P1 · Pure Mathematics 1

מתמטיקה טהורה 1: ערכת הכלים שכל יחידה מאוחרת משתמשת בה

מתמטיקה טהורה 1 (P1) היא היחידה החובה הראשונה של International AS ו-International A Level Mathematics, וגם של International A Level Pure Mathematics. התייחסת זו מכסה את כל נושאי P1 במפרט Edexcel IAL (Issue 3, April 2019): אלגברה ופונקציות, קואורדינטות גיאומטריה, טריגונומטריה, גזירה ואינטגרציה.

• המסמך P1 (WMA11/01) נמשך 1 שעה ו-30 דקות עם 75 נקודות, ועליך לענות על כל השאלות. במסמכים האחרונים היו עשר שאלות מ-5 עד 11 נקודות כל אחת.
• ניתן להשתמש במחשבון, אך לא מחשבון עם אלגברה סמלית, גזירה או אינטגרציה סמלית, או נוסחות מאובנות שנשמרות וניתן לשחזר אותן.
• מסופר ספרון צהוב נוסחים מתמטיים וטבלאות סטטיסטיות. הנוסחים בטבלת "חובה לדעת" למטה אינם מופיעים בספרון זה, לכן יש לזכור אותם.
• תן תשובות לא מדויקות ל-3 ספרות משמעותיות אלא אם כן צוין אחרת. כאשר שאלה אומרת "חובה להראות את כל שלבי הפתרון שלך", תשובה שמגיעה רק מהמחשבון לא תעניק נקודות.

נוסחים חובה לדעת עבור P1 (מתוך מידע ההערכה במפרט):

נוסחה	שימוש
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$	שורשים של $ax^2 + bx + c = 0$
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$	חוק הסינוסים
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$	חוק הקוסינוסים
שטח $= \tfrac{1}{2}ab\sin C$	שטח משולש
אורך קשת $s = r\theta$, שטח מיקרוסקופי $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$	$\theta$ ברדיאנים
$\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$	כלל החזקה לגזירה
$\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1)$	כלל החזקה לאינטגרציה

אלגברה ופונקציות

חזקות ושורשים

חוקי החזקות תקפים לכל המעריכים הרציונליים:

חזקות שבריות הן שורשים: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, לכן $a^{1/2} = \sqrt{a}$ ו $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. חזקה שלילית משמעותה הפוך: $a^{-1} = 1/a$. שאלות בדרך כלל מבקשות ממך לכתוב תשובה בצורה $kx^n$ עם $k$ ו-$n$ כקבועים מופרטים לחלוטין.

דוגמה פותרת — שלושה שינויי אינדקסים (מותאם מתרגיל Edexcel IAL WMA11 יוני 2025 שאלה1). נתון $p = \dfrac{x^4}{16}$ ו-$q = \dfrac{40}{3x}$, כתוב את ביטוי זה בצורה $kx^n$.

(a) $p^{\frac{1}{2}}$.

• נתון: $p = x^4/16$, וחזקה $\tfrac12$ משמעותה שורש ריבעי.
  $$p^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{x^4}{16}} = \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} = \frac{x^2}{4}$$
• בדיקה: העלאה בריבוע של התשובה, $(x^2/4)^2 = x^4/16 = p$.

(b) $(pq)^{-1}$.

• נתון: הכפל לפני ההפכה, בעזרת $x^4 \cdot x^{-1} = x^3$.
  $$pq = \frac{x^4}{16}\times\frac{40}{3x} = \frac{40x^3}{48} = \frac{5x^3}{6}$$
  $$(pq)^{-1} = \left(\frac{5x^3}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}x^{-3}$$
• בדיקה: $(pq)\times(pq)^{-1} = \frac{5x^3}{6}\times\frac{6}{5x^3} = 1$.

(c) $(pq)^2$.

• בדיקה: $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $(x^3)^2 = x^6$, והקבועים כבר מופרטים לחלוטין.

שורש אסור הוא שורש מדויק כמו $\sqrt{2}$. שמור על תשובות מדויקות אלא אם כן נדרשים עשרוניים; מתקנים מעניקים ניקוד פחות במקרים שבהם מצופה שורש אסור. כדי לרציונליזציה המכנה , כפול את המונה והמכנה בביטוי שמסיר את השורש:

דוגמה פותרת — רציונליזציה. כתוב $\dfrac{12}{1+\sqrt{2}}$ עם מכנה רציונלי.

• נתון: $(1+\sqrt2)(\sqrt2-1) = \sqrt2 - 1 + 2 - \sqrt2 = 1$, לכן כפול ב-$\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}$.
  $$\frac{12}{1+\sqrt2}\times\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \frac{12(\sqrt2-1)}{(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)} = 12(\sqrt2 - 1) = 12\sqrt2 - 12$$
• בדיקה במחשבון: $12/(1+1.4142\ldots) = 4.9706\ldots$ ו-$12\sqrt2 - 12 = 4.9706\ldots$ ✓

משוואות ריבועיות: דיסקרימיננטה והשלמה לריבוע

פונקציה ריבועית היא בצורת $y = ax^2 + bx + c$; הגרף שלה הוא פרבולה פתוחה כלפי מעלה ($a>0$) או כלפי מטה ($a<0$). ה-דיסקרימיננטה $\Delta = b^2 - 4ac$ סופרת את השורשים:

• $\Delta > 0$: שורשים ממשיים נפרדים — העקומה חותכת את ציר ה-$x$ פעמיים;
• $\Delta = 0$: שורש כפול — העקומה נוגעת בציר ה-$x$;
• $\Delta < 0$: אין שורשים ממשיים — העקומה לעולם אינה נפגשת עם ציר ה-$x$.

השלמת ריבוע מביאה את $ax^2+bx+c$ לצורה $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$, מה שמאפשר לקבל את נקודת המעבר $\left(-\dfrac{b}{2a},\, c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$ ישירות. פתרו משוואות ריבועיות באמצעות פירוק לגורמים, הנוסחה, השלמת ריבוע או מחשבון — אך בשאלות "הראו את כל שלבי הפתרון" לא יתקבלו תשובות המסתמכות רק על מחשבון. שאלות "שלבים" דוחות עבודה שנעשתה רק במחשבון.

דוגמה מפורטת — משוואה ריבועית נסתרת (מותאם מתוך Edexcel IAL WMA11 יוני 2025 שאלה 10). המשוואה $(k-1)x^6 + 4x^3 + (k-4) = 0$, כאשר $k$ הוא קבוע.

(א) עבור $k = 4.5$, מצאו את הפתרונות המדויקים.

• למה להציב: $k = 4.5$, ולכן זוהי משוואה ריבועית ב-$3.5x^6 + 4x^3 + 0.5 = 0$. הצבו 2:
  $$7x^6 + 8x^3 + 1 = 0$$
• חזרו ל-$x^6 = (x^3)^2$: $x^3$ או $z = x^3$, ולכן
  $$7z^2 + 8z + 1 = 0 \implies (7z+1)(z+1) = 0 \implies z = -\tfrac{1}{7} \ \text{ or } z = -1$$
• חזרה ל$x$: $x^3 = -\tfrac17$ או $x^3 = -1$, ולכן
  $$x = -\sqrt[3]{\tfrac{1}{7}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{7}} = -\frac{\sqrt[3]{49}}{7} \qquad \text{or} \qquad x = -1$$
• בדיקה: $z=-1$ נותן $7-8+1 = 0$ ✓; $z=-\tfrac17$ נותן $7\cdot\tfrac{1}{49} - \tfrac87 + 1 = \tfrac17 - \tfrac87 + 1 = 0$ ✓

(b) מצאו את קבוצת הערכים של $k$ עבורה למשוואה אין שורשים מציאיים.

• ידוע: טיפלו במשוואה כמשוואה ריבועית ב-$x^3$ עם $a = k-1$, $b = 4$, $c = k-4$. אין שורשים מציאיים דורשים מדדיקנט שלילי:
  $$b^2 - 4ac = 16 - 4(k-1)(k-4) = 16 - 4(k^2 - 5k + 4) = -4k^2 + 20k = 4k(5-k)$$
  $$4k(5-k) < 0 \implies k < 0 \ \text{or}\ k > 5$$
• בדיקה: ב-$k = -1$: $4(-1)(6) = -24 < 0$ ✓; ב-$k = 6$: $4(6)(-1) = -24 < 0$ ✓; ב-$k = 3$: $4(3)(2) = 24 > 0$ ✓ (יש שני שורשים ממשיים כאן).

מערכות משוואות ואי-שוויונות

פתרו מערכות משוואות אנליטית באמצעות הצבה: סדרו מחדש את המשוואה הליניארית, הצביעו במשוואה השנייה, פתרו, ולאחר מכן הצביעו חזרה. קו הנפגש עם עקומה נותן משוואה ריבועית ששורשיה הם הקואורדינטות $x$ של נקודות החיתוך — זהו "הפרשנות הגיאומטרית של הפתרונות האלגבריים" שהמסמך דורש.

דוגמה פותרת — קו פוגע בעקומה קובית-ריבועית (מוסתם מהEdexcel IAL WMA11 יוני 2025 Q7). $C_1$: $y = 0.2x^2(x-4)$ ו$C_2$: $y = 1.2x(8-x)$ נפגשים בנקודה שבה

• פתחו שני צדדים: $0.2x^3 - 0.8x^2 = 9.6x - 1.2x^2$.
• אספו איברים: $0.2x^3 + 0.4x^2 - 9.6x = 0$, ולאחר מכן חלקו ב$0.2$: $x^3 + 2x^2 - 48x = 0$.
• פקטוריזו: $x(x^2 + 2x - 48) = x(x+8)(x-6) = 0$, ולכן $x = 0, -8, 6$.
• החזירו לערך ל-$C_2$: $(0, 0)$, $(-8, -153.6)$, $(6, 14.4)$.
• בדקו עם $C_1$: $0.2(-8)^2(-12) = 0.2\cdot64\cdot(-12) = -153.6$ ✓ ו$0.2(36)(2) = 14.4$ ✓

אי-שוויונות עוקבים אחרי אותו אלגברה, אך התשובה היא טווח:

• פתרו $ax + b > cx + d$ על ידי איסוף $x$ (סימן האי-שוויון נשמר בהוספה/חיסור, ועל ידי חלוקה במספר חיובי; חלוקה במספר שלילי הופכת את הסימן).
• פתרו $px^2 + qx + r \le 0$ על ידי ציור גרפי: הפתרון הוא המקום שבו הפרבולה נמצאת על או מתחת ל ציר ה-x, בין השורשים.
• אי-שוויונות "עקומה מתחת לקו" כמו $px^2+qx+r < ax+b$ פירוט: היכן גובה העקומה קטן מגובה הקו? מצאו תחילה את נקודות החיתוך.
• בעת שרטוט אזור הפתרון, השתמש בקו מקוקו לגבולות $<$ או $>$ קפדניים וקו מוצק עבור $\le$ או $\ge$.

דוגמה מופתרת. פתור את $x^2 < 3x + 10$.

• סדר מחדש: $x^2 - 3x - 10 < 0$, ופרק לנכפלים: $(x-5)(x+2) < 0$.
• הפרבולה $y = (x-5)(x+2)$ נפתחת כלפי מעלה, ולכן היא מתחת לאפס בין השורשים שלה:
  $$-2 < x < 5$$
• בדוק: $x = 0$ נותן $0 < 10$ ✓; $x = 6$ נותן $36 < 28$ ✗ (מובדל נכון).

פולינומים: פתיחת סוגריים ופירוק

פתח סוגריים ואסוף איברים דומים; פרק על ידי הוצאת גורם משותף ועל ידי חיבור בקבוצות. פולינומים מערך-שלישי מתפרקים במלואם ברגע שזיהו שורש אחד: $x^3 + 4x^2 + 3x = x(x^2+4x+3) = x(x+1)(x+3)$. הסימון $f(x)$ הוא שם הפונקציה, ולכן $f(2)$ פירושו "הצבת $x = 2$".

שרטוט גרפים והמרות

שרטט (אל תצייר) משפחות אלו: ריבועיים ופולינומים מערך-שלישי פשוטים כמו $y = x^3 - 4x$; פונקציות הפוכות $y = \dfrac{k}{x}$ ו$y = \dfrac{k}{x^2}$ ($x \ne 0$), שהן בעלות אסימפטוטה — ישר שמעגל מתקרב אליו אך לעולם לא נוגע בו; וגרפים הטריגונומטריים למטה. סימן את נקודות החיתוך עם הצירים ונקודות הקיצון.

ציוני חיתוך עונים למשוואות: העקומות $y = f(x)$ ו$y = g(x)$ נפגשות כאשר $f(x) = g(x)$.

המרה אחת בכל פעם, המופעלת על $y = f(x)$:

משוואה חדשה	מה היא עושה לגרף
$y = a f(x)$	מתיחה במקביל לציר ה-$y$, גורם קנה-מידה $a$
$y = f(x) + a$	הזזה לפי $\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}$ (זז כלפי מעלה ב-$a$)
$y = f(x + a)$	הזזה לפי $\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}$ (מוזזת שמאלה ב-$a$)
$y = f(ax)$	מתיחה במקביל לציר ה-$x$, גורם קנה-מידה $\dfrac{1}{a}$

דוגמה פותרת — תארו שתי תמורות (משולב מהמבחן Edexcel IAL WMA11 יוני 2025 שאלה 9).

• $y = \sqrt{2x}$ מ-$y = \sqrt{x}\,$: כתבו $\sqrt{2x} = f(2x)$, לכן זו מתיחה מקבילה לציר ה-$x$ עם גורם קנה $\tfrac12$**.
• $y = 12 - \sqrt{x}$ מ-$y = -\sqrt{x}\,$: כתבו $12 - \sqrt x = -\sqrt x + 12$, הזזה של $\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}$** (למעלה ב-12).**
• בדקו עם נקודה: $y=\sqrt x$ עובר דרך $(4, 2)$; לאחר התמורה הראשונה העקומה עוברת דרך $(2, 2)$ (חצי מ-$x$), ולכן $y = \sqrt{2\times2} = 2$ ✓. לאחר התמורה השנייה, $y = -\sqrt{4} + 12 = 10$, ולכן $(4, 10)$ נמצא עליה ✓.

גיאומטריה אנליטית במישור (x, y)

ישר העובר דרך $(x_1, y_1)$ עם שיפוע $m$ משוואתו $y - y_1 = m(x - x_1)$; הצורה $ax + by + c = 0$ מסתירה את השיפוע ב-$-\dfrac{a}{b}$. שתי נקודות נותנות את השיפוע: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

• מקבילים: ישרים חולקים את השיפוע שלהם: $m_1 = m_2$.
• מאונכים: ישרים בעלי מכפלת שיפעים של $-1$: $m_1 m_2 = -1$.

דוגמה פותרת — מאונך לעבר המקור (משולב מהמבחן Edexcel IAL WMA11 יוני 2025 שאלה 5). הישר $l_1$ משוואתו $x - 2y + 25 = 0$; $l_2$ עובר דרך המקור ומאונך לישר $l_1$.

(א) משוואת הישר $l_2$.

• נתון: סדר מחדש את $l_1$: $2y = x + 25$, ולכן $y = \tfrac12 x + \tfrac{25}{2}$ ו-$m_1 = \tfrac12$.
• מדוע: מכפלת השיפועים האנכיים היא $-1$, ולכן $m_2 = -1 \div \tfrac12 = -2$.
  $$y - 0 = -2(x - 0) \implies y = -2x$$

(ב) $l_1$ ו$l_2$ נחתכים בנקודה $P$.

• הצבה של $y = -2x$ לתוך $x - 2y + 25 = 0$:
  $$x - 2(-2x) + 25 = 0 \implies 5x + 25 = 0 \implies x = -5, \quad y = -2(-5) = 10$$
• $P = (-5, 10)$. בדיקה בתוך $l_1$: $-5 - 20 + 25 = 0$ ✓

(ג) המרחק הקצר ביותר מ$l_1$ לראשית הצירים, כערכה מצומצמת שורשית.

• המרחק הקצר ביותר הוא $|OP|$ לאורך האנך:
  $$|OP| = \sqrt{(-5-0)^2 + (10-0)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$
• בדיקה: $\sqrt{125} = \sqrt{25\times5} = 5\sqrt5 \approx 11.18$ ✓

טריגונומטריה

חוק הסינוס, חוק הקוסינוס ושטח משולש

במשולש $ABC$ עם צלעות $a, b, c$ מול זוויות $A, B, C$:

השתמשו בחוק הסינוס לזוגות (צד, זווית מולו); בחוק הקוסינוס כאשר אין זוג מולו. חוק הסינוס מכיל מקרה לא חד-משמעי: $\sin\theta = \sin(180° - \theta)$, ולכן זווית ו המשלימה שלה יכולות להתאים – בדקו מה הדיאגרמה מאפשרת.

מידת רדיאן, אורך קשת ושטח דחוסה

רדיאן אחד הוא הזווית הנשענת על קשת שאורכה שווה למשוטר; $180° = \pi$ רדיאנים. עם $\theta$ ברדיאנים:

אורך הקשת הוא $s = r\theta$ ושטח הדחוסה הוא $\tfrac{1}{2}r^2\theta$.

דחוסה גדולה היא החלק הגדול יותר מעיגול: זווית $2\pi - \theta$ כאשר הזווית הקטנה היא $\theta$.

דוגמא פתודה — סקטור גדול ומשולש (מותאם מתוך Edexcel IAL WMA11 יוני 2025 שאלה6). משטח נחיתה הוא הסקטור הגדול $AOB$ של עיגול במרכז $O$ המחובר ל משולש $AOC$: $AO = OB = 15$ מטר, $BC = 2$ מטר, $CBO$ הוא קו ישר, וזווית $ACO = 0.6$ רדיאנים.

(א) הצג זווית $COA = 1.847$ רדיאנים ל-3 מקום עשרוני.

• נתונים: $OC = OB + BC = 15 + 2 = 17$ מטר; במשולש $AOC$, הצלע $AO = 15$ נמצאת מול הזווית הנתונה זווית $0.6$, והצלע $OC = 17$ נמצאת מול הזווית $CAO$.
• חוק הסינוסים (ציטוט לפני כל דבר):
  $$\frac{\sin CAO}{17} = \frac{\sin 0.6}{15} \implies \sin CAO = \frac{17\sin 0.6}{15} = 0.6399\ldots \implies CAO = 0.6944\ldots$$
  $$COA = \pi - 0.6 - 0.6944\ldots = 1.8471\ldots = 1.847 \ (3\,\mathrm{d.p.})$$
• בדיקה: סכום הזוויות הוא $\pi$: $0.6 + 0.6944 + 1.8471 \approx 3.1416$ ✓

(ב) השטח הכולל של המשטח.

• זווית הסקטור הגדול: $2\pi - 1.847 = 4.436$ רדיאנים.
  $$\text{sector} = \tfrac12 r^2\theta = \tfrac12 \times 15^2 \times 4.436 = 499.1\ \text{m}^2 \ (\text{awrt } 499)$$
  $$\text{triangle} = \tfrac12 ab\sin C = \tfrac12 \times 15 \times 17 \times \sin 1.847 = 122.7\ \text{m}^2$$
  $$\text{total} = 499.1 + 122.7 = 622\ \text{m}^2 \ (3\ \text{s.f.})$$
• בדיקה: $\sin 1.847 = \sin(\pi - 1.847) = \sin 1.2946 = 0.962$ ✓

(ג) ההיקף של המשטח.

• הגבול הוא הקשת הגדולה $AB$ plus הצלעות $AC$ ו$BC$.
  $$\text{arc} = r\theta = 15 \times 4.436 = 66.5\ \text{m}$$
• חוק הקוסינוסים עבור $AC$ (ציטוט לפני כל דבר):
  $$AC^2 = 15^2 + 17^2 - 2(15)(17)\cos 1.847 = 225 + 289 + 139.1 = 653.1 \implies AC = 25.6\ \text{m}$$
  $$\text{perimeter} = 66.5 + 25.6 + 2 = 94.1\ \text{m} \ (3\ \text{s.f.})$$
• בדיקה: $\cos 1.847 < 0$ (הזווית קהובה), ולכן האיבר $-2bc\cos A$ מחייב ✓

גרפים של סינוס, קוסינוס טנגנס

$y = \sin x$ ו$y = \cos x$ חוזרים על עצמם כל $2\pi$ ($360°$); $y = \tan x$ חוזר על עצמו כל $\pi$ ($180°$) עם אסימפטות ב$x = 90° + 180°n$. יש לדעת את הסימטריות: $\cos$ היא פונקציה זוגית, $\sin(180° - x) = \sin x$, ו$\tan x = \sin x / \cos x$. עקומות כמו $y = 3\sin x$, $y = \sin 2x$ ו$y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ נובעות מכללי ההמרה מעל. פתור משוואות גרפית על ידי ספירת נקודות חיתוך בטווח נתון.

דוגמה מופעלת — ספירת פתרונות (מוסתדר מתוך Edexcel IAL WMA11 יוני 2025 שאלה4). עבור $y = 4\cos x$ עם $x$ בדרגות: כמה פתרונות יש ל-$5 + 4\cos x = 1$ בטווח $-720° < x \le 720°$?

• עברו איברים: $4\cos x = -4$, ולכן $\cos x = -1$, מה שמניב $x = 180° + 360°n$.
• בטווח $-720° < x \le 720°$: $x = -540°, -180°, 180°, 540°$ — 4 פתרונות.
• בדקו: $\cos(\pm180°) = -1$ ✓, וגם $5 + 4(-1) = 1$ ✓. הטווח הוא חצי-פתוח, ולכן $x = -720°$ (כאשר $\cos = 1$) מושלל כראוי.

גזירה

ה-נגזרת $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ היא שיפוע המשיק ל- $y = f(x)$ בנקודה — הגבול של שיפועי המיתר כשהשתי נקודות מתלכדות. זהו קצב השינוי של $y$ ביחס ל-$x$. הנגזרת השנייה $f''(x)$ מנגזרת שוב. (כלל השרשרת לא נדרש ב-P1.)

נגזרו איבר באיבר לפי כלל החזקה, תחילה פתחו מכפלות וחלקו שברים:

דוגמה מופרזת — תנוי גרדינט על עקומה (מותאם מהמבחן Edexcel IAL WMA11 יוני 2025 שאלה 2). $C$: $y = 2x^{5/2} - 4x + 3$; the point $P$ on $C$ has $x$-coordinate $2^k$ and the gradient at $P$ הוא 16. מצאו את $k$.

• נגזור (החזקות יורדות באחד): $\dfrac{dy}{dx} = 2\cdot\tfrac52 x^{3/2} - 4 = 5x^{3/2} - 4$.
• הגדר את השיפוע ל-16 בנקודה $x = 2^k$:
  $$5(2^k)^{3/2} - 4 = 16 \implies (2^k)^{3/2} = 4 = 2^2 \implies 2^{3k/2} = 2^2 \implies \tfrac{3k}{2} = 2 \implies k = \tfrac{4}{3}$$
• בדיקה: $2^{4/3} = 2.5198\ldots$ ו-$5(2.5198)^{3/2} - 4 = 5(4.0) - 4 = 16$ ✓

דוגמה מופת — מגע, נורמל ועבודה ומשפט השני (הסתגלות מ-Edexcel IAL WMA11 יוני 2025 שאלה8). לעקומה יש ביטוי $f'(x) = 3\sqrt{x} + kx^2$ והיא עוברת דרך הנקודה $P(4, 12)$; המשיק על $P$ הגרדינט הוא $y = 10x + c$.

(א) הוכיחו כי $k = \tfrac14$ ומצאו את $c$.

• נתון: שיפוע המשיק שווה ל-$f'(4)$:
  $$f'(4) = 3\sqrt{4} + 16k = 6 + 16k = 10 \implies k = \tfrac14$$
• המשיק עובר דרך $(4, 12)$: $12 = 10(4) + c \implies c = -28$.
• בדיקה: $f'(4) = 6 + 16\cdot\tfrac14 = 10$ ✓ ו-$10(4) - 28 = 12$ ✓

(ב) $f''(x)$ בנקודה $P$.

• בדיקה: $\tfrac{3}{2\sqrt4} = \tfrac34$ ✓

אינטגרציה

אינטגרציה היא הפועל ההפוך לנגזירה: אם $\dfrac{dy}{dx} = x^n$ ($n \neq -1$), אז

ה-קבוע האינטגרציה $c$ נדרש — כל הזזה אנכית משתפת את אותו גזירה. הרם כל חזקה ב-1, חלק בחזקה החדשה, ואיגרל איבר-איבר לאחר פתיחת סוגריים. נתון $f'(x)$ ונקודה אחת על העקומה, מצאו את $c$ והחזירו את $y = f(x)$ במדויק.

דוגמה מופרזת — פתיחת סוגריים לפני אינטגרציה (מותאם מהמבחן Edexcel IAL WMA11 יוני 2025 שאלה 3). מצא את $\displaystyle\int \frac{(x+3)^2}{3\sqrt{x}}\,dx$.

• פתחו את המונה: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$; המכנה הוא $3x^{1/2}$.
• חלקו איבר לאיבר (החזקות של $x$ מחוסרות):
  $$\frac{x^2}{3x^{1/2}} = \tfrac13 x^{3/2} \qquad \frac{6x}{3x^{1/2}} = 2x^{1/2} \qquad \frac{9}{3x^{1/2}} = 3x^{-1/2}$$
• איגרל כל איבר (הרם חזקה ב-1, חלק בחזקה החדשה):
  $$\int \left(\tfrac13 x^{3/2} + 2x^{1/2} + 3x^{-1/2}\right) dx = \tfrac13\cdot\tfrac{2}{5}x^{5/2} + 2\cdot\tfrac23 x^{3/2} + 3\cdot 2x^{1/2} + c$$
  $$= \frac{2}{15}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 6\sqrt{x} + c$$
• בדיקה על ידי גזירה: $\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac52 x^{3/2} = \tfrac13 x^{3/2}$ ✓, $\tfrac43\cdot\tfrac32 = 2$ ✓, $6\cdot\tfrac12 = 3$ ✓ — הביטוי המקורית חוזר בדיוק.

דוגמה מופרזת — השבת $f(x)$ מתוך $f'(x)$ ונקודה (מותאם מהמבחן Edexcel IAL WMA11 יוני 2025 Q8, המשך). עם $k = \tfrac14$, ולכן $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac14 x^2$, ו $P(4, 12)$ על העקומה:

• הצבה של $P$: $2(4)^{3/2} + \tfrac{64}{12} + d = 12$, ו-$4^{3/2} = 8$:
  $$16 + \tfrac{16}{3} + d = 12 \implies d = -\tfrac{28}{3} \implies f(x) = 2x^{3/2} + \frac{x^3}{12} - \frac{28}{3}$$
• בדיקה: $f(4) = 16 + \tfrac{16}{3} - \tfrac{28}{3} = 16 - 4 = 12$ ✓, וגזירת התשובה נותנת $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac{x^2}{4}$, ולכן $f'(4) = 6 + 4 = 10$ ✓ (שיפוע המשיק מ קודם).

רשימת בדיקה לפני סיום יחידה זו

• עיבוד $a^{m/n}$, חזקות שליליות ושורשים במדויק, והשחרת מכנים.
• קריאת $b^2-4ac$ בשלושה דרכים, השלמת ריבוע, ופתרון משוואות ריבועיות נסתרות באמצעות הצבה.
• פתרון מערכת משוואות ליניארית-ריבועית באמצעות הצבה ופרשנות כציוני חיתוך.
• פתרון וציור אי-שוויונות ליניאריים וריבועיים עם גבולות מקוקקים/מלאים נכונים.
• ציור פולינומים ממעלה שלישית, היפוכים (עם אסימפטוטות) ועקומות מופעות, סימון כיוון, סוג ו גורם קנה מידה לכל שינוי בודד.
• כתבו משוואות ישר בשני הצורות; השתמשו ב-$m_1m_2 = -1$ עבור אנכים.
• ציטוט חוק הסינוס, חוק הקוסינוס ו-$\tfrac12 ab\sin C$; טיפול במקרה המעורפל ובגזרות גדולות ברדיאנים.
• ספירת פתרונות גרפים טריגונומטריים בתחום לפני רשימתם.
• גזרו ואינטגרלו $x^n$ איבר באיבר, לאחר פתיחת הסוגריים; תמיד הוסיפו $+c$.
• המירו $f'(x)$ פלוס נקודה אחת ל$f(x)$, ובדקו על ידי הצבת הנקודה חזרה.