P3 · Pure Mathematics 3

מתמטיקה נטו 3 (P3) ממשיכה את P1 ו-P2: פונקציות רציונליות והופכות, הערך המוחלט, שילוב טרנספורמציות, פונקציות טריגונומטריות הפוכות וצורת הרמונית, התאמת דגם לוג-גרף חוקי הנגזרה המלאים, אינטגרציה בהכרה, ושיטות נומריות. P1 ועל ידע P2 נחשבים כנתונים ועשויים להיבדק במבחן WMA13/01 (1 שעות ⟨30 דקות, ⟨75 נקודות; אותם כללי מחשבון וספרון נוסחות).

נוסחות שחובה לדעת עבור P3 (אינן בספרון):

פשטת ביטויים רציונליים על ידי פירוק לגורמים וכיול; **חילוק אלגברי משמש מכנים עד לריבועיים. יש לכייל רק גורמים, לעולם איברים.

פונקציה היא הדמייה חד-חד-ערכית או רב-חד-ערכית; תחום ההגדרה שלה הוא הקלטות המותרות וגם טווח הוא ערכי הפלט. ה-הרכבה $fg$ פירושה "לבצע תחילה $g$, ואז $f$". ה-הופכי $f^{-1}$ מבטל את פעולת $f$ (קיים כאשר $f$ היא פונקציה חד-חד-ערכית), וכן $f^{-1}f(x) = ff^{-1}(x) = x$; גרף $f^{-1}$ הוא סימטריה של גרף $f$ ביחס ל$y = x$.

דוגמה מפורשת — הופכי והרכבה (מוסגה מתוך Edexcel IAL WMA13 יוני 2025 שאלה1). $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$, $x \ge 0$.

(א) טווח $f$.

• ב-$x = 0$: $f(0) = 0$; כאשר $x \to \infty$: $f(x) \to \tfrac23$ מכיוון תחתון, ו-$f$ בעלייה (ערך גדול יותר ל$x$ נותן ערך גדול יותר ל$f(x)$).
  $$0 \le f(x) < \tfrac23$$

(ב) מצאו את $f^{-1}(x)$.

• נתנו $y = \dfrac{2x}{3x+1}$ ופתרו עבור $x$:
  $$y(3x + 1) = 2x \implies 3xy + y = 2x \implies x(3y - 2) = -y \implies x = \frac{y}{2 - 3y}$$
  $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2 - 3x}$$
• בדיקה: $f\!\left(\tfrac{x}{2-3x}\right) = \dfrac{2x/(2-3x)}{3x/(2-3x) + 1} = \dfrac{2x}{3x + 2 - 3x} = x$ ✓.

(ג) פתרו $f^{-1}(x) = f(x)$.

• בדיקה: $f(\tfrac13) = \tfrac{2/3}{2} = \tfrac13 = f^{-1}(\tfrac13)$ ✓.

ה-ערך המוחלט $|x|$ שווה ל$x$ עבור $x \ge 0$ ול$-x$ עבור $x < 0$: $y = |ax + b|$ היא הישר $y = ax + b$ עם חלקו השלילי המוחזר מעל הציר. נתון $y = f(x)$, ציירו $y = |f(x)|$ (החזירו כל חלק מתחת לציר) ו$y = f(|x|)$ (שמרו על החלק הימני והחזירו אותו משמאל). פתרו משוואות ערך מוחלט גרפית או לפי מקרים, ובדקו כל פתרון.

המרות משולבות מיישמות את כללי P1 יחד, למשל $y = 2f(3x)$ או $y = f(-x) + 1$: ההתרחבויות מכפילות, וההזזות מתבצעות לאחר מכן; הסדר הנדרש בתוכנית הלימודים הוא $y = af(x)$, $y = f(x) + a$, $y = f(x+a)$, $y = f(ax)$ משולבים בביטוי אחד ($y = f(ax+b)$ כמו כן אינו נדרש).

דוגמה פותרת — משוואת מודולוס (דוגמת התוכנית עצמה). פתרו $|2x - 1| = x + 5$.

• מקרה $2x - 1 \ge 0$ ($x \ge \tfrac12$): $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ ✓ (עונה על $x \ge \tfrac12$).
• מקרה $2x - 1 < 0$: $-(2x - 1) = x + 5 \implies -3x = 4 \implies x = -\tfrac43$ ✓ ($< \tfrac12$).
• שתי הפתרונות הן $x = 6$ ו-$x = -\tfrac43$. בדיקה: $|2(6) - 1| = 11 = 6 + 5$ ✓; $|-\tfrac83 - 1| = \tfrac{11}3 = -\tfrac43 + 5$ ✓.

ה-פונקציות ההופכות:

עם זהויות $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ ו-$\operatorname{cosec}^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$. לגרפים שלהן יש אסימפטות שבהם הפונקציה במכנה מתאפסת. ה-פונקציות ההפוכות $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ דורשות תחומי הגדרה מוגבלים: $\arcsin: [-1, 1] \to [−\tfrac\pi2, \tfrac\pi2]$, $\arccos: [−1,1] → [0, \pi]$, $\arctan: \mathbb{R} → (-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2)$.

צורה הרמונית: $a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$ עם $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ ו-$\tan\alpha = \dfrac ba$ — מספר אחד, זווית אחת, מוכנים למקסם או לפתור.

דוגמה פתורה — צורה הרמונית (מותאם מתוך Edexcel IAL WMA13 יוני 2025 שאלה2). ביטוי $f(x) = 7\cos x - 24\sin x$ בצורה $R\cos(x + \alpha)$, $R > 0$, $0 < \alpha < 2\pi$.

• $R = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{625} = 25$.
• פתח את $R\cos(x + \alpha) = R\cos x\cos\alpha - R\sin x\sin\alpha$ והתאים: $25\cos\alpha = 7$ ו-$25\sin\alpha = 24$, ולכן $\tan\alpha = \tfrac{24}{7}$ ו-
  $$\alpha = 1.287 \ (3\ \text{d.p.}) \qquad f(x) = 25\cos(x + 1.287)$$
• בדיקה: $25\cos(0 + 1.287) = 25(0.28) = 7.0$ ✓ ו-$-25\sin(1.287) = -24.0$ ✓.

דוגמה מופת — הוכחת זהות (הוסתדר מאת Edexcel IAL WMA13 יוני 2025 שאלה8א). הוכח $\tan 3x \equiv \dfrac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$.

• כתוב את $3x = 2x + x$ והשתמש בנוסחת זווית כפולה:
  $$\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x\tan x}, \qquad \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} = \frac{2t}{1 - t^2} \ (t = \tan x)$$
• הצבה:
  $$\tan 3x = \frac{\frac{2t}{1-t^2} + t}{1 - \frac{2t^2}{1-t^2}} = \frac{2t + t(1 - t^2)}{(1 - t^2) - 2t^2} = \frac{3t - t^3}{1 - 3t^2} \qquad \blacksquare$$
• בדוק ב-$x = \tfrac\pi6$ ($t = \tfrac1{\sqrt3}$): המונה $\tfrac{3}{\sqrt3} - \tfrac{1}{3\sqrt3} = \tfrac{8}{3\sqrt3}$; denominator $1 - 1 = 0$ — and $\tan\tfrac\pi2$ אינו מוגדר ✓ תואם.

$y = e^x$ עובר דרך $(0, 1)$ וגדל ללא גבול; $\ln x$ הוא ההופכי שלו עם תחום $x > 0$ והציר $y$ כאסימפטוטה. פתור $e^{ax+b} = p$ על ידי נטילת $\ln$, ואת $\ln(ax + b) = q$ על ידי חזקה מעריכית.

מודלי גרף לוגריתמיים: עבור $y = ax^n$, נטילת לוגריתמים נותנת $\log y = n\log x + \log a$ — צייר גרף של $\log y$ כפונקציה של $\log x$ לקבלת קו ישר עם שיפוע $n$ וחיתוך עם ציר y $\log a$. עבור $y = kb^x$, צייר גרף של $\log y$ כפונקציה של $x$: שיפוע $\log b$, חיתוך עם ציר y $\log k$.

דוגמה פתורה — שחזור חוק חזקות (מותאמת מתוך Edexcel IAL WMA13 יוני 2025 שאלה3). משוואת $\log_{10}y$–$\log_{10}x$ עוברת דרך $(-3.5, 0)$ ו-$(0, -2)$. ביטוי $y$ כ-$px^q$.

• שיפוע: $\dfrac{0 - (-2)}{-3.5 - 0} = -\dfrac47$; נקודת חיתוך עם ציר y $-2$:
  $$\log_{10} y = -\tfrac47\log_{10}x - 2$$
• המרה: $y = 10^{-\frac47\log_{10}x - 2} = 10^{-2}\,x^{-4/7}$, לכן
  $$y = \frac{1}{100}\,x^{-4/7} \qquad (p = \tfrac{1}{100},\ q = -\tfrac47)$$
• בדוק עם נקודה על הקו: $\log_{10}x = 0 \Rightarrow x = 1$, $\log_{10}y = −2 ⇒ y = \tfrac{1}{100}$ ✓ and the formula gives $y = \tfrac{1}{100}\cdot 1 = \tfrac{1}{100}$ ✓.

דוגמה מופת — דגם דעיכה אקספוננציאלית (הוסתדר מאת Edexcel IAL WMA13 יוני 2025 שאלה6). מכשיר מעבד מתקרר כאשר $\theta = 21 + Ae^{-kt}$ ($\theta$ ב-C°, $t$ בדקות), החל מ 75 °C, מגיע ל-25 °C לאחר 5 דקות; מצא את $A$, $k$, ואת הזמן שבו הטמפרטורה יורדת ב 9 °C לדקה.

• ב-$t = 0$: $75 = 21 + A$, ולכן $A = 54$.
• קצב: $t = 5$; הוסיפו שוויון ל-$25 = 21 + 54e^{-5k} \implies e^{-5k} = \tfrac{4}{54} = \tfrac{2}{27}$:
  $$-5k = \ln\tfrac{2}{27} \implies k = \tfrac15\ln\tfrac{27}{2} = 0.521 \ (3\ \text{s.f.})$$
• הערך ההתחלתי הוא $\dfrac{d\theta}{dt} = -54ke^{-kt}$ °C והשפה הארוכת טווח היא $-9$ °C.
  $$e^{-kt} = \frac{9}{54 \times 0.521} = \frac{9}{28.13} \implies T = \frac{\ln(28.13/9)}{0.521} = 2.19 \ (2\ \text{d.p.})$$
• בדיקה: בזמן 75, 21 °C, יורד
• בדוק: ב-$T = 2.19$, $\theta = 21 + 54e^{-0.521(2.19)} = 21 + 54(0.320) = 38.3$ °C, יורדת בקצב $28.13 \times 0.320 = 9.0$ °C/דקה ✓. הרצפה של הדגם היא 21 °C (טמפרטורת החדר) — הגיוני עבור ערכים גדולים של $t$.

גזור את $\sin kx$, $\cos kx$, $\tan kx$ ($\to k\sec^2 kx$), $e^{kx}$, $\ln kx$ ($\to \tfrac1x$), כמו גם סכומים והפרשים.

כלל השרשרת. כלל השילוב.

$\sec x \to \sec x\tan x$, $\operatorname{cosec} x \to -\operatorname{cosec} x\cot x$, $\cot x \to -\operatorname{cosec}^2 x$ נובעים מ כלל המנה. גזירה סתומה משתמשת ב-$\dfrac{dy}{dx} = 1 ÷ \dfrac{dx}{dy}$ when $x$ is given in terms of $y$.

דוגמה מופרשת — מכפלה ושרשרת יחד (מדוגמאות המפרט עצמו). גזור $e^{-x^2}\sin 3x$ (מותאם מ-Edexcel IAL WMA13 יוני 2025 שאלה7).

• כלל מכפלה עם $u = e^{-x^2}$ (שרשרת: $u' = -2xe^{-x^2}$) ועם $v = \sin 3x$ ($v' = 3\cos 3x$):
  $$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2}\sin 3x + 3e^{-x^2}\cos 3x = e^{-x^2}\big(3\cos 3x - 2x\sin 3x\big)$$
• בדיקה בנקודה $x = 0$: הנגזרת היא $= 1 \times (3 - 0) = 3$, ובסביבת $0$ הגרף מתנהג כמו $\sin 3x$ עם שיפוע 3 ✓.

אינטגרל את הצורות הסטנדרטיות ישירות, והשתמש בצורות היכרות (זיהוי $f'$ בתוך האינטגרל):

זהויות טריגונומטריות ממירות $\sin^2 x$, $\cos^2 x$, $\tan^2 x$ לצורות שניתן לאינטגרל ($\cos 2A \equiv 1 - 2\sin^2 A$, $\cos 2A \equiv 2\cos^2 A - 1$; $\tan^2 \equiv \sec^2 - 1$).

דוגמה פתורה — זהויות קודם (מותאם מ-Edexcel IAL WMA13 יוני 2025 שאלה5). מצאו $\displaystyle\int\sin^2 3x\,dx$.

• זווית כפולה עם $A = 3x$: $\cos 6x \equiv 1 - 2\sin^2 3x$, ולכן $\sin^2 3x = \tfrac12(1 - \cos 6x)$:
  $$\int \sin^2 3x\,dx = \tfrac12\int(1 - \cos 6x)\,dx = \tfrac12\left(x - \tfrac16\sin 6x\right) + c = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + c$$
• בדיקה על ידי גזירה: $\tfrac12 - \tfrac{6\cos 6x}{12} = \tfrac12(1 - \cos 6x) = \sin^2 3x$ ✓.

דוגמה מופרשת — זיהוי. מצאו $\displaystyle\int \frac{6x}{3x^2 + 4}\,dx$.

• המונה הוא נגזרת המכנה ($f' = 6x$, $f = 3x^2 + 4$):
  $$\int\frac{6x}{3x^2+4}\,dx = \ln\lvert 3x^2 + 4\rvert + c$$
• בדיקה: $\dfrac{d}{dx}\ln(3x^2+4) = \dfrac{6x}{3x^2+4}$ ✓. הצורה המעורבת פועלת באותו אופן: עם $u = 3x^2 + 4$ ו-$du = 6x\,dx$,
  $$\int x\,(3x^2+4)^4\,dx = \tfrac16\int u^4\,du = \frac{(3x^2+4)^5}{30} + c$$
  וגזירת $\dfrac{(3x^2+4)^5}{30}$ נותנת $\dfrac{5(3x^2+4)^4 \cdot 6x}{30} = x(3x^2+4)^4$ ✓.

• שינוי סימן: אם $f$ רציפה ב-$[a, b]$ ו-$f(a)f(b) < 0$, שורש נמצא בין $a$ ל-$b$. חלקו את הקטע למחציות כדי לחדד את השורש לכל דיוק.
• איטרציה: סידור מחדש $x_{n+1} = f(x_n)$ מערך התחלתי מתכנס לנקודה קבועה (או לא — תמיד יש לבדוק מול גבול שינוי סימן).

דוגמה מפורטת — זיהוי ואיטרציה (מוסתם מהמסעדה IAL WMA13 יוני 2025 שאלה7). הנקודה הניחה של $y = e^{-x^2}\sin 3x$ בקרבת $x = 0.4$ מקיימת $x = \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$.

(א) עם $x_1 = 0.4$:

• בדוק שהאיטרציה מתכנסת: $|x_3 - x_2|$ קטן והערכים משתבשים לכיוון 0.43 ✓. (ב) הוכח שהשורש הוא 0.430 עד 3 מקומות עשרוניות: הגדר $g(x) = x - \tfrac13\arctan\tfrac{3}{2x}$ (או את ביטוי הנגזרת מדוגמה המפורטת למעלה):
  $$g(0.4295) = -1.1 \times 10^{-3} < 0 \qquad g(0.4305) = +6.4 \times 10^{-5} > 0$$
• $g$ רציפה, ושינוי הסימן בין 0.4295 ל-0.4305 כולא שורש, ולכן השורש הוא 0.430 עד 3 מקומות עשרוניות ✓.

• פשט ביטויים רציונליים; פקטוריז לפני ביטול; חלק בגורמים ליניאריים או ריבועיים מחלקים.
• עבוד עם תחום, טווח, הרכבה והפוכים; ודא הפוכים על ידי הרכבה ל-$x$.
• שרטט ופתור משוואות ערך מוחלט לפי מקרים עם בדיקות; שלב שתי טרנספורמציות על גרף אחד .
• השתמש בsec, cosec, cot ובזהויות שלהם; הכר את תחומי ההגבלה של פונקציות ההפוך.
• המירו $a\cos\theta + b\sin\theta$ ל$R\cos(\theta \pm \alpha)$; קראו את המקסימומים ופתרו.
• הוכח זהויות של זווית כפולה וזוויות מורכבות; השתמש בהן קדימה ואחורה.
• פתר $e^{ax+b} = p$ ו-$\ln(ax+b) = q$; שחזר $y = ax^n$ ו-$y = kb^x$ מפלוטי לוגריתם.
• נגזור בשיטת מכפלה, מנה ושרשרת, כולל $\sec/\operatorname{cosec}/\cot$; השת $\frac{dy}{dx} = 1 \div \frac{dx}{dy}$.
• דגם גידול ודעיכה; פרשן הערך ההתחלתי והסף הארוך-טווח; ביקור הדגם.
• אינטגרציה של צורות סטנדרטיות; זיהוי $\int f'/f$ ו$\int f'(f)^n$; שימוש במזהויות על פונקציות מרובעות טרigonUnitary.
• מציאת שורשים באמצעות שינוי סימן עם ניסוח רציפות; ביצוע ובדיקת איטרציה.