FP3 · Further Pure Mathematics 3

מתמטיקה טהורה נוספת 3 (FP3, מבחן WFM03/01, 1 שעון 30 דקות, 75 נקודות, הערכה ראשונה יוני 2020) היא היחידה הטהורה האחרונה: P1–P4 ו-FP1 נחשבים למוקדמים ועלולים להיבדק. היא מוסיפה את הפונקציות ההיפרבוליות והופכות שלהן, האליפסה וההיפרבולה עם מאפיין הציר-מיקוד שלהן המאפיינים, טכניקות הנגזרה והאינטגרציה הנותרות (נוסחות ירידה, אורך קשת, משטחי סיבוב), מכפלות וקטוריות עם ישרים ומישורים במרחב תלת-ממדי, ואלגברת מטריצות עד לערכים מיוחדים ודיאגונליזציה. עיון זה מכסה הכל, עם אורך, משטחי סיבוב), מכפלות וקטורים עם ישרים ומישורים במרחב תלת-ממדי, וכן אלגברת מטריצים עד ערכים מיוחדים ודיאגונליזציה. רפרנס זה מכסה הכל, עם מבחן יוני 2025 כעמוד השדרה הפתור.

חובה לדעת ל-FP3 (הנחה, לא מוסבר מחדש):

הפונקציות ההיפרבוליות בנויות מפונקציות מעריכות: $\cosh x = \tfrac12(e^x + e^{-x})$ ו-$\sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$, כאשר $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$. הגרף של $\cosh$ הוא קטנארי, גם כאשר יש ערך מינימום $(0, 1)$; $\sinh$ היא אי-זוגית ביחס לראשית; $\tanh$ היא אי-זוגית ומוגבלת בין אסימפטות השרטות $y = \pm 1$. זהויות שיש להוכיח לפי דרישה הן $\cosh^2x - \sinh^2x \equiv 1$ ו-$\cosh 2x \equiv \cosh^2x + \sinh^2x$; זהויות סכום-למכפלה חוזות את התרומנומטריות.

דוגמה פתורה — זהות מההגדרות (WFM03 יוני 2025 שאלה 1). הוכח כי $\cosh 6x + \cosh 4x = 2\cosh 5x\cosh x$. משמשאל השמאלי:

הצמת $e^{6x} = e^{5x}e^{x}$ עם $e^{-6x} = e^{-5x}e^{-x}$ וכמו כן עבור האיברים $4x$ — כל צעד הוא תיעוד עם מכפלות $e^{\pm x}e^{\pm 5x}$, ולכן נקודות הבחינה דורשות את הצורות המעריכות לפני כל ביטול. לאחר מכן פתרו $\cosh 6x + \cosh 4x = 8\cosh x$: ה זהות מצמצמת אותה ל-$\cosh x(2\cosh 5x - 8) = 0$, ו-$\cosh$ לעולם אינו אפס, ולכן $\cosh 5x = 4$, מה שמניב $5x = \pm\operatorname{arcosh}4 = \pm\ln(4 + \sqrt{15})$ וכן $x = \pm\tfrac15\ln(4 + \sqrt{15})$.

דוגמה מופרדת — משוואת cosh–sinh (מקורית). פתרו $2\cosh x + \sinh x = 2$: ה ההגדרות המעריכות נותנות $2\cdot\tfrac12(e^x + e^{-x}) + \tfrac12(e^x - e^{-x}) = 2$, ולכן $3e^x + e^{-x} = 4$, כלומר $3e^{2x} - 4e^x + 1 = 0$, כלומר $(3e^x - 1)(e^x - 1) = 0$, ועדיין $x = 0$ או $x = -\ln 3$. בדקו שניהם במשוואה המקורית — לעולם אין צורך בהעלאה בריבוע.

הפונקציות ההפוכות קיימות כפונקציות יחידות משום ש$\sinh$ ו$\tanh$ הן חד-לחד ו$\cosh$ היא חד-לחד עבור $x \ge 0$; הגרפים שלהן הם סימטריה ביחס ל$y = x$ של המקוריים המוגבלים. השוויונות הלוגריתמיים חובה להסיק, לא רק לציין:

תבנית גזירה (arsinh). נניח $w = \sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$: אז $e^{2x} - 2we^x - 1 = 0$, ולכן $e^x = w + \sqrt{w^2 + 1}$ (השורש השלילי נדחה כי $e^x > 0$) ו$x = \ln(w + \sqrt{w^2+1})$. מבנה ריבועי זה ב-$e^x$ פותר כל משוואה היפרבולית מעורבת בדיוק.

לאליפסה $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ יש צורה פרמטרית $x = a\cos t$, $y = b\sin t$; להיפרבולה $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ יש לו $x = a\sec t$, $y = b\tan t$ וגם $x = a\cosh t$, $y = b\sinh t$ (הענף הימני). ה- משיקות $e$ מקשרת הכל ל-מאפיין מוקד-מישור מכוון $PS = e\cdot PN$ (מרחק למוקד = $e$ × מרחק למישור המכוון): עבור האליפסה $b^2 = a^2(1 - e^2)$, מוקדים $(\pm ae, 0)$, מישורי מכוונים $x = \pm\dfrac ae$; עבור ההיפרבולה $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ עם אותם נוסחאות מוקד ומישור מכוון.

דוגמה פתורה — משיקות ומוקדים (WFM03 יוני 2025 שאלה 9א). עבור H: $\dfrac{x^2}{64} - \dfrac{y^2}{49} = 1$: $a^2 = 64$, $b^2 = 49$, ולכן $49 = 64(e^2 - 1)$, $e^2 = \tfrac{113}{64}$ ו$e = \tfrac{\sqrt{113}}8$; המוקדים הם $(\pm\sqrt{113}, 0)$.

הצבת $y = mx + c$ במשולש והפרשת הדיסקרימיננטה לאפס נותנת את המשיק תנאי: $c^2 = a^2m^2 + b^2$ עבור האליפסה, $c^2 = a^2m^2 - b^2$ עבור ההיפרבולה (לכן $\lvert m\rvert > \tfrac ba$ נדרש שם). בנקודה פרמטרית, גזרו במקום — אין צורך בדיסקרימיננטה. בעיות מקומות גיאומטריים חוזרות FP1: מרחקים למוקדים, אמצעים או יחס קבוע.

דוגמה פתורה — משיק, ניצב ועיגול מוקדי (WFM03 יוני 2025 שאלה9ב–ה). ב $P(8\sec\theta, 7\tan\theta)$ על H: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{7\sec^2\theta}{8\sec\theta\tan\theta} = \dfrac{7\sec\theta}{8\tan\theta}$, ולכן המשיק הוא

חותך את ציר ה-$y$ ב$Q = (0, -7\cot\theta)$; הניצב הנתון $8x\cos\theta + 7y\cot\theta = 113$ חותך אותו ב$R = (0, \tfrac{113}7\tan\theta)$. העיגול שמקומו קוטב $QR$ (קצוותיו $q, r$ על ציר ה-$y$) משוואתו $x^2 + (y - \tfrac{q+r}2)^2 = (\tfrac{r-q}2)^2$, שהוא מכיל נקודה $(x, 0)$ בדיוק כאשר $x^2 = -qr$. כאן $qr = -7\cot\theta\cdot\tfrac{113}7\tan\theta = -113$ עבור כל $\theta$, ו$113 = (\sqrt{113})^2$ הוא בדיוק ריבוע המרחק המוקדי — ולכן שני המוקדים $(\pm\sqrt{113}, 0)$ נמצאים על העיגול. ביטול ה-$\theta$ הוא ליבת השאלה.

$\dfrac d{dx}\sinh x = \cosh x$, $\dfrac d{dx}\cosh x = \sinh x$, $\dfrac d{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2x$, ואילו מההופכות: $\dfrac d{dx}\operatorname{arsinh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2+1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{arcosh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{artanh}x = \dfrac1{1-x^2}$ — כל אחד מהם ניתן להוכחה על ידי הפכת $y = f(x)$ וגזירה סתומה, והם תקפים רק בתחום הגדרתם. גזירה סתומה, וכל אחד תקף רק בתחום ההגדרה שלו.

כאן 03 הופך את 2025 ל4 — תנאי התחום עובד בפועל. הצבה $y = \operatorname{arsinh}x + \operatorname{arsinh}\dfrac1x$ עם $x > 0$:

כאן $x > 0$ הופך את $\sqrt{x^2}$ ל-$x$ — תנאי התחום עושה עבודה אמיתית. הגדרה $\dfrac{dy}{dx} = 0$ מניב $x = 1$ ו$y = 2\operatorname{arsinh}1 = 2\ln(1 + \sqrt2)$.

התוצאות הסטנדרטיות חוזרות על הנגזרות. השלם תחילה ריבוע למכנים שוריים, ועל טפל בפונקציות הפוכות באמצעות אינטגרציה בחלקים — קח את $u$ כפונקציה הפוכה ואת $1$ כשאר החלק:

דוגמה מפורשת — שתי הטכניקות (WFM03 יוני 2025 שאלה2). (i) $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+8x+9}}$: מכיוון ש$4x^2 + 8x + 9 = 4\left((x+1)^2 + \tfrac54\right)$, האינטגרל הוא $\tfrac12\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + 5/4}} = \tfrac12\operatorname{arsinh}\frac{2x+2}{\sqrt5} + c$ (גזור חזרה כדי לבדוק). (ii) $\displaystyle\int\operatorname{arcosh}3x\,dx = x\operatorname{arcosh}3x - \int\frac{3x}{\sqrt{9x^2-1}}dx = x\operatorname{arcosh}3x - \tfrac13\sqrt{9x^2-1} + c$.

ארבעה אינטגרלים לשמור בראש, כל אחד דרך $x = a\sinh t$ (או פיצולים מסוג $x = a\tan t$, $a\coth$): $\displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \operatorname{arsinh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \operatorname{arcosh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2+a^2} = \tfrac1a\arctan\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2-a^2} = \tfrac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + c$. נוסחת הרצה מבטאת את $I_n$ באמצעות $I_{n-1}$ (או $I_{n-2}$): אינטגרל בחלקים עם השורי כ$v$, ולאחר מכן מוסיף את האינטגרל השורי שנותר באמצעות הגדרת $I_n$. אורך קשת ו-משטח סיבוב דורשים $s = \displaystyle\int\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ ו $S = 2\pi\displaystyle\int y\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ (בפארמטרית, $s = \int\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}\,dt$ עם $y\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ עבור $S$).

דוגמה מפורשת — בניית נוסחת הרצה (WFM03 יוני 2025 שאלה5). עם $I_n = \displaystyle\int_1^6 \frac{x^n}{\sqrt{3x-2}}dx$, קח את $u = x^n$ ואת $v = \tfrac23\sqrt{3x-2}$:

שימוש ב$\sqrt{3x-2} = \dfrac{3x-2}{\sqrt{3x-2}}$ לחשיפת $I_n$ ו$I_{n-1}$. איסוף: $(3 + 6n)I_n = 4nI_{n-1} + 8\cdot6^n - 2$. זרע עם $I_0 = \tfrac23(4 - 1) = 2$ ו$I_1 = 6$ (בהצבה ישירה), ולאחר מכן $15I_2 = 8(6) + 8(36) - 2 = 334$, ו- $21I_3 = 12\cdot\tfrac{334}{15} + 8(216) - 2$, תוך מתן $I_3 = \tfrac{3322}{35}$.

דוגמה פותרת — משטח עם הצבה sinh (WFM03 יוני 2025 שאלה7). סיבוב $y = \cos 2x$, $0 \le x \le \tfrac\pi4$, דרך זווית $2\pi$ סביב ציר $x$ (ללא מחשבון): $S = 2\pi\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos 2x\sqrt{1 + 4\sin^22x}\,dx$. עם $2\sin 2x = \sinh\theta$, ולכן $4\cos 2x\,dx = \cosh\theta\,d\theta$, האינטגרל הופך ל $\tfrac\pi2\displaystyle\int\cosh^2\theta\,d\theta = \tfrac\pi4\Big[\sinh\theta\cosh\theta + \theta\Big]$ בין $0$ לבין $\operatorname{arsinh}2 = \ln(2+\sqrt5)$, ולכן $S = \tfrac\pi4\left(2\sqrt5 + \ln(2+\sqrt5)\right)$ — הגורמים $\cos 2x$ מצטמצמים לחלוטין, וזו הסיבה שההצבה מסופקת.

המכפלה הקרויה $\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$ היא אנכית לשני הגורמים עם $\lvert\mathbf a\times\mathbf b\rvert = \lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\sin\theta$ — שטח המקבילית. המכפלה הסקלרית המשולבת $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ היא נפח המקבילית הממוססת עם סימן; אפס מעיד על כך ששלושת הווקטורים נמצאים במישור אחד. קווים: $\mathbf r = \mathbf a + t\mathbf b$ או $(\mathbf r - \mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf 0$; מישורים: $\mathbf r\cdot\mathbf n = p$ או $\mathbf r = \mathbf a + s\mathbf b + t\mathbf c$ עם $\mathbf n = \mathbf b\times\mathbf c$. מרחק מנקודה למישור: $\dfrac{\lvert\mathbf x\cdot\mathbf n - p\rvert}{\lvert\mathbf n\rvert}$; המרחק הקצר ביותר בין קווים אל-משיקים: הרזעת ההפרש בין נקודות עיגון על הנורמל המשותף $\mathbf b_1\times\mathbf b_2$.

דוגמה פתורה — ממשטחים לקווים למרחק (WFM03 יוני 2025 שאלה8). עבור $\Pi_1: \mathbf r = (4,2,-1) + \lambda(7,5,-6) + \mu(-3,1,2)$: הווקטור הנורמלי הוא $(7,5,-6)\times(-3,1,2) = (16,4,22) = 2(8,2,11)$, והצבת נקודת העגינה נותנת $\mathbf r\cdot(8\mathbf i + 2\mathbf j + 11\mathbf k) = 32 + 4 - 11 = 25$. חיתוך עם $\Pi_2: x - y + z = 7$: כיוון הקו הוא $(8,2,11)\times(1,-1,1) = (13,3,-10)$ ונקודה פתרון שני המשוואות הוא $(\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1)$, ולכן $(\mathbf r - (\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1))\times(13,3,-10) = \mathbf 0$. הקו העובר דרך $A(2,1,3)$ ו-$B(3,0,2)$ בעל כיוון $(1,-1,-1)$; הנורמל המשותף הוא $(13,3,-10)\times(1,-1,-1) = (-13,3,-16)$, והמרחק הקצר ביותר הוא

קובעות והופכות מתרחבות ל-$3\times3$: הרחבה לפי כל שורה או עמודה (סימנים $+\,-\,+\,-\,+\,-$); $\mathbf A^{-1} = \dfrac1{\det\mathbf A}(\text{adjugate})$, כאשר המטריצה האדג'ואט היא הטרנספוז של מטריצת הקו-פאקטורים. מטריצות סינגולריות ($\det = 0$) אינן להפוך ו- גורמות לקריסת ממד. $(\mathbf{AB})^T = \mathbf B^T\mathbf A^T$ ו- $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$. ערך איגן $\lambda$ עם ווקטור איגן $\mathbf v$ מקיים $\mathbf{Av} = \lambda\mathbf v$ — שורה בשורה, כל רכיב ב-$\mathbf{Av}$ שווה ל-$\lambda$ כפול הרכיב המקביל ב-$\mathbf v$ (לא $\lambda$ עצמו). נתון $\mathbf v$, קראו $\lambda$ משכל שורה עם מכפלה לא-אפס; אחרת פתרו $\det(\mathbf A - \lambda\mathbf I) = 0$ והציבו בחזרה. עבור מטריצה סימטרית $\mathbf A$, ווקטורי איגן לערכי איגן שונים הם אנכיים, ומטריצה אנכית $\mathbf P$ של מטריצות איגון נורמליזציה מדיאגונליות אותה: $\mathbf P^T\mathbf{AP} = \mathbf D$.

דוגמה פתורה — ערכי איגון ממטריצה נתונה (WFM03 יוני 2025 שאלה3). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&a&b\\a&1&b\end{pmatrix}$ יש מטריצת איגון $\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$. שורה 1: $1 - 2 + 4 = 3 = 3(1)$, ולכן $\lambda = 3$. שורה 2: $3 + 2a + b$ חייב להיות שווה ל$\lambda\times 2 = 6$, ושורה 3: $a + 2 + b$ חייב להיות שווה ל $\lambda\times 1 = 3$. לכן $2a + b = 3$ ו$a + b = 1$: בהחסרה, $a = 2$ ו$b = -1$. עם $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&2&-1\\2&1&-1\end{pmatrix}$: העקבה היא $2$ והרחבת לאורך שורה 1, $\det\mathbf M = 1(-2+1) + 1(-3+2) + 4(3-4) = -1 - 1 - 4 = -6$. שאר ערכי האיגון אז סכומם הוא $2 - 3 = -1$ ו מכפלתם היא $\tfrac{-6}3 = -2$: הם $1$ ו$-2$. מטריצות איגון: עבור $\lambda = 1$, פתרון $(\mathbf M - \mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ נותן $-\,y + 4z = 0$ ו$3x + y - z = 0$, ולכן $\mathbf v = (-1, 4, 1)$; עבור $\lambda = -2$, $(\mathbf M + 2\mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ נותן $3x - y + 4z = 0$ ו$2x + y + z = 0$, ולכן $\mathbf v = (-1, 1, 1)$ (שתי השורות בדיקה). עקבה ו מכפלה הן בדיקות חופשיות: $3 + 1 - 2 = 2$ ✓ ו$3\cdot1\cdot(-2) = -6$ ✓.

דוגמה פתורה — מטריצה סינגולרית והופכת עם פרמטר (WFM03 יוני 2025 שאלה6). $\mathbf A = \begin{pmatrix}1&k&2\\5&3&-2\\6&-1&4\end{pmatrix}$: $\det\mathbf A = 1(12-2) - k(20+12) + 2(-5-18) = -36 - 32k$, ולכן $\mathbf A$ היא סינגולרית כאשר $k = -\tfrac98$. המטריצה האדג'ואטית (קו-פוקטורים תרוצים) נותנת

בדיקת הגיון של הכניסה (1,1) במכפלה: $(1,k,2)\cdot(10,-32,-23) = 10 - 32k - 46 = -36 - 32k$, שהיא מצטמצמת מול הקובעת כדי לתת $1$ ✓.

• הגדר $\cosh, \sinh, \tanh$ מאקספוננטים; גזור זהויות ליבה; פתרון משוואות מעורבות דרך $e^x$ ריבועיים עם תשובות מדויקות $\ln$.
• גזור את צורות הלוגריתם $\operatorname{arsinh}, \operatorname{arcosh}, \operatorname{artanh}$; גזור הפוכים עם שמירת התחום.
• השתמש בפרמטריזציה של אלפסה והיפרבולה; המר בין $b^2 = a^2(1-e^2)$ ל$a^2(e^2-1)$; מיקום מוקדים ודירקטריות; מציאת מגעים ונירמלים בנקודות פרמטריות ובאמצעות תנאי ה$y = mx + c$ $c^2 = a^2m^2 \pm b^2$.
• גזור ואינטגרל פונקציות היפרבוליות והופכות, כולל באמצעות אינטגרציה בחלקים עבור אינטגרנדים מסוג $\int\operatorname{arcosh}$.
• הכן ארבעה אינטגרלים סטנדרטיים שורשי/רציונליים; בנה נוסחות הפחתה בחלקים וחזור עליהן; חשב אורכי קשת ומשטחי סיבוב בדיוק.
• חשב $\mathbf a\times\mathbf b$ ו$\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ עם המשמעויות שלהם בשטח ובנפח; מעבר בין צורות מישוריות לקוויות; מציאת מרחק נקודה-מישור ומרחק קווים זרים.
• חשב נגזרות $3\times3$, הפוך באמצעות המקדמת, טפל במקרה הסינגולרי, מצא ערכים ווקטורים עצמיים (מנורמלים כאשר מבוקש) ודיאגונליזציה של מטריצות סימטריות עם אוטוגונל $\mathbf P$.