P4 · Pure Mathematics 4

מתמטיקה טהורה 4 (P4) היא היחידה הטהורה האחרונה החובה בקורס International A Level Mathematics ובמתמטיקה טהורה International A Level. P1–P3 נחשבים כידועים ועשויים להיבדק בבחינת WMA14/01 בדף (1 שעה 30 דקות, 75 נקודות; אותם כללי מחשבון וספר נוסחאות). עיון זה מכסה הוכחה בסתירה, שברים חלקיים, משוואות פרמטריות, הסדרה הכללית הבינומית נגזירה איפוטית ופרמטרית, משוואות דיפרנציאליות, שיטות אינטגרציה מורחבות, נפחי סיבוב, ומשתנים. שיטות אינטגרציה, נפחי סיבוב, ווקטורים.

חובה לדעת עבור P4 (לא במסמך):

ומסיקה בטענה המקורית. שתי קלאסיקות חייבות להיות ידועות: ומסיקה את הטענה ההתחלתית. שתי קלאסיקות חייבות להיות ידועות:

דוגמה מודגמת — $\sqrt2$ הוא מספר אי-רציונלי. (מספר נחשב אי-רציונלי כאשר אין שבר $\tfrac pq$ השווה לו.) נתון במקום זאת $\sqrt2 = \tfrac pq$ במינימום מונחים ($p, q$ שלמים חסמי יחס, $q \ne 0$).

• הריבוע: $2 = \tfrac{p^2}{q^2} \implies p^2 = 2q^2$, ולכן $p^2$ הוא זוגי, ולכן $p$ הוא זוגי: נכתוב $p = 2r$.
• לאחר מכן $4r^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2r^2$, ולכן גם $q$ זוגי.
• השני $p$ ו-$q$ זוגיים סותרים את $\tfrac pq$ בהצגה מקוצרת. $\blacksquare$

דוגמה פתורה — יש אינסוף מספרים ראשוניים. נתון שיש מספר סופי: $p_1, \ldots, p_k$.

• נסתכל על $N = p_1p_2\cdots p_k + 1$. בחילוק $N$ בכל $p_i$ נשאר שארית 1.
• לכן $N$ הוא או ראשוני בעצמו או שיש לו גורם ראשוני שלא ברשימה — בשתי המקרים מדובר במספר ראשוני מחוץ ל$\{p_1, \ldots, p_k\}$, מה שסותר את ההנחה. $\blacksquare$

דוגמה פתורה — סתירה טריגונומטרית (מותאם מאחר Edexcel IAL WMA14 יוני 2025 שאלה10). הוכח כי $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ לכל $90° < x < 180°$.

• נניח לא: קיים some $x$ בטווח עם $\lvert\sin x + \cos x\rvert \ge 1$. הריבוע (שני הצדדים אינם שליליים):
  $$(\sin x + \cos x)^2 \ge 1 \implies \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x \ge 1 \implies 1 + \sin 2x \ge 1 \implies \sin 2x \ge 0$$
• אך $90° < x < 180°$ נותן $180° < 2x < 360°$, כאשר $\sin 2x < 0$ — סתירה.
• לכן אין כזה $x$ קיימת והקשר $\lvert\sin x + \cos x\rvert < 1$ מתקיים בכל הטווח. $\blacksquare$
• בדוק ב-$x = 135°$: $\lvert\tfrac{\sqrt2}2 - \tfrac{\sqrt2}2\rvert = 0 < 1$ ✓; ב-$x = 100°$: $\lvert 0.985 - 0.174\rvert = 0.811 < 1$ ✓.

פרק פונקציות רציונליות ל-שברים חלקיים. המכנים נשארים ב מורכבות ליניארית חוזרת: $(ax+b)(cx+d)(ex+f)$ או $(ax+b)(cx+d)^2$ עם הגורם החוזר $(cx+d)$ מחולק לפעמים; גורמים ריבועיים אינם נדרשים. שברים לא תקינים (מדרגת המונה $\ge$ מדרגת המכנה) לחלק תחילה.

דוגמה פתורה — גורמים נפרדים. פירוק $\dfrac{5x + 1}{(x+2)(x-1)}$ (ממשפחת העלים P2): משפחת הדפים):

• בדיקה ב-$x = 0$: צד שמאל $= \tfrac1{-2} = -\tfrac12$; צד ימין $= \tfrac32 - 2 = -\tfrac12$ ✓.

דוגמה פתורה — גורם חוזר. פיצוץ $\dfrac{3x^2 + 7x + 6}{x(x+1)^2}$.

• הציעו עם הגורם החוזר מחולק בין שתי העוצמות:
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$
• הכפלה לכל אורך: $3x^2 + 7x + 6 = A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$.
• ב-$x = 0$: $6 = A$. ב-$x = -1$: $3 - 7 + 6 = 2 = -C \Rightarrow C = -2$.
• השווו $x^2$: $3 = A + B \Rightarrow B = -3$.
  $$\frac{3x^2+7x+6}{x(x+1)^2} = \frac{6}{x} - \frac{3}{x+1} - \frac{2}{(x+1)^2}$$
• בדיקה ב-$x = 1$: צד שמאל $= \tfrac{16}{4} = 4$; צד ימין $= 6 - \tfrac32 - \tfrac12 = 4$ ✓.

משוואות פרמטריות מספקות את שתי הקואורדינטות באמצעות פרמטר $t$: $x = f(t)$, $y = g(t)$. להמרה לצורה קרטזית, יש להביא את $t$ לביטוי במונח אחד משוואה ולהציב במשוואה השנייה (או להשתמש באותיות זהות). לעולם אל תשכחו את הערכים האסורים של $x$ בהם מפת הפרמטר נשברת.

דוגמה פותרת. עקומה נתונה על ידי $x = 2t$, $y = t^2 - 1$. מצאו את המשוואה הקרטזית.

• מהביטוי ל-$x = 2t$: $t = \dfrac x2$, ולכן
  $$y = \left(\frac x2\right)^2 - 1 = \frac{x^2}{4} - 1$$
• בדקו ב-$t = 3$: $(x, y) = (6, 8)$; בצורה קרטזית: $36/4 - 1 = 8$ ✓.

דוגמה פותרת — נקודה פרמטרית ונורמל (עובדות מאומתות מתוך Edexcel IAL WMA14 יוני 2025 שאלה5). עקומה פרמטרית עוברת דרך $P(-7, -3)$ בזמן $t = 2$ עם $\dfrac{dy}{dx} = -\tfrac45$ שם (מתוך $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$).

• שיפוע הנורמל: $-\dfrac{1}{-4/5} = \dfrac54$.
  $$y + 3 = \tfrac54(x + 7) \implies 5x - 4y + 23 = 0$$
• בדיקה: $5(-7) - 4(-3) + 23 = -35 + 12 + 23 = 0$ ✓.

עבור כל rational $n$ ו$\lvert x \rvert < 1$:

פצל קודם: $(a + bx)^n = a^n\left(1 + \tfrac ba x\right)^n$, תקף עבור $\lvert x\rvert < \left\lvert\tfrac ab\right\rvert$. פצל פונקציות רציונליות לשברים חלקיים, ואז פתח כל חלק. חזקות אינן נגמרות אלא אם כן $n$ הוא מספר שלם חיובי.

דוגמה מופתרת (מותאמת מתוך Edexcel IAL WMA14 יוני 2025 שאלה8). פתח את $\sqrt{4 + x}$ ל- שלושה איברים שאינם אפס.

• פצל: $\sqrt{4+x} = 2\left(1 + \tfrac x4\right)^{1/2}$, תקף $\lvert x\rvert < 4$, עם $n = \tfrac12$:
  $$\left(1 + \frac x4\right)^{1/2} = 1 + \frac12\cdot\frac x4 + \frac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}\left(\frac x4\right)^2 + \cdots = 1 + \frac x8 - \frac{x^2}{128} + \cdots$$
  $$\sqrt{4+x} = 2 + \frac x4 - \frac{x^2}{64} + \cdots$$
• בדוק ב-$x = 1$: הסדרה נותנת $2 + 0.25 - 0.0156 = 2.234$; נכון $\sqrt5 = 2.2361\ldots$ ✓ (האיבר השלישי גורר את הערך דו-איברי 2.25 למטה עד לתחום 0.002).

גזירה אי-plיצית: גוזרת את שני האגפים ביחס ל$x$, מטפלת $y$ כפונקציה של $x$: $\dfrac{d}{dx}y^2 = 2y\dfrac{dy}{dx}$, ומכפלות כמו $xy$ דורשות את כלל המכפלה: $\dfrac{d}{dx}(xy) = y + x\dfrac{dy}{dx}$. לאחר מכן פתור עבור $\dfrac{dy}{dx}$.

גזירה פרמטרית: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ כאשר $dx/dt\ne0$; אחרת בדוק את המשיק ישירות.

דוגמה מפורשת — נגיעה גלית סתומית (מותאם מהחומר WMA14 של Edexcel IAL, יוני 2025, שאלה 1). ה $2y^2 - 6xy + 7\mathrm{e}^{1-2x} = 27$ עוברת דרך הנקודה $\left(\tfrac12,\ 4\right)$. מצא את הנגיעה שם.

• גזר איבר באיבר:
  $$4y\frac{dy}{dx} - 6y - 6x\frac{dy}{dx} - 14\mathrm{e}^{1-2x} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6y + 14\mathrm{e}^{1-2x}}{4y - 6x}$$
• ב-$\left(\tfrac12, 4\right)$: $\mathrm{e}^{1-1} = 1$, ולכן
  $$\frac{dy}{dx} = \frac{24 + 14}{16 - 3} = \frac{38}{13}$$
• נגיעה: $y - 4 = \tfrac{38}{13}\left(x - \tfrac12\right) \implies 38x - 13y + 33 = 0$.
• בדיקה: $38\left(\tfrac12\right) - 13(4) + 33 = 19 - 52 + 33 = 0$ ✓.

בניית משוואה מתוך תיאור קצב, ולאחר מכן פתרון משוואות נפרדות:

בדיקת כל ערך שהוסר במהלך הפרדת משתנים: פתרונות קבועים עלולים להיפסד. השתמש בתנאי גבול עבור הפתרון הספציפי. קצבי שינוי מקושרים משתמשים בכלל השרשרת: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$.

דוגמה פותרת — כדור נוזל (Edexcel IAL WMA14 יוני 2025 Q2). כדור בעל רדיוס $r$ ס"מ יש לו נפח $V = \tfrac43\pi r^3$ ונוזל עם $\dfrac{dV}{dt} = k$ (קבוע, ב- ס"מ³ לשנייה). הוכיחו $\dfrac{dr}{dt} \propto \dfrac1{r^2}$.

• גזרו את הקשר לנפח: $\dfrac{dV}{dr} = 4\pi r^2$.
• כלל השרשרת: $k = \dfrac{dV}{dt} = 4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$, ולכן
  $$\frac{dr}{dt} = \frac{k}{4\pi r^2} = \frac{k}{4\pi}\cdot\frac{1}{r^2}$$
• הקבוע $\dfrac{k}{4\pi}$ מכפיל $\dfrac{1}{r^2}$: קצב הירידה של ה רדיוס פרופורציוני הפוך ל-$r^2$. $\blacksquare$
• פרשנות: כדורים קטנים נעלמים באופן לא פרופורציונלי מהיר — המילימטר האחרון נוזל במהירות הגבוהה ביותר.

דוגמה פותרת — משוואה נפרדת (מותאם מ-Edexcel IAL WMA14 יוני 2025 Q3). פתרו $y\dfrac{dy}{dx} = 3\sec 2x\tan 2x$, נתון כי $y = 4$ ב-$x = \tfrac\pi6$.

• הפרדה: $\displaystyle\int y\,dy = \int 3\sec 2x\tan 2x\,dx$ (הצד הימני אינטגרל ל-$\tfrac32\sec 2x$, חוזר על $\dfrac{d}{dx}\sec 2x = 2\sec 2x\tan 2x$):
  $$\frac{y^2}{2} = \frac32\sec 2x + c \implies y^2 = 3\sec 2x + C$$
• הצבה $\left(\tfrac\pi6, 4\right)$: $16 = 3\sec\tfrac\pi3 + C = 3(2) + C$, ולכן $C = 10$:
  $$y^2 = 3\sec 2x + 10$$
• בדיקה: $3(2) + 10 = 16 = 4^2$ ✓.

• הצבה (בדרך כלל נתונה): חידש את האינטגרל ב$u$, התאים את$dx$ באמצעות $\dfrac{du}{dx}$, אינטגרו, הצבו חזרה. זהו כלל השרשרת ההפוך.
• אינטגרציה בחלקים: $\displaystyle\int u\dfrac{dv}{dx}dx = uv - \int v\dfrac{du}{dx}dx$ — הפוכה לנרטיב המכפלה. יש לדעת $\displaystyle\int\ln x\,dx = x\ln x - x + c$ וחזרה על חלקים עבור אינטגרלים מסוג $\int x^2\mathrm{e}^x dx$.
• שברים חלקיים ממירים פונקציה רציונלית לאינטגרנד לסכום של $\dfrac{A}{ax+b}$ (לאינטגרציה לגבי לוגריתמים) ו-$\dfrac{C}{(ax+b)^2}$ (לעוצמות).

דוגמה מפורטת — חלקים עם חזרה ברורה. מצאו $\displaystyle\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx$ (נדרש לערכי נפח סיבוב עם עקומיות טריגונומטריות).

• חלקים עם $u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \cos x$:
  $$\int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x\sin x - \int\mathrm{e}^x\sin x\,dx$$
• חזרה על חלקים באינטגרל החדש ($u = \mathrm{e}^x$, $\tfrac{dv}{dx} = \sin x$):
  $$= \mathrm{e}^x\sin x + \mathrm{e}^x\cos x - \int\mathrm{e}^x\cos x\,dx$$
• האינטגרל המקורי מופיע שוב; אספו אותו:
  $$2\int\mathrm{e}^x\cos x\,dx = \mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c \implies \int \mathrm{e}^x\cos x\,dx = \tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + c$$
• בדיקה על ידי גזירה: $\tfrac12\mathrm{e}^x(\sin x + \cos x) + \tfrac12\mathrm{e}^x(\cos x - \sin x) = \mathrm{e}^x\cos x$ ✓.

סיבוב האזור מתחת ל-$y = f(x) \ge 0$ סביב ציר ה-$x$ מעצב גוף שמערכו הוא

ערך הנפח של הסיבוב

הרימו לפועל את הפונקציה לפני האינטגרציה, השתמשו בזיהויים לטיפול ב-$\sin^2$/$\cos^2$, והפרדו על פי ליניאריות. במשוואות פרמטריות, החליפו את $y^2\,dx$ ב-$y^2\dfrac{dx}{dt}\,dt$ בין ערכי הפרמטר; שטחים מתחת לעקומות פרמטריות משתמשים ב-$y\dfrac{dx}{dt}\,dt$.

דוגמה מפורטת — נפח עם זיהוי (מבנה מותאם מ-Edexcel IAL WMA14 יוני 2025 Q9). האזור מתחת ל-$y = 3\cos x$ עבור $0 \le x \le \tfrac\pi2$ מסתובב סביב ציר ה-$x$; מצאו את ערך הנפח המדויק.

• בדיקה: הממוצע של $\cos^2x$ במהלך מחצית סיבוב הוא $\tfrac12$, ולכן $V \approx 9\pi \times \tfrac12 \times \tfrac\pi2 = \tfrac{9\pi^2}{4}$ ✓ בדיוק.

ל-וקטור יש גודל וכיוון, מכתיבים $\mathbf a = a_1\mathbf i + a_2\mathbf j + a_3\mathbf k$ או כעמודה.

ה-גודל הוא $\lvert\mathbf a\rvert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$; עבור $\mathbf a\ne\mathbf0$, ה-ווקטור יחידה בכיוונו הוא $\mathbf a/\lvert\mathbf a\rvert$. לווקטור האפס אין כיוון.

הוספה וכפל בסקאלר יש להם משמעות גיאומטרית (הזחות, הישגים, מקבילים כאשר אחד הוא כפול של השני).

ה-כפל סקלארי $\mathbf a\cdot\mathbf b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ נותן זוויות בין וקטורים אי-אפסיים דרך $\cos\theta$. ה-ווקטור מיקום של $B$ ביחס ל-$A$ הוא $\overrightarrow{AB} = \mathbf b - \mathbf a$.

דוגמה מופת — משולש 45° (Edexcel IAL WMA14 יוני 2025 שאלה6, מאומת במלואו). $A = \mathbf i + 2\mathbf j - 3\mathbf k$, $B = 5\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$, $C = 3\mathbf i + \alpha\mathbf j + 5\mathbf k$, והזווית $BAC = 45°$.

• $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}$, ולכן $\lvert\overrightarrow{AB} \rvert = \sqrt{32}$; $\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2\\\alpha - 2\\8\end{pmatrix}$.
• כפל סקלארי: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 8 + 0 + 32 = 40$.
• תנאי זווית ביחס ל-$\cos 45° = \tfrac1{\sqrt2}$:
  $$\frac{40}{\sqrt{32}\sqrt{68 + (\alpha-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt2} \implies \sqrt{68 + (\alpha-2)^2} = \frac{40\sqrt2}{\sqrt{32}} = \frac{40\sqrt2}{4\sqrt2} = 10$$
  $$(\alpha-2)^2 = 100 - 68 = 32 \implies \alpha = 2 \pm 4\sqrt2$$
• בדיקה: $\lvert\overrightarrow{AB}\rvert\lvert\overrightarrow{AC}\rvert\cos45° = \sqrt{32}\times 10 \times \tfrac1{\sqrt2} = 4\sqrt2\times10\times\tfrac1{\sqrt2} = 40$ ✓ תואם את הכפל הסקלארי.

• הוכחות סתירה למבנה (√2, מספרים ראשיים) עם ההנחה מצוינת והסתירה מכונה.
• פירוק לשברים חלקיים כולל גורמים ליניאריים חוזרים; חלוקת שברים לא רציונליים קודם; אימות על ידי הצבת ערך.
• המרה בין פרמטרית ↔ קרטזית עם ערכים בלתי מותרים; מציאת מגע וניצבים פרמטריים דרך dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
• פיתוח $(a + bx)^n$ עבור $n$ רציונלי עם תנאי התקפות; שילוב פיתוחים של שברים חלקיים.
• גזירה אי-מפורשת (חוק המכפלה על איברים מעורבים) ופרמטרית; יצירת משוואות דיפרנציאליות מתוך קצבי שינוי מקושרים.
• פתרון משוואות ניתנות להפרדה עם תנאי גבול; בדיקת הפתרון הפרטי.
• אינטגרציה בהצבה, חלקים (כולל חזרות, $\ln x$), ושברים חלקיים.
• חישוב נפחי סיבוב $\pi\int y^2 dx$ ושטחים פרמטריים באמצעות $dx/dt$.
• השתמש בויקטורים: גודל, וקטורים יחידה, וקטורי מיקום; מכפלה סקלרית זוויות.