1 · Numbers and the number system

4נושא MA1 1 (בעיית ספציפיקציה 2, נובמבר 2017) הוא הלב הפועם של ההסמכה: שורות יסוד 1.1–1.11 עוברים מספרים שלמים וארבעת הכללים דרך שברים, עשרוניים, מעריכים, קבוצות, אחוזים, יחסים, גבולות וספרות סטנדרטיות עד עבודת מספרים יומיומית; רמה מתקדמת מוסיפה המרת עשרוניים חוזרים, שורשים אלגבריים, שינוי אחוז כפול והספקות גבול. במבחני יוני 2024 סוג זה ספק אחוז הפוך (2HR Q8), ספרות סטנדרטיות (2HR Q9), ההמרה לעשרון חוזר (2HR Q18), כפל בגבול עליון (2HR Q19), השורשה של שורשים (1HR Q17 משפחה) וגורמים ראשוניים עם אזורים ון (1HR Q11 משפחה).

חובה לדעת לנושא 1:

מספרים שלמים כוללים חיוביים, שליליים ואפס; ערך מקום מיימן את ערכו של כל ספרה. מספרים מכוונים מופיעים בהקשרים פרקטיים (טמפרטורה, חוב, פני ים); סידור מציב אותם בקו המספר. ארבעת הכללים עם שליליים: סימנים זהים מחברים, שונים חוסרים, שני שליליים עושים חיובי. סוגריים, לאחר מכן מעריכים, לאחר חלוקה/כפל, לאחר מכן חיבור/חיסום (BIDMAS): $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 16 = 19$, בעוד $(3 + 4) \times 2 = 14$. אי-זוגי, זוגי, מספרים ראשוניים (שני גורמים בדיוק), גורמים וכפולות ממיינות מספרים שלמים; גורמים משותפים וכפולות משותפות מובילים ל-MCH ול-MLC. כפילים משותפים מובילים לגורם המשותף הגדול ביותר ולכפולה המשותפת הקטנה ביותר.

שברים שווים מצמצמים או מרחיבים: $\tfrac{8}{12} = \tfrac23$. מספר מעורב ושברים רגילים מתמירים בחילוק עם שארית. A common denominator lets fractions be ordered, compared, added and subtracted: $\tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}$. A fraction OF a quantity multiplies: $\tfrac34$ of 48 is 36; expressing one number as a fraction of another divides ($7$ as a fraction of $28$ is $\tfrac14$). Multiplying מכנה כחזקה של עשר. reciprocal — unit fractions as multiplicative inverses ($\tfrac13$ undoes $3$). שברים מתמירים לעשרונות (חילוק) ולאחוזים (כפל ב-100).

עשרונות חוזרים (גבוה) מתמירים באמצעות אלגברה: נניח $x = 0.306306\ldots$; then $1000x = 306.306\ldots$; subtracting, $999x = 306$, so $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$ (יוני 2024 2HR Q18). עשרון סופי הוא שבר שמכנונו חזקה של עשר. denominator a power of ten.

ערך המקום העשרוני כולל עשיריות, מאיתיות ואלפוניות; סידור משווה את הספרות בעלות הערך הגבוה ביותר תחילה. מסרי ריבוע ($1, 4, 9, \ldots$), מסרי קוב, numbers** ($1, 8, 27, \ldots$), their roots, and index notation with חוקי החיסור והכפל לחזקות של מספרים שלמים חיוביים: $2^3 \times 2^4 = 2^7$ and $2^7 \div 2^3 = 2^4$. Every integer factors into primes: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$; יוני 2024 1HR Q11 משפחת גורמים מפרקת מספרים גדולים לגורמים ראשוניים וקוראת מכפלות אזוריות ממפת ון ($19600 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2$). ה- HCF לוקח את החזקה הנמוכה ביותר מכל גורם ראשוני משותף; LCM לוקח את החזקה הגבוהה ביותר מכל גורם ראשוני: עבור $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ ו- $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, HCF $= 2^2 \cdot 3 = 12$ ו-LCM $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$.

שורש אקראי הוא שורש אקראי מדויק כגון $\sqrt2$. פשוט על ידי הוצאת ריבועים: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$, כאשר $\sqrt{ab} = \sqrt a\, \sqrt b$. Adding needs like surds: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$, but $\sqrt2 + \sqrt3$ אינו ניתן לפישוט.

המקבל — סכום/הפרש של שני רבועים מבטלו במדויק. דוגמה עבודה: bottom by the conjugate — a difference of two squares clears it exactly. Worked case: $\dfrac{5}{3 - \sqrt2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{(3 - \sqrt2)(3 + \sqrt2)} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{9 - 2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{7}$; and $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. יוני 2024 1HR Q17 משפחת השוואת מכנים built from $2 - \sqrt3$ to an answer of the family $\tfrac{7(2 + \sqrt3)}{4}$ — since $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3) = 1$, המכפיל $(2 + \sqrt3)$ מנטרל את השורש האקראי במדויק.

קבוצה היא אוסף של אלמנטים: $A = \{2, 4, 6, 8\}$. סימון: $\cup$ (union, in either set), $\cap$ (intersection, in both), $\in$ and $\notin$ (שייכות). הקבוצה האוניברסלית $\mathcal{E}$ מכילה הכל תחת דיון; ה-קבוצה הריקה $\emptyset$ אינה מכילה אלמנטים; ה משלים $A'$ כולל את הכל ב-$\mathcal{E}$ מחוץ ל-$A$. **תרשימי ון מציירים אזורים — ברמה גבוהה עם קבוצות אלגבריות, תת-קבוצות ($B \subset A$: כל אלמנט של $B$ נמצא ב-$A$), ספירת האלמנטים $n(A)$, שימושים מעשיים (מסלולי קול, אזורים של גורמים ראשוניים). יוני 2024 1 HR Q11 משפחה מיקמת את הגורמים הראשוניים של שני מספרים בתרשים ון בעל שני קבוצות וקורא מכפלות כגון $AB$, $A^2$ ו$B^2$ מאזורים משולבים — ה-GCF הוא מכפלת החיתוך, וה-LCM המכפלה של הכל.

אחוז הוא חלקים ל-100: $35\% = 0.35 = \tfrac{7}{20}$. אחוזים פועלים כ מכפילים: עלייה ב-$12\%$ היא $\times 1.12$; ירידה ב-$20\%$ היא $\times 0.8$. אחוז הפוך מחלק את הערך הסופי במכפיל — יוני 2024 2 HR Q8: מקרר שעלותו 6225 רופיות לאחר הנחה ב-$17\%$ עלתה במקור $\tfrac{6225}{0.83} = 7500$ רופיות. ריבית מורכבת והשקמה חלים על המכפיל חוזר על עצמו: $A = P\left(1 \pm \tfrac{r}{100}\right)^n$ — £2000 ב-3% ריבית מורכבת למשך 4 שנים עולה ל-$2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; רכב בשוויה £12000 משוקם ב-15% לשנה למשך 3 שנים יורד ל-$12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

יחס משווה חלקים: צמצום על ידי חלוקה ($45 : 60 = 3 : 4$); חלוקה על ידי $\tfrac{\text{parts}}{\text{total}} \times \text{amount}$ — £350 חולקו ב- היחס $2 : 5$ נותן $\tfrac27 \times 350 = £100$ ו$\tfrac57 \times 350 = £250$. פרופורציה מתרחבת בתוך או בין כמויות: שיטת היחידה מוצאת יחידה אחת תחילה (7 עטים עולים £4.20, ולכן עט אחד עולה £0.60 ו-12 עטים עולים £7.20); כמויות ב-פרופורציה ישירה מתרחבות באותו אופן ($y = kx$). בעיות מילוליות מערבבות יחס עם שברים ואחוזים — שמור על היחידות במפורש ובדוק את התשובה סביר.

עגל שלמים לכוחות של עשר ועשרוני לספרות משמעותיות או למקומות עשרוניים: places: $3.4617 \to 3.5$ (2 s.f.) and $3.46$ (2 d.p.). An accurate value carries bounds — 19 to the nearest whole means $18.5 \le v < 19.5$ — the **upper בנוי מ19.5 לתשובה של המשפחה 18.5 — מכיוון 1 s.f. first: $\tfrac{4.12 \times 29.8}{0.187} \approx \tfrac{4 \times 30}{0.2} = 600$. בבעיות גבולות (רמה גבוהה) בוחרים את הקיצונים שהשאלה דורשת — יוני 2024 2HR Q19: מרחק $=$ מהירות $\times$ זמן עם מהירות $19$ ק"מ/ש' לעגול לשלם הקרוב (כלומר UB $19.5$) וזמן $1.5$ ש' עד 1 מ.ע. (כלומר UB $1.55$): הגבול העליון של המרחק הוא $19.5 \times 1.55 = 30.2$ ק"מ (3 ס.מ.).

טופס סטנדרטי כותב $a \times 10^n$ באמצעות $1 \le a < 10$: $604000 = 6.04 \times 10^5$ and $0.00007 = 7 \times 10^{-5}$ (יוני 2024 2HR Q9). חזקות נוספות and subtract across the multiplication and division of standard-form numbers, and the calculator's $\times 10^{\wedge}$ key keeps the working exact.

מצורפות. יחידות סטנדרטיות: מסה (ק"ג, ג'), אורך (ק"מ, מ', ס"מ, מ"מ), שטח, נפח, זמן מצורף. יחידות סטנדרטיות: מסה (ק"ג, ג'), אורך (ק"מ, מ', ס"מ, מ"מ), שטח, נפח, זמן (שניות עד שנים, שעונים בשעה 12 ושעונים בשעה 24), והמרתם האחד לשני ($1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$; $1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3$). A מפחית דיוק: שמרו על דיוק מלא לאורך כל העבודה ועיגלו רק את התשובה הסופית, בהתאם לדיוק הנדרש. תשובה, בדיוק הנדרש.

• מספרים שלמים, סדר, מספרים מכוונים, ארבע הפעולות, BIDMAS, אי-זוגי, זוגי, ראשוני, גורמים וכפולים (F 1.1 A–H).
• שברים שווים ערכם, שברים מעורבים, מכנים משותפים, שבר כמות, הופכים, המרות FDP (F 1.2 A–H).
• שברים עשרוניים מחזוריים לשברים באמצעות אלגברה (H 1.3 A; June 2024 2HR Q18).
• שברים עשרוניים: ערך מקום, סדר, שברים עשרוניים מסתיימים כשברים (F 1.3 A–E).
• ריבועים, קוביות, שורשים, חוקי מעריכים, פירוק לגורמים ראשוניים, GCD ו-LCM (F 1.4 A–E; June 2024 1HR Q11 family).
• שורשים מרוכבים: פישוט, חיבור שורשים דומים, רציונליזציה עם מ-queryates (H 1.4 A–B; June 2024 1HR Q17 family).
• קבוצות: סימון, אוניברסל/ריקה/משלים, דיאגרמות ון; קבוצות חלקיות מתקדמות, n(A), קבוצות אלגבריות ומעשיות (F 1.5 A–E, H 1.5 A–D).
• אחוזים: מכפילים, אחוז מכמות, עלייה/ירידה, הפוך, ריבית מורכבת והשחתת ערך (F 1.6 A–G, H 1.6 A–B; June 2024 2HR Q8).
• יחס בצורה הפשוטה ביותר, חלוקה, פרופורציונליות ישירה, שאלות מילוליות (F 1.7 A–E).
• Rounding to powers of ten, s.f. and d.p.; bound identification and bound problems choosing the right extremes; estimation by 1 s.f. (F 1.8 A–D, H 1.8 A; June 2024 2HR Q19).
• המרות לאצטרופה וחשבון (F 1.9 A, H 1.9 A; יוני 2024 2HR Q9).
• מספרים בשימוש יומיומי, יחידות סטנדרטיות והמרות, חישובי זמן, שימוש במחשבון (F 1.10 A–C, F 1.11 A).

הערות גבול: מעריכים שבריים, שליליים ואפס מעבר להכפלה ו- חלוקה שייכים לנושא 2; גרפי פרופורציה שייכים לנושאים 2 ו4; מדדים מורכבים (מהירות, צפיפות, לחץ) שייכים לנושא 4. מועמדי רמת היסוד עונים רק על שורות רמת היסוד. דוגמאות פתרות הן מהדמות של מבחני יוני 2024 או מקוריות; שאלות בדפים הן מקוריות אלא אם כן מסומנות.