M2 · Mechanics 2

סטטיסטיקה 1 (S1, מבחן WST01/01, 1 שעות 30 דקות, 75 נקודות, מבחן ראשון יוני 2019) היא השותף לסטטיסטיקה של M1 במתמטיקה בינלאומית AS; P1 ו-P2 מוסכמים. ה- ספר הנוסחאות מכיל את הטבלאות הסטטיסטיות; הנוסחאות להלן עליכם לדעת. מסמך ההתייחסות הזה מכסה נייצוג וסיכום נתונים, הסתברות, קורלציה ורגרסיה, משתנים אקראיים בדידים וחלוקה נורמלית.

חובה לדעת עבור S1 (לא בספר הנוסחאות):

מודל סטטיסטי הוא תיאור מפושט של מצב אמיתי המשמש לייצוג, ניתוח וחיזוי. סיבות להשתמש במודל: הוא מהיר וזול יותר ניסוי האמיתי, ניתן לבצע אותו חוזר ומדויק יותר, והוא חושף קשרים. יש לדעת את הסיבות הסטנדרטיות — "להכנת תחזיות" לבד אינו מספיק לתוך הנקודה.

בהיסטוגרמה השטח שווה לתדירות; גובה העמודה הוא צפיפות התדירות $\dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$, ולכן מחלקות לא-שוויוניות מקבלות רוחבים לא-שווים, ו השוואת עמודות היא השוואת צפיפויות. גבעול ועלה שומר על הערכים המקוריים (השוואה אחורית-אחורית משווה בין שתי קבוצות). טווח מראה מינימום, רביעית נמוכה, ממוצע רביעית עליונה, מקסימום, עם ערכים קיצוניים המסומנים כצלב נפרד מתחת לכל כלל שהשאלה מציין.

דוגמה פותרת — גובה היסטוגרמה לפי יחס (WST01 יוני 2025 Q5a). מהירויות של 225 רכבים ב קטגוריות רוחב 5, 5, 10, 15, 15 עם תדירויות 54, 90, 60, 15, 6: הצפיפויות הן 10.8, 18, 6, 1, 0.4. העמודה הגבוהה ביותר (25–30, צפיפות 18) מצוירת בגובה 10 ס"מ, ולכן שני הגבוה ביותר (20–25, צפיפות 10.8) נמדד ב-$\tfrac{10.8}{18}\times 10 = 6$ ס"מ. זהירות: ה מוט ⟨30⟩–40 גם כן בעל צפיפות 6 — רק טענת היחס מוכיחה את הנקודות, לא "60 ÷ 10".

לנתונים קבוצתיים, הערכו את התקופה או הרבעונים באמצעות אינטרפולציה ליניארית בתוך ה כיתה המכילה: $Q_2 = a + w\times\dfrac{\tfrac n2 - F}{f}$. טווח הרבעונים הוא $Q_3 - Q_1$; השונות היא $\sigma^2 = \dfrac{\sum x^2}n - \bar x^2$ (או $\dfrac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar x^2$). שילוב קבוצות: סך ה-$\sum x = \sum n_i\bar x_i$, סך ה-$\sum x^2$ מתחבר ישירות, ולאחר מכן חזרו ליישם את הנוסחאות. הסטיית התקן היא השורש של השונות. קידוד הפוך: אם $w = 11.5d$, אז $S_{td} = \dfrac{S_{tw}}{11.5}$ ו-$S_{dd} = \dfrac{S_{ww}}{11.5^2}$.

דוגמה פתורה — שילוב שתי כיתות (WST01 יוני 2025 Q2). כיתה א': $n = 24$, $\bar x = 47$, $\sum x^2 = 66876$; קטגוריית B: $n = 30$, $\bar x = b$, $\sum x^2 = 73826$; ה-54 של תלמידי הכיתה המשולבת הוא 45. אז $\sum x = 54(45) = 2430$, ולכן $\sum x_B = 2430 - 24(47) = 1302$ ו-$b = 43.4$. סטיית התקן משולבת: $\sigma = \sqrt{\tfrac{66876 + 73826}{54} - 45^2} = \sqrt{580.59\ldots} = 24.1$. אם כל ציון בכיתה ב' עולה ב-2: השונות של כיתה ב' אינה משתנה (הזזה אינה מזיזה דבר), הממוצע המשולב עולה, וסטיית התקן המשולבת יורדת — כיתה ב' נמצאת עכשיו קרובה יותר לכיתה א', ולכן הקבוצה כולה פחות מפוזרת.

דוגמה פתורה — אינטרפולציה של רבעונים (WST01 יוני 2025 Q5c–d). עם תדירויות מצטברות 54, 144, 204, 219, 225: התקופה היא הערך ה-112.5, בתוך ⟨25⟩–30: $Q_2 = 25 + 5\times\tfrac{112.5-54}{90} = 28.25$. ⟨$Q_3$⟩ הוא הערך ה-168.75, בתוך ⟨30⟩–40: $Q_3 = 30 + 10\times\tfrac{168.75-144}{60} = 34.125$, ולכן עם ⟨$Q_1 = 25.14$⟩ נתון, $IQR = 8.985$.

השוו מרחקים: $(Q_3 - Q_2)$ מול $(Q_2 - Q_1)$, או ממוצע מול חציון. למעלה, $5.875 > 3.11$ (וממוצע $30.6 >$ חציון $28.25$), ולכן המהירויות מטוילות חיובית (מטוילת ימינה) — דבר הגורם גם לכך שדגם נורמלי לא יתקבל.

עבדו מהמרחב הדגימה: פירט תוצאות עדיף על גיבוש נוסחאות. עבור כל שני אירועים, $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ ו$P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)$; עצמאות פירושה $P(B\mid A) = P(B)$, והיא נותנת את חוק הכפילה. הסתברות מותנית הופכת את העץ הפוך: $P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$. ללא החזרה, השברים בשכבה השנייה יורדים ב-1 במונה ובמכנה.

דוגמה מפורטת — ון להסתברות מותנית (WST01 יוני 2025 שאלה4). $P(C\cup D) = 0.59$, $P(D) = 0.45$, $P(C\mid D) = 0.2$. אזי $P(C\cap D) = 0.2 \times 0.45 = 0.09$ ו $P(C) = 0.59 + 0.09 - 0.45 = 0.23$ — מלאו את דיאגרמת ון ושתי התשובות יופיעו באופן טבעי.

דוגמה מפורטת — עץ עם הפכה (WST01 יוני 2025 שאלה7). שקית: 3 לבנים, 6 צהובים; שתי נמשכות ללא החזרה. עץ: $\tfrac69, \tfrac39$, ולאחר הצהוב $\tfrac58, \tfrac38$ ולאחר הלבן $\tfrac68, \tfrac28$. בדיוק צהוב אחד: $\tfrac69\cdot\tfrac38 + \tfrac39\cdot\tfrac68 = \tfrac12$. לפחות לבן אחד: $1 - \tfrac69\cdot\tfrac58 = \tfrac7{12}$. בהינתן לפחות לבן אחד, שניהם לבנים: $\dfrac{\tfrac39\cdot\tfrac28}{\tfrac7{12}} = \dfrac1{12}\cdot\dfrac{12}7 = \dfrac17$.

מקדם המתאם הממוצע של פירסון $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ מדד קשר ליניארי ($-1 \le r \le 1$); פרש בהקשר. שיטת הריבועים הקטנים קו רגרסיה של $y$ לפי $x$ הוא $y = a + bx$ עם $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ ו $a = \bar y - b\bar x$ — ניתן להשתמש בו רק לחיזוי $y$ מתוך $x$, ורק בתחום הנתונים (אקסטרפולציה היא הסכנה המדוהקת). החלפת $x$ ו-$y$ תניב ישר שונה.

דוגמה פתורה — רגרסיה מקודדת (WST01 יוני 2025 שאלה3). עם $w = 11.5d$, $S_{tt} = 26.43$, $S_{tw} = -91.55$, $\sum w = 339.25$, $\sum t = 9.1$, $\sum w^2 = 10036.45$ במשך 12 ימים: $S_{ww} = 10036.45 - \tfrac{339.25^2}{12} = 445.57$; ה- pmcc $r = \dfrac{-91.55}{\sqrt{26.43 \times 445.57}} = -0.844$ — ימים חמים יותר, צריכת גז פחותה. ה- רגרסיה של $w$ על $t$: $b = \tfrac{-91.55}{26.43} = -3.46$, $a = \tfrac{339.25}{12} - (-3.46)\tfrac{9.1}{12} = 30.9$, לכן $w = -3.46t + 30.9$; לחלק בכל הצדדים ב-11.5 עבור $d$ על $t$: $d = -0.301t + 2.69$. ב-$t = 2$: $d = 2.09$ מ"³, ובכל מעלה נוסף נחסרים כ-$0.3$ מ"³ גז.

משתנה אקראי בדיד לוקח ערכים מבודדים עם הסתברויות $p(x) = P(X = x)$ שמסכמות ל-1; טבלת פונקציית ההסתברות שלו היא האובייקט. צפיפות מצופה $E(X) = \sum xp(x)$, $E(X^2) = \sum x^2p(x)$, שונות $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. הפונקציה המצטברת $F(x_0) = P(X \le x_0)$ מחברת את ההסתברויות עד $x_0$. ההתפלגות הבדידה UNIFORM על $1, \dots, n$ יש לה $E(X) = \tfrac{n+1}2$ ו-$\mathrm{Var}(X) = \tfrac{n^2-1}{12}$.

דוגמה פתורה — השגרה המלאה (WST01 יוני 2025 שאלה1). X עם הסתברויות 0.3, 0.2, 0.35, 0.15 על 1–4. $F(3.5) = 0.3+0.2+0.35 = 0.85$. אי-השוויון $3X - 3 < X + 2$ פותר ל $X < 2.5$, ולכן $P = 0.5$ — פתור עבור $X$ תחילה, ואז הוסף. $E(X) = 2.35$, $E(X^2) = 6.65$, $\mathrm{Var}(X) = 6.65 - 2.35^2 = 1.1275$; ו $\mathrm{Var}(5-2X) = 4(1.1275) = 4.51$ לפי כלל הקידוד.

עבור החלוקה הנורמלית $X\sim N(\mu, \sigma^2)$, סטנדרטי: $Z = \dfrac{X-\mu}\sigma$ ולאחר מכן קרא בטבלה. סימטריה מחלקת את העבודה למחציות: $P(X > \mu + 2\sigma) = P(Z > 2) = 0.0228$ ו $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 1 - 2(0.0228) = 0.9544$. בעיות הפוכות נותנות $z$ מתוך הטבלה, ולאחר מכן $x = \mu + z\sigma$; שתי תנאים על אותו $k$ נותנים מערכת משוואים.

דוגמה מוצגת — שקיות קמח (WST01 יוני 2025 שאלה6). שקיות קטנות $X\sim N(502, 3^2)$: $P(X > 508) = P(Z > 2) = 0.0228$. מתוך 4 שקיות, בדיוק 2 מעל 508: $6(0.0228)^2(0.9772)^2 = 0.00298$. שקיות גדולות $Y\sim N(1024, \sigma^2)$ עם פרצנטיל ⟨85⟩ 1038.51: $z_{0.85} = 1.0364$, ולכן $\sigma = \tfrac{14.51}{1.0364} = 14$. אם $P(X > k) = P(Y < 2k)$, אז $\tfrac{k-502}3 = \tfrac{1024-2k}{14}$, ולכן $14k - 7028 = 3072 - 6k$, $k = 505$, ו$p = P(Z > 1) = 0.159$.

• תן מספר סיבות מדוע משתמשים במודלים סטטיסטיים; שמור "זול ומהיר" plus one more.
• חשב צפיפות תדירות לקטגוריות לא שוות; השווה עמודיות היסטוגרם באמצעות יחס; אינטרפולציה של רביעיות בתוך הקטגוריה המקיפה; סמן שגיאות קיצוני תחת הכלל הנדרש.
• שלב קבוצות נתונים דרך $\sum x$ ו$\sum x^2$; הפכת קידוד בסטטיסטיקות $S$; תחזה את ההשפעה של הזזה או קנה מידה על ממוצע, שונות וסטייה תקנית.
• פתור שאלות הסתברות ממשיורי ון ועצים, עם והחלפת כדורים; הפכת תנאי עם $P(A\cap B)/P(A)$.
• חשב $r$ מתוך סטטיסטיקת $S$ ופרש אותו; התאם $y = a + bx$; נבא רק בתחום הנתונים; החזר נתונים מקודדים למשתנה המקורי.
• הפעל את תוכנית DRV הדיסקרטית: הסכום האפשרויות שווה ל-1, פתר אי-שוויונים עבור $X$ קודם, $E(X)$, $E(X^2)$, השונות, קידוד ליניארי; ציטוט התוצאות המשוות.
• תקן לשתי הכיוונים בשאלות רגילות; השתמש בסימטריה; גמר בעיות דו-תנאים באמצעות משוואות במקביל.