8+1=-7 והביטון המלא הוא 2x²-7x-4.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
צמצם $F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$. ציין כל הגבלה מקורית והסבר מדוע $F$ אינו זהה ל$x/(x+4)$ על כל תחום ההגדרה של הנוסחה האחרונה.
סיכום. גירנו מונה $x(x-4)$ ומכנה $(x-4)(x+4)$. הדומיין המקוריheit $x=4,-4$. צמצום נותן $F(x)=x/(x+4)$ עבור $x\ne4,-4$. הנוסחה האחרונה לבדה מאפשרת $4$, שבה היא נותנת $1/2$, בעוד ש$F(4)$ אינו מוגדר.
תרגול 2
מצאו את המקדם של $x$ ב-$(3x-2)(x+5)$ והעריכו $\sqrt{(x-5)^2}$ כאשר $x=1$.
הסבר. הרחבה נותנת $3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$, ולכן המקדם הוא 13. השורש הוא $|x-5|$; ב-$x=1$, הערך הוא $|-4|=4$, ולא $-4$ או 16.
תרגול 3
תלמיד בודק $x=2$ ומסיק ש-$x^2$ ו-$2x$ הם שווים. הכחיש את המסקנה ופתר היכן שהם באמת מסכימים.
הסבר. ב-$x=3$ הפלט הם 9 ו-6, ולכן מבחן התאמה אחד אינו הוכחה. פתרו $x^2=2x$ כ-$x(x-2)=0$, וקבלו רק $x=0,2$.
מגבלות ושימוש עתידי
נוסחה מפושטת אינה אוטומטית פונקציה שקולה בתחום הגדרה גדול יותר; ביטול איברים דרך חיבור הוא לא חוקי.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.