P2 · Pure Mathematics 2

מתמטיקה טהורה 2 (P2) היא היחידה החובה השנייה במתמטיקה בינלאומית AS ושל מתמטיקה טהורה בינלאומית AS, וגם של שני מסלולי A Level הבינלאומיים. רפרנס זה מכסה את כל נושאי P2 בתוכנית הלימודים Edexcel IAL (מהדורה 3, אפריל 2019): הוכחה, משפטי גורם ושארית, גיאומטריה מעגלית, סדרות וסכומים, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, זהויות ומשוואות טריגונומטריות, נקודות קיצון, ואינטגרציה כולל שטחים ו כלל הטרפז.

• מבחן P2 (WMA12/01) נמשך 1 שעה 30 דקות עם 75 נקודות. ידע ב-P1 ו הנוסחאות שלו מובן כנתון ו-ייתכן שנבדק במבחן P2.
• אותו מחשבון וחוקי הספר נוסחאות מתמטיות וטבלאות סטטיסטיות תקפים גם עבור P1. הנוסחאות להלן אינן מופיעות בספרון — יש לשנן אותן.
• שאלות "הראו את כל שלבי החישוב" דוחות תשובות שמחושבות רק במחשבון; יש לתת נוסחאות שיש לדעת עבור P3 (ממידע ההערכה בתוכנית הלימודים):

נוסחאות שחובה לדעת עבור P2 (מתוך מידע הערכה בתוכנית הלימודים):

הוכחה מתקדמת מנחותניות נתונות דרך שלבים לוגיים למסקנה. P2 משתמש ב שלוש שיטות:

• הוכחה על ידי ספירה: לחלק את האפשרויות למקרים ולבדוק כל מקרה.
• סירוב הוכחה באמצעות נגדד: נגדד אחד ששובר את הטענה מכחיש אותה.
• הוכחה אלגברית: להתחיל מהנתון, לעבד זהויות (ולא משוואות לפתרון), ו להגיע לניסוח המטרה.

דוגמה פתורה — דעיכה (מותאם מתוך Edexcel IAL WMA12 יוני 2025 Q10). הוכיחו כי עבור כל המספרים השלמיים החיוביים $m$ שאינם כפולים של 3, הערך של $m^2 + 3m + 2$ הוא תמיד כפולה של 3.

• קודם נפצל: $m^2 + 3m + 2 = (m+1)(m+2)$.
• מספר שלמי חיובי שאינו מתחלק ב-3 הוא או $m = 3q + 1$ או $m = 3q + 2$ — אלו כל המקרים, ולכן ספירתם מאשרת את הטענה.
• מקרה $m = 3q + 1$: $(m+1)(m+2) = (3q+2)(3q+3) = 3(3q+2)(q+1)$ — כפולה של 3.
• מקרה $m = 3q + 2$: $(m+1)(m+2) = (3q+3)(3q+4) = 3(q+1)(3q+4)$ — כפולה של 3.
• לשני המקרים יש כפולה של 3, ולכן $3 \mid m^2+3m+2$ כאשר $3 \nmid m$. $\blacksquare$
• בדיקה: $m = 1$: $6 = 3 \times 2$ ✓; $m = 2$: $12 = 3 \times 4$ ✓; $m = 4$: $30$ ✓; $m = 5$: $42$ ✓.

דוגמה פותרת — דוגמת נגד. הוכח ש"$n^2 - n + 1$ הוא מספר ראשוני לכל שלם $n \ge 2$."

• נגדד אחד מספיק. ננסה $n = 5$: $25 - 5 + 1 = 21 = 3 \times 7$, שהוא אינו ראשי.
• הטענה שגויה. בדוק $n = 2,3,4$ ומקבלים את הראשוניים $3, 7, 13$ — הדפוס מתקיים בהתחלה, מה שהופך בדיוק את הנקודה לכך שנגדד, ולא עוד דוגמאות, פותר את השאלה.

לפנימי $f(x)$:

• משפט הגורם: $(x - b)$ הוא גורם של $f(x)$ אם ורק אם $f(b) = 0$. עבור מחלקים מהצורה $(ax - b)$: אם $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right) = 0$ אזי $(ax - b)$ הוא גורם.
• משפט השארית: חלוקת $f(x)$ ב-$(ax - b)$ משאירה שארית $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)$.
• חלוקה אלגברית על ידי $(ax \pm b)$ נותנת מנה ושארית; הדרגה יורדת ב-1: $f(x) = (ax - b) \times (\text{quotient}) + \text{remainder}$.

דוגמה מוצאת — שני המשפטים יחד (מותאם מאחר Edexcel IAL WMA12 יוני 2025 שאלה4). $f(x) = ax^3 + bx^2 + 5x - 3$, כאשר $(x+3)$ הוא גורם של $f(x)$ וחלוקת $f(x)$ ב- $(2x - 1)$ משאירה שארית 7.

(א) הוכיחו כי $b = 3a + 2$.

• משפט הגורם: $f(-3) = 0$:
  $$a(-27) + b(9) + 5(-3) - 3 = 0 \implies -27a + 9b - 18 = 0 \implies b = 3a + 2$$

(ב) מצאו את $a$ ואת $b$.

• משפט השארית עם $(2x-1)$: $f\!\left(\tfrac12\right) = 7$:
  $$\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 3 = 7 \implies \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 7.5 \implies a + 2b = 60$$
• הצביעו $b = 3a + 2$: $a + 6a + 4 = 60$, ולכן $a = 8$ ו-$b = 26$.
• בדיקה: $f(x) = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$; $f(-3) = -216 + 234 - 15 - 3 = 0$ ✓ וכן $f(\tfrac12) = 1 + 6.5 + 2.5 - 3 = 7$ ✓.

(ג) המנה והשארית כאשר $f(x)$ מחולק ב-$(x - 2)$.

• חלקו את $8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ב-$(x-2)$: מנה $8x^2 + 42x + 89$, שארית $175$.
• בדיקה: $(x-2)(8x^2+42x+89) + 175 = 8x^3 + 42x^2 + 89x - 16x^2 - 84x - 178 + 175 = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ✓. The remainder also equals $f(2) = 64 + 104 + 10 - 3 = 175$ ✓.

מעגל שמרכזו $(a, b)$ ורדיוס $r$, משוואתו היא

נתונה הצורה המורחבת $x^2 + y^2 + fx + gy + c = 0$, השלם ריבוע כדי למצוא את המרכז $\left(-\tfrac f2, -\tfrac g2\right)$ ו$r^2 = \tfrac{f^2 + g^2}{4} - c$. נבחן שלושה מאפייני מעגל המפורטים להלן:

• הזווית בתוך חצי מעגל היא זווית ישרה;
• האנך ממרכז המעגל למיתר מחלק אותו לשווים;
• משיק הוא אנכי לרדיוס בנקודת המגע.

דוגמה פותרת — קצוות קוטר (מותאמת מהמבחן Edexcel IAL WMA12 יוני 2025 שאלה 2). הישר המחבר בין $(-2, 5)$ ל$(4, 15)$ הוא קוטר של המעגל $C$.

(א) משוואת $C$.

• המרכז הוא אמצע הקטע: $\left(\tfrac{-2+4}{2}, \tfrac{5+15}{2}\right) = (1, 10)$.
• הקוטר בריבוע: $d^2 = (4-(-2))^2 + (15-5)^2 = 36 + 100 = 136$, ולכן $r^2 = 136 \div 4 = 34$.
  $$(x - 1)^2 + (y - 10)^2 = 34$$
• בדיקה: שני הקצוות מקיימים את המשוואה: $(-3)^2 + (-5)^2 = 34$ ✓ ו$3^2 + 5^2 = 34$ ✓.

(ב) הנקודה על $C$ הקרובה ביותר לציר ה$x$.

• הנקודה הקרובה נמצאת על הרדיוס האנכי: אותה $x$ כמו המרכז, אך ב$r$ מתחתיו:
  $$(1,\ 10 - \sqrt{34})$$
• בדיקה: $(1-1)^2 + (10-\sqrt{34}-10)^2 = 34$ ✓, ואין ערך קטן יותר אפשרי עבור $y$ מכיוון שהמרכז נמצא $10 > \sqrt{34}$ מעל הציר.

סדרה עשויה להיות מוגדרת על ידי נוסחה למונע ה$n$ או על ידי יחס $x_{n+1} = f(x_n)$. תארה כגדלה, יורדת או מחזורית (מהמונעים שלה, לא מהנוסחה שלה).

סדרות חשניות: הפרש קבוע $d$.

יש לדעת את הוכחת נוספת הסכום (כתובו $S_n$ קדימה ואחורה, ואתרו) כמו גם $\Sigma$ סימון.

סדרות גיאומטריות: יחס קבוע $r$.

יש לדעת את הוכחת נוסחת הסכום (טלסקופי $S_n - rS_n$). השתמשו בלוגריתמים לפתרון עבור $n$ כאשר נתונה ערך של מונע.

התפתחות בינומית עבור מספר שלם חיובי $n$:

דוגמה מפורטת — סדרה גיאומטרית עם לוגריתמים (מותאם מאד Edexcel IAL WMA12 יוני 2025 שאלה7). סדרה גיאומטרית מתחילה ב-$10 + 8 + 6.4 + \cdots$

(א) סכום אינסופי.

• $a = 10$, $r = 8/10 = 0.8$, ו-$|r| < 1$:
  $$S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{10}{1 - 0.8} = 50$$

(ב) המונע ה$k$ הוא קטן מ-0.0005 — מצאו את הקטן ביותר $k$, באמצעות אלגברה.

• המונע ה$k$ הוא שווה ל-$10(0.8)^{k-1}$:
  $$10(0.8)^{k-1} < 0.0005 \implies (0.8)^{k-1} < 0.00005$$
• לקחת לוגריתם (הלוגריתם של מספר מתחת ל-1 הוא שלילי — שמרו על כיוון הא-אי-שוויון כאשר מחלקים בו):
  $$(k-1)\log 0.8 < \log 0.00005 \implies k - 1 > \frac{\log 0.00005}{\log 0.8} = 44.38\ldots$$
• לכן $k > 45.38$ והמספר השלם הקטן ביותר הוא $k = 46$.
• בדיקה: $10(0.8)^{45} = 0.000436\ldots < 0.0005$ ✓ אך $10(0.8)^{44} = 0.000544\ldots > 0.0005$ ✓.

דוגמה פתורה — סכום אריתמטי מקסימלי (מוסתגל מאותו שאלה). סדרה אריתמטית מתחילה ב-$850 + 843 + 836 + \cdots$ ($d = -7$). הסכום החלקי הגדול ביותר שלה:

• האיברים נשארים חיוביים עד $u_n = 850 - 7(n-1) > 0$, ולכן $n \le 122.4$; האיבר ה-122 הוא $850 - 7(121) = 3 > 0$ והאיבר ה-123 הוא $-4 < 0$.
  $$S_{122} = \frac{122}{2}\big(2(850) + 121(-7)\big) = 61(1700 - 847) = 61 \times 853 = 52\,033$$
• בדיקה: הוספת איילילי 123 would reduce the sum, so $S_{122}$ is the maximum ✓.

$y = a^x$ ($a > 0$, $a \ne 1$) עובר דרך $(0, 1)$ וגדל ללא גבול עבור $a > 1$. הלוגריתם לוגריתם $\log_a x$ הופך אותו: $\log_a x = y$ פירושו $a^y = x$. תדעו:

ומ-$\log_a \tfrac1x = -\log_a x$. פתור $a^x = b$ עם $x = \log_a b$ (ייתכן שיידרש שימוש בשינוי בסיס). תמיד בדוק מועמדים מול תחום ההגדרה: לוגריתמים דורשים ארגומנטים חיוביים.

דוגמה פתורה — משוואת לוגריתם (מוסתגל משאלת Edexcel IAL WMA12 יוני 2025 Q6). פתור $2\log_2(4 - x) = 3 + \log_2\!\left(\dfrac{x + 11}{2}\right)$.

• קח הכל לצד אחד של לוגריתם אחד:
  $$\log_2(4-x)^2 = \log_2 8 + \log_2\!\left(\frac{x+11}{2}\right) = \log_2\big(4(x+11)\big)$$
• לוגריתמים שווים נותנים ארגומנטים שווים:
  $$(4-x)^2 = 4(x+11) \implies x^2 - 8x + 16 = 4x + 44 \implies x^2 - 12x - 28 = 0$$
  $$(x - 14)(x + 2) = 0 \implies x = 14 \ \text{or}\ x = -2$$
• בדיקת תחום: $4 - x > 0$ דורש $x < 4$, לכן $x = 14$ נפסל. $x = -2$.
• בדיקה: צד שמאל $= 2\log_2 6$; צד ימין $= 3 + \log_2(4.5) = \log_2(8 \times 4.5) = \log_2 36 = 2\log_2 6$ ✓.

דוגמה פתורה — נקודת חיתוך מדויקת בצורת $\log_3$ (אותה שאלה). העקומות $y = 3^{2x+1}$ ו-$y = 6 \times 3^x$ נחתכות ב-$P$; כתוב $P$ כ-$(\log_3 a, b)$.

• שווה להם והחלף $u = 3^x$:
  $$3\cdot 3^{2x} = 6 \cdot 3^x \implies 3u^2 = 6u \implies u = 2 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$$
  $$y = 6 \times 3^x = 6 \times 2 = 12$$
• $P = (\log_3 2,\ 12)$, ולכן $a = 2$, $b = 12$. בדקו: $3^{2\log_3 2 + 1} = 3 \cdot 3^{2\log_3 2} = 3 \cdot 4 = 12$ ✓.

שתי זהויות ממירות בין סינון, קוסינוס וטנגנס:

פתור משוואות טריגונומטריות בטווח נתון על ידי הפחתה לפונקציה אחת (לרוב ריבועית נסתרת), ולאחר מכן קריאת הפתרון השני מתוך הסימטריה של הגרף. צייני את הטווח, עבדי ביחידות שלו (מעלות או רדיאנים), והיפרי ערכים מחוצה לו.

דוגמה פותרת — רדיאנים ושברים מדויקים (משתמש בשאלה Edexcel IAL WMA12 יוני 2025 שאלה 8). פתרו את $3\tan\!\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \sqrt3$ עבור $0 \le x < \pi$.

• חלקי ב3: $\tan\left(2x + \tfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{\sqrt3}$, וכן $\tan\frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$:
  $$2x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{2}$$
• ב$0 \le x < \pi$: $x = \dfrac{29\pi}{60}$ (k = 1) ו$x = \dfrac{59\pi}{60}$ (k = 2).
• בדקו: ב-$x = \frac{29\pi}{60}$: $2x + \frac\pi5 = \frac{7\pi}{6}$ ו-$\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt3}$ ✓.

דוגמה פותרת — ריבועית נסתרת בקוסינוס (אותה שאלה). פתור $5\sin\theta\tan\theta = \cos\theta + 4$ עבור $0 \le \theta < 360°$.

• החליפי $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ וכפלי ב$\cos\theta$:
  $$\frac{5\sin^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta + 4 \implies 5\sin^2\theta = \cos^2\theta + 4\cos\theta$$
• השתמשי ב$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$:
  $$5(1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 4\cos\theta \implies 6\cos^2\theta + 4\cos\theta - 5 = 0$$
• נוסחת השורשים ל$\cos\theta$:
  $$\cos\theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{12} = \frac{-2 \pm \sqrt{34}}{6}$$
• השורש $-$ הוא מתחת ל$-1$ (נפסל); $\cos\theta = 0.6385$ נותן $\theta = 50.3°$, ועל פי סימטריה של קוסינוס, $\theta = 360° - 50.3° = 309.7°$.
• בדיקה: $\cos 50.3° = 0.638$ ✓; שני הזוויות נמצאות בטווח ✓.

נקודות עצר הן $\dfrac{dy}{dx} = 0$. מיינו לפי סימן הנגזרת:

• הנגזרת משנה $+$ ל$-$: מקסימום;
• הנגזרת משנה $+$ ל$-$: מינימום;
• הנגזרת השנייה עוזרת: $f''(x) > 0$ בנקודה מאשרת מינימום, $f''(x) < 0$ מקסימום. מקסימום.

פונקציה היא עולה שם ש$f'(x) > 0$ וירודה שם ש$f'(x) < 0$. בעיות מעשיות – חומר מינימלי, עלות מינימלית – מתורגמות למינימיזציה של ביטוי במשתנה אחד.

דוגמה מפורטת – מינימום דגום (בהתאמה מ-Edexcel IAL WMA12 יוני 2025 שאלה9). גביע פתוח בעל סופים משולשים ישרי זווית עם רגלים $3x$ ו$2x$ (מטר), צדדים מלבניים $3x \times L$ ו$2x \times L$, וקיבולת $12\ \text{m}^3$. שטח המתכת הוא $S\ \text{m}^2$.

(א) הוכיחו ש$S = 6x^2 + \dfrac{20}{x}$.

• נפח: חתך צולב $\times$ אורך $= \tfrac12(3x)(2x) \times L = 3x^2L = 12$, ולכן $L = \dfrac{4}{x^2}$.
• שטח: שני משולשים פלו שני מלבנים:
  $$S = 2 \times \tfrac12(3x)(2x) + 3xL + 2xL = 6x^2 + 5x \cdot \frac{4}{x^2} = 6x^2 + \frac{20}{x}$$

(ב) מינימום $S$ באמצעות דיפרנציאל.

(ג) נסו את המינימום.

• הנגזרת השנייה חיובית בכל התחום: הנקודה העצרה היא מינימום ✓.
• בדיקה: ב$x = 1.1856$, $\frac{d^2S}{dx^2} = 12 + 40/(5/3) = 12 + 24 = 36 > 0$ ✓.

הערכו אינטגרלים מוגדרים באמצעות המשפט היסודי:

האינטגרל המסוים הוא השטח מתחת לעקומה עבור $y \ge 0$. עבור אזור מוגבל על ידי עקומה וישר, אינטגרל (עליון − תחתון) בין נקודות החיתוך שלהם, בחלוקה בכל מקום שבו הסדר משתנה. בדוק איזה גרף נמצא מעל השני.

דוגמה פתורה — שטח בין עקומה לקו (משתנה מאת Edexcel IAL WMA12 יוני 2025 שאלה3). $C$: $y = 3x + \dfrac{16}{x^2} - 8$ ($x > 0$) עם $P(1, 11)$ ו$Q(4, 5)$ על $C$; מצאו את השטח בין $C$ לבין קטע הישר $PQ$.

• ישר $PQ$: שיפוע $\dfrac{5-11}{4-1} = -2$, ולכן $y - 11 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 13$.
• בדיקת $Q$: $-8 + 13 = 5$ ✓.
• שטח מתחת לישר: $\displaystyle\int_1^4 (-2x + 13)\,dx = \left[-x^2 + 13x\right]_1^4 = 36 - 12 = 24$.
• שטח מתחת לעקומה: $\displaystyle\int_1^4 \left(3x + 16x^{-2} - 8\right)dx = \left[\tfrac32x^2 - \tfrac{16}{x} - 8x\right]_1^4 = (24 - 4 - 32) - (\tfrac32 - 16 - 8) = 10.5$.
• שטח האזור: $24 - 10.5 = \mathbf{13.5}$ יחידות רבועות.
• בדיקה: הישר נמצא מעל העקומה בכל מקום (עבור $x = 2$: ישר $9$, עקומה $3(2) + 4 - 8 = 2$), ולכן חיסול העקומה מהישר הוא הכיוון הנכון ✓.

שיטת הטרפז מעריכה שטח באמצעות $n$ פסים בעובי $h$:

יותר פסים (או עקומה יותר ישרה) משפרים את ההערכה; עקומה המתכופפת כלפי מעלה (קמורה, בעלת צורת U כמו $x^2$) משאירה כל מיתר מעליה, ולכן השיטה מתעלפת, בעוד ש- עקומה שמתכופפת כלפי מטה (קמורה, כמו $\sqrt x$ או קשת מעגל) משאירה מיתרים מתחת לה, ולכן הכלל מוערך באופן נמוך.

דוגמה פתורה — כלל הטרפז עם טבלה. העריכו $\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ עם 4 רצועות.

• ארבע רצועות על $[1, 3]$ נותנות $h = 0.5$ וחמישה ערכים של $y = \dfrac1x$: ב-$x = 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$ הערכים הם $1,\ 0.6667,\ 0.5,\ 0.4,\ 0.3333$.
  $$\int_1^3 \frac1x\,dx \approx \frac{0.5}{2}\big[1 + 0.3333 + 2(0.6667 + 0.5 + 0.4)\big] = 0.25 \times 4.4667 = 1.12$$
• הערך האמיתי הוא $\ln 3 = 1.099$ (3 ספרות משמעותיות). ההערכה היא הערכת יתר: $y = 1/x$ היא קמורה (היא מתכופפת כלפי מעלה), לכן כל רצועה ישרה יושבת מעל העקומה ✓.

• תבנה הוכחה; השתמש בשיטת התשלום במקרים המלאים; הפך בטענת נגד אחת.
• יישם את משפט הגורם ומשפט השארית, כולל מחלקי $(ax - b)$, וביצע חילופין אלגבריים בחילוק עם מנה ושארית.
• מצא מרכז ומשוער של עיגול מכל צורה; השתמש בשלוש תכונות העיגול.
• השתמש ב-$a_n$, $S_n$ וב-$S_\infty$ לסדרות חישוביות וגיאומטריות (שתי הוכחות נוספות הסכום), סימון $\Sigma$, ולוגריתמים למציאת $n$.
• הרחב $(a + bx)^n$ בעזרת מקדמי בינום, והתאם מקדמים נתונים.
• פתור משוואות לוגריתמיות עם שלושת החוקים, בדוק תחומים; תן חיתוכים בדיוק כ- $(\log_a b, c)$ כאשר מבקשים.
• צמצם משוואות טריגונומטריות עם $\tan = \sin/\cos$ ו-$\sin^2 + \cos^2 = 1$; פתור ב- מעלות או רדיאנים כפי שניתן, ורשים את כל פתרוני התחום.
• מצא ומיימן נקודות עצירות; הנמק עם שינוי סימן או נגזרת שנייה; הצג מודולציה של מינימום במשתנה אחת.
• חשבון אינטגרלים מוגדרים; מציאת שטחים מתחת לעקומות ובין עקומה לישר; יישום כלל הטרפז טבלאות וניסוח כיוון השגיאה שלו.