S1 · Statistics 1

מכניקה 2 (M2, מס' WME02/01, 1 שעות 30 דקות, 75 נקודות, מבחן ראשון יוני 2020) הוא היחידה היישומית לIAL המבוססת על M1: P1–P4 ו-M1 נחשבים. קח $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ אלא אם הדגם בשאלה אומר אחרת (שאלת יוני 2025 אחת משתמשת ב10). הערה זו מכסה קינמטיקה בתאוצה משתנה, מרכזי מסה, עבודה, אנרגיה ועוצמה, התנגשויות עם מקדם התאוששות, וסטטיקה של גופים קשיחים.

חובה לדעת עבור M2 (לא בספרון):

כאשר התאוצה היא פונקציה של זמן, בצע אינטגרציה: $v = \int a\,dt$ ו$s = \int v\,dt$, עם הקבועים נקבעים על ידי תנאי ההתחלה ("רדום ב-O" מבטל את שניהם). עבור מרחק כולל כאשר החלקיק הופך כיוון, מצאו את זמן העצירה ($v = 0$) והוסיפו את שני הקטעים. מיקום וקטורי מיקום מופקים רכיב-ברכיב: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt}$, $\mathbf a = \tfrac{d\mathbf v}{dt}$.

דוגמה מפורשת — אינטגרציה עם לוכדת (WME02 יוני 2025 שאלה1). עם $a = k(3 - t^2)$ רדום ב-O ועם $v(1.5) = 13.5$: $v = k(3t - \tfrac{t^3}3)$ (אפס קבוע על ידי הרדמות), ו$k(4.5 - 1.125) = 3.375k = 13.5$ נותן $k = 4$. אז $s = 6t^2 - \tfrac{t^4}3 = \tfrac{t^2}3(18 - t^2)$. עבור המרחק הכולל חזרה ל-O: $v = \tfrac{4t}3(9 - t^2) = 0$ ב$t = 3$, $s(3) = 27$, ולכן החלקיק עובר $27 + 27 = 54$ מטר — הקטע החוזר הוא עוד 27, לא חיסור.

דוגמה מפורשת — מהירות ווקטורית ואז דחיפה (WME02 יוני 2025 שאלה2). עם $\mathbf r = 4\sqrt t\,\mathbf i - 3t\mathbf j$ (מטרים, $t$ שניות), מסה 3 ק"ג: $\mathbf v = \tfrac{d\mathbf r}{dt} = 2t^{-1/2}\mathbf i - 3\mathbf j$, ולכן ב$t = 4$ ה מהירות היא $\mathbf i - 3\mathbf j$. דחיפה של $(6\mathbf i - 3\mathbf j)$ N s נותנת $3(\mathbf v' - (\mathbf i - 3\mathbf j)) = (6\mathbf i - 3\mathbf j)$, לכן $\mathbf v' = 3\mathbf i - 4\mathbf j$ והמהירות היא $5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ — לבצע גזירה תחילה, ליישם את הדחיפה ברגע הנדרש בשנייה.

עבור חלקיקים: מרכז הכובד הוא $\bar x = \dfrac{\sum mx}{\sum m}$. לגופים אחידים השתמשו בשיטת הטבלה — להתפצל לחלקים שבהם ידוע מרכז הכובד שלהם (חברון: חוט מחצית-עיגול $\tfrac{2r}\pi$, מחצית-עיגול למינא $\tfrac{4r}{3\pi}$, קטע עיגול, קשת), להכביד כל חלק לפי המסה (למינא: שטח; חוט: אורך), ולקחת רגעים סביב קו נוח. לחלקים הנמצאים בצדדים השונים של הקו יש סימנים הפוכים. למינאות מורכבות מחסרים חורים כשטחים שליליים.

דוגמה פותרת — מסגרת חוט בצורת S (WME02 יוני 2025 שאלה3).** שתי קשתות חוט מחצית-עיגול, AB ברדיוס $2a$ ו-CD ברדיוס $a$, ששניהן במרכז O בצדדים השונים של החוט הישר ACDB ($AC = DB = a$). טבלה (סביב הקו AB):

סך הכל אורך $(3\pi + 2)a$; סך הרגעים $6a^2$; לכן מרכז הכובד נמצא $\dfrac{6a}{3\pi + 2}$ מהקו AB. תלייה מנקודה A עם E בקשת שבה $\angle AOE = 90°$: קו הסימטריה OE עובר דרך G, לכן $\tan\angle OAG = \dfrac{3}{3\pi+2}$, ומכיוון ש- $OA = OE$ יוצר זווית $\angle OAE = 45°$, הזווית $\theta$ של AE מתחת לאופקי מקיימת $\theta = 45° - \angle OAG$, תוך מתן $\tan\theta = \dfrac{3\pi - 1}{3\pi + 5}$.

גוף שתלוי בחופשיה תלוי כך שמרכז הכובד שלו נמצא אנכית מתחת לנקודת התלייה. הזווית המבוקשת היא בדרך כלל בין מיתר שצויר בגוף לבין האנך: למצוא את הזווית בנקודת התלייה על ידי טריגונומטריה משולשת ישרת זווית עם המרחק של COM, ולשנות בהתאם לכל זווית גיאומטרית אחרת (משולשים שווה-שוקיים הם המקור הסטנדרטי ל-45°, 60°).

עבודה על ידי כוח קבוע: $Fs$ לאורך התנועה (שלילית נגדה לה); הכבידה עושה $\pm mgh$. עקרון העבודה-אנרגיה: עבודה כוללת = שינוי באנרגיה קינטית. שימור אנרגיה מכנית: אנרגיה היא נשמר כאשר רק כוח הכובד מבצע עבודה; התנגדות נכנסת כעבודה $-Rs$. הספק $P = Fv$: במהירות קבועה, כוח המניעה מאזן את התנגדות והרכבי הכובד, ולכן $v = \tfrac PF$; במהירות נתונה, הכוח העודף מדאיץ.

דוגמא פותרת — מכונית על מדרון (WME02 יוני 2025 שאלה4). מכונית משקל 750 ק"ג טיפסה על מדרון עם $\sin\alpha = \tfrac17$, resistance 200 N, engine at 20 kW. Constant speed: $\tfrac{20000}V = 750(9.8)\tfrac17 + 200 = 1250$, לכן $V = 16\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. בנקודה $10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: $2000 - 1250 = 750a$, לכן $a = 1\ \mathrm{m\,s^{-2}}$. מנוע מכובה בנקודה A ב$10\ \mathrm{m\,s^{-1}}$: משוואת אנרגיה-עבודה נותנת $\tfrac12(750)(100) = 750g(d\sin\alpha) + 200d$, i.e. $37500 = 1250d$ and $d = 30$ m — the resistance acts over the SLOPE distance $d$, gravity over the height $d\sin\alpha$.

Worked example — a projectile closed by energy (WME02 June 2025 Q7). A projectile על מסלול פרבולי יוצא מנקודה O ב $20\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ ($g = 10$) הוא גובה של 11 מטר כאשר הרכב האנכי שלו הוא $V$ והרכב horizontal component $2V$. Energy: $200 = \tfrac12(V^2 + 4V^2) + 110$, so $V = 6$ (components 6, ולכן 12 מטר ($60°$ ספרות משמעותיות). $30°$ מתחת לאופק: מהירות $= \tfrac{12}{\cos30°} = 8\sqrt3$, ואנרגיה מנקודת O נותנת $200 = \tfrac12(192) + 10H$, so $H = 10.4 \to 10$ m (2 s.f.).

חוק ניוטון הניסויי, מקדם החזרה: $e = \dfrac{v_B - v_A}{u_A - u_B}$ (מהירות הפרדה חלוקה במהירות גישה $0 \le e \le 1$; $e = 1$ אלסטית, $e = 0$ הם נדבקים). עם שימור תנע, שתי משוואות פותרות כל התנגשות ישירה. איבוד אנרגיה קינטית תמיד מתפצל לפי $(1 - e^2)$: איבוד $= \tfrac{m_Am_B}{2(m_A+m_B)}(1-e^2)(u_A - u_B)^2$ — וגם הדחיפה על כל גוף נובעת משינוי התנע שלו. קפיצה בקיר קבוע כופלת את המהירות ב-$e$ באופן מלא.

דוגמה פתורה — הסיפור המלא של ההתנגשות (WME02 יוני 2025 שאלה5). P (מסה $2m$, מהירות $u$) פוגע ב-Q (מסה $m$) בשקט, מקדם החזרה $e$. תנע: $2u = 2v_P + v_Q$; מקדם החזרה: $eu = v_Q - v_P$. פתרון: $v_Q = \tfrac{2(1+e)u}3$, $v_P = \tfrac{(2-e)u}3$. ה-KE לאחר מכן $\tfrac{mu^2}3(2 + e^2)$, ולכן האיבוד הוא $\tfrac{mu^2}3(1 - e^2)$ — הגורם $k = \tfrac13$. אם הדחיפה על Q היא $\tfrac89mu$: $m\cdot\tfrac{2(1+e)u}3 = \tfrac{8mu}9$ נותן $e = \tfrac13$. Q קופץ לאחר מכן בקיר עם מקדם החזרה $f$ כדי להתאים למהירות P $\tfrac59u$: $f\cdot\tfrac89u = \tfrac59u$, ולכן $f = \tfrac58$.

שרשראות של שלושה גופים וקירות הן סידור חשבונות: פתור את ההתנגשות הראשונה במלואה, העבר את המהירויות הנותרות להתנגשות הבאה, וחבר רק כמויות שהשאלה מקשרת ביניהן ("אותה מהירות", "בשקט"). קפיצות בקיר ממרנות כיוון וכופלות את המהירות ב-$e$; שמור דיאגרמה ממוספרת לכל שלב.

גוף מוצק במצב איזון דורש סך כוחות שווה לאפס AND סך מומנטים שווה לאפס כלפי כל נקודה. יש לבחור ציר סיבוב שמבטל גודלים לא ידועים (הסיבה לכך שהתגובה היחידה של מסילה חלקה מומנטים כלפי נקודת המגע עם הרצפה מניבה פירות). פירוק האופקי והאנכי למרכיבי המגע, בעל רצפה מחוספסת במצב איזון גבולי חיכוך $F = \mu R$ כלפי $F$ אופקי.

דוגמה עבודה — קורה נגד מסילה חלקה (WME02 יוני 2025 Q6). קורה אחידה AB (מסה $m$, אורך $2a$) נמצאת עם A על קרקע מחוספסת נגד מסילה חלקה בנקודה C, $AC = 1.5a$, שיפוע $\theta$, התגובה הנורמלית $S$ של המסילה, אנכית לקורה. מומנטים כלפי A: $S(1.5a) = mg\,a\cos\theta$, ולכן $S = \tfrac{2mg\cos\theta}3$. אנכית: $V = mg - S\cos\theta = \tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta)$. איזון גבולי עם $\mu = \tfrac47$: $F = S\sin\theta$, ולכן $\tfrac47\cdot\tfrac{mg}3(3 - 2\cos^2\theta) = \tfrac{2mg}3\cos\theta\sin\theta$. בחילוק על ידי $\cos^2\theta$ השימוש ב-$\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$: $12\tan^2\theta - 14\tan\theta + 4 = 0$, i.e. $6\tan^2\theta - 7\tan\theta + 2 = 0$.

• אינטגרציה $a(t)$ ל-$v$ ו-$s$ עם קבועים מתנאים התחלתיים; טיפול במרחק כולל דרך נקודת הפנייה; גזירה $\mathbf r(t)$ ליצירת מהירות וקטורית והחלת דחיפות כ-$\mathbf I = m\Delta\mathbf v$.
• בניית טבלאות מרכז מסה (משקל/שטח/אורך) עם מרחקים סימטריים לחלקים בצדדים השונים וחורים שליליים; שימוש בתוצאות החוט והלמינה בספר; מציאת זוויות תלייה באמצעות טריגונומטריה בנקודת התלייה ועם זוויות משולש שווה שוקיים.
• יישום עבודה-אנרגיה ושמירה על אנרגיה מכנית, עם עבודת התנגדות לאורך השיפוע ו-$P = Fv$ בשני הכיוונים.
• פתרון התנגשויות ישירות עם תנע + מקדם התרדמות; הצגת שני המהירויות; חישוב ה-$(1-e^2)$ איבוד אנרגיה ודחיפות לכל גוף; שרשרת קפיצות מהקיר והתנגשויות שניות עם דיאגרמה סימטרית.
• לגופים מוצקים: מומנטים כלפי ציר הסיבוב המבטל את הגודל הלא ידוע, פירוק למרכיבים, וסגירת בעיות איזון גבולי למשוואה ב-$\tan\theta$.