GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 23
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
תנאי קדם: טריגונומטריה ברדיאנים, נגזרות ופרמטריזציה של עקומות.
זווית פאזה: ההזזה הזוויתית בתוך ארגומנט של פונקציה מחזורית, מוגדרת מודולו מחזור מלא.
עקום פרמטרי: עקום שבו הקואורדינטות מוגדרות כפונקציות של פרמטר משותף.
| English | עברית |
|---|---|
| phase angle/feɪz ˈæŋɡl/ | זווית פאזה |
| parametric curve/ˌpærəˈmetrɪk kɜːv/ | עקומה פרמטרית |
עבור y=A cos(ωx−φ) כאשר A>0 ו-ω>0, המשרעת היא A, המחזור הוא 2π/ω, וההזזה האופקית היא φ/ω. הזווית הפאזית φ נמדדת בתוך ארגומנט הקוסינוס; היא אינה ההזזה האופקית עצמה אלא אם ω=1. התחל עם מרווח קודמת לקודמת כדי למצוא את המחזור, ומרווח קו אמצע לקודמת כדי למצוא את המשרעת. כדי למצוא את הפאזי, הצב נקודה ידועה ובדוק את כיוון התנועה בנקודה זו. פאזיים שקולים שונים ב-2π.
ל- y=−2 cos(3x), חזרו על הדגם עם משרעת חיובית כ- 2 cos(3x−π). המשרעת שלו היא 2, תקופה 2π/3, ופאז' π; ההזזה ימינה השקולה היא π/3. שיאים מתקבלים כאשר 3x−π הוא כפולה של 2π. נקודת גרף ב-x=0 ו-y=0 לבדה לא יכולה לקבוע פאז' באופן חד-משמעי: שיפועים או נקודה נוספת מבדילים בין הזוויות האפשריות. היחידות וקונבנציות הזוויות חשובות; נגזרות טריגונומטריות בק্যালקולוס רגילות משתמשות ברדיאנים.
עקום פרמטרי מפרט x=x(t), y=y(t). ביטול t מתאר קבוע נקודות אך עלול לאבד מגבלות וכיוון. עבור x=cos³t, y=sin³t, שורשים קוביים אמיתיים נותנים |x|^(2/3)+|y|^(2/3)=1, אסטרויד עם שיפכים על צירי הקואורדינטות. כאשר t נע מ-0 עד 2π הוא מתחיל ב-(1,0), עובר ב-(0,1) ב-π/2 ותנוע בצcounterclockwise (נגד כיוון השעון). הגבלת t ל-[0,π/2] נותנת רק קשת במרובע הראשון, ולא כל המקום האימליציטי.
כאשר dx/dt≠0, dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt). נגיעה אופקית דורשת בדרך כלל dy/dt=0 ו-dx/dt≠0; נגיעה אנכית הופכת בדרך כלל תנאים אלו. אם שניהם מתאפסים, בדקו גבול או פיתוח מקומי ולא קחו 0/0 כשיפוע. עבור x=t²,y=t³ ב-t=0, המנה עבור t≠0 היא 3t/2 ונוטה לאפס: השיפך יש לו נגיעה אופקית. מהירות פרמטרית אפס אינה לבדה מקסימום או מינימום מקומי של y כפונקציה של x.
עבור y=−2 cos(3x), מינימוסים כוללים x=0 ומקסימוסים כוללים x=π/3. נציגת הפאזה 2 cos(3x−π) נותנת אותן ערכים. עבור x=2 cos t, y=sin t, ביטול נותן x²/4+y²=1; ב-t=π/4, dx/dt=−√2 ו-dy/dt=√2/2, ולכן שיפוע −1/2. תחום הפרמטר המלא [0,2π] משרטט את האליפסה פעם אחת נגד כיוון השעון.
זווית פאזה והזזה אופקית נבדלות על ידי גורם התדר. משוואה אינוליציטית יכולה להוסיף חלקים משרטטות של העקומה. אם שתי הנגזרות של הפרמטר מתאפסות, השתמש בלוגיקה מקומית במקום לסמן כל נקודה ככזו כמינום.
עבור $y=-3\cos(2x)$, ציינו משרעת, תקופה, ייצוג פאז' עם משרעת חיובית וההזזה האופקית המתאימה. פרמטרו את האליפסה $x^2/9+y^2/4=1$ נגד כיוון השעון.
המשרעת היא שלושה והמחזור $2\pi/2=\pi$. כתוב $y=3\cos(2x-\pi)$, עם פאזי $\pi$ והזזה ימינה $\pi/2$. הפאזי וההזזה אינם אותו דבר. פרמטריזציה אחת היא $x=3\cos t,y=2\sin t$, $0\le t\le2\pi$, שמתחילה ב-$(3,0)$ ותנועתה ההתחלתית היא כלפי מעלה. ביטול t בודק את משוואת האליפסה.
עבור $x=t^2,y=t^3$ על $-1\le t\le1$, קבעו את המקום שהתעקם ואת הנגיעה ב-t=0. האם התאפלות מהירות פרמטרית מוכיחה שאין נגיעה? האם המשוואה האימליציטית לבדה שומרת על כל מגבלת הפרמטר?
ביטול נותן $y^2=x^3$, עם $0\le x\le1$ ושני סימני y. עבור t אי-אפס, $dy/dx=3t/2\to0$. שיפוע החוצה מהראשית הוא גם $y/x=t\to0$, ולכן לשיפך יש נגיעה אופקית. שתי הנגזרות הפרמטריות מתאפסות באפס, מה שהופך את המנה הגסה ל-$0/0$ חסר תשובה, ולא מוכיח אי-קיום נגיעה. המשוואה האימליציטית ללא מגבלה מכילה גם נקודות עם x>1; מגבלת הקטע חייבת להיות מועברת בנפרד.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…