GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 5
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
תנאי קדם: ביטויים כמותיים, אי-שוויונות, סדרות ופונקציות רציפות.
צמידות: לכל כיסוי פתוח קיים תת-כיסוי סופי.
גבול עליון: הגבול העליון הקטן ביותר של קבוצה.
| English | עברית |
|---|---|
| compact/kəmˈpækt/ | קומפקטי |
| supremum/suːˈpreməm/ | סופרמום |
ביטוי אפסילון-דלטה שולט בכל הקלט הקרוב מספיק. סדר הכמותיים חשוב.
במרחב האוקלידי הממשי, קבוצות סגורות וחסומות הן צמודות. אין להשתמש בשוויון זה בכל מרחב מטרי.
תמונות רציפות של קבוצות צמודות הן צמודות, ולכן פונקציה ממשכמת רציפה בתחום צמוד מגיעה לקיצונים.
הקשריות מונעת הפרדה לחלקים פתוחים לא ריקים ושאינם חופפים. רציפות שומרת על הקשריות; השלמות היא תכונה נפרדת.
הפונקציה f(x)=x ב-0,1 היא רציפה ומוגבלת אך לעולם לא שווה לסופריום שלה 1. ב-[0,1], אותה פונקציה מגיעה למקסימום בנקודה 1. הקצה החסר מסביר מדוע משפט התחום הסגור אינו חל על המקרה הראשון.
מסקנה של משפט לא יכולה לשמש לפני שבדקו את ההנחות שלו.
הוכח רציפות של $f(x)=x^2$ בנקודה 2 באמצעות בחירה מפורשת של אפסילון-דלטה. הסבר נפרד מדוע היא מגיעה למינימום על $[1,3]$.
נתון $\epsilon>0$, בחר $\delta=\min(1,\epsilon/5)$. אם $|x-2|<\delta$, אז $1<x<3$, ולכן $|x+2|<5$.
במרחב המטרי $X=(0,1)$ עם המטריקה הרגילה, האם X מוגבל? האם הוא סגור בעצמו? האם הוא קומפקטי או שלם? הסבר מדוע משפט היינה-בורל לא ניתן לשימוש כאן.
X מוגבל, וסגור ביחס לעצמו (המשלים שלו ב-X הוא ריק). למסדרת קושי $1/(n+2)$ אין גבול ב-X, ולכן X אינו שלם, ומכאן אינו קומפקטי. ישירות, הכיסוי הפתוח היחסי $\{(1/n,1):n\ge2\}$ מכסה את X אך אין לו תת-כיסוי סופי. משפט היינה-בורל דורש סגירות והגבלה כתת-קבוצה במרחב אוקלידי; X אינו סגור ב-$\mathbb R$. נסח משפט אינו יכול להשתנות מרחב הבית שלו באמצע ההוכחה.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…