היקף ותנאי מקדימים
מסגרת ACT, עדכון פברואר 2026. המקרים בכיתה כאן אינם טופס ACT רשמי.
- להבחין בין הפרש חילוף לחיבור לבין יחס גיאומטרי
- למצוא איבר או סכום סופי תוך שמירה על אינדקס תקין
- להמיר משוואות לוגריתמיות לצורה מעריכית בתחום תקף
תנאי מקדימים: סימון אינדקס; חוקי מעריכים; רצפים סופיים.
הסבר ובחירת השיטה
רצף חילוף חילופי הוא בעל הפרש קבוע d: aₙ=a₁+(n-1)d. הסכום הסופי שלו הוא n(a₁+aₙ)/2. רצף גיאומטרי הוא בעל יחס קבוע r: aₙ=a₁r^(n-1). עבור r≠1, סכום סופי הוא a₁(1-rⁿ)/(1-r); כאשר r=1 הוא פשוט n a₁. התאימו את האיבר או הסכום המבוקשים.
מודל מעריכי A b^t מייצג הכפלה ב-b בכל יחידת זמן נתונה. צמיחה באחוז r משתמשת בגורם 1+r; שינויים חוזרים מכפילים גורמים ולא מחברים אחוזים. אם הכפלה דורשת מספר יחידות זמן, חלקו את t בפרק זמן זה במעריך.
עבור בסיס b>0 עם b≠1, המשוואה log_b(a)=c אומרת b^c=a ודורשת a>0. פתור משוואה לוגריתמית על ידי המרתה ליחס מעריכי, ולאחר מכן בדוק את הארגומנט הלוגריתמי. לוגריתמים של מכפלות מתווספים בארגומנטים חיוביים תקפים; לוגריתמים אינם מתפלגים על חיבור.
השתמשו בכוחות מדויקים כאשר אפשר. ACT עשית לבדוק קשר לוגריתמי פשוט ללא טבלות לוגריתמיות מספריות. קירוב מחושב חייב לעמוד בייצוג ובתחום של השאלה. שמרו על אינדקס של רצף, זמן של מודל מעריכי וארגומנט של לוגריתם כערכים מושגי נפרדים.
רצף חילופי : $a_n=a_1+(n-1)d$. סכומו הוא $S_n=n(a_1+a_n)/2$. רצף גיאומטרי : $a_n=a_1r^{n-1}$ ו$S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ עבור $r\ne1$. לוגריתם הופך פעולה מעריכית: $\log_b a=c$ פירושו $b^c=a$, עם $a>0$, $b>0$, $b\ne1$.
דוגמה פתורה. סדרה חש Arithmetic 4,7,10,… יש a₅=16 וסכום חמישת האיברים הראשונים=5(4+16)/2=50. סדרה גיאometric 3,6,12,24 יש סכום ארבעה איברים 45. המשוואה log₂(x-1)=4 נותנת x-1=16, ולכן x=17, מה שמאושר בתנאי x>1. אוכלוסייה בגודל 50·2^(t/3) מגיעה ל-200 לאחר שישה יחידות זמן.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
מספר המושבים בשורות עוקבות הוא 12,16,20,… . מצאו את השורה השמינית ואת הסכום הכולל בשמונה השורות הראשונות. ציינו את הנחת הדגם.
סיבה. הפרש קבוע הוא 4 מושבים לכל שורה. $a_8=a_1+7d=12+7(4)=40$ מושבים. $S_8=8(a_1+a_8)/2=8(12+40)/2=208$ מושבים. הנחה זו מניחה that the same four-seat increment through all eight rows.
תרגול 2
סדרה גיאומטרית מתחילה ב-5,15,45,… . מצאו את האיפן החמישי ואת סכום החמישה איברים הראשונים. הסבירו מה משתנה אם היחס הוא 1.
סיבה. $a_5=a_1r^4=5(3)^4=405$. $S_5=a_1(1-r^5)/(1-r)=5(1-243)/(1-3)=605$. כאשר $r=1$, לשבר יש מכנה אפס והסכום הנכון הוא $na_1$, כאן 25 לחמישה איברים זהים.
תרגול 3
פתרו $\log_2(x-3)=5$ והסבירו מדוע $\log_2(x+3)$ לא ניתן לחלוק באופן כללי ל-$\log_2x+\log_23$.
סיבה. תחום ההגדרה דורש $x>3$. צורת מעריכית נותנת $x-3=32$, ולכן $x=35$ והארגומנט חיובי. סכום הלוגריתמים מתאים למכפלה $3x$, לא ל-$x+3$; ב-$x=1$, השוויון המוצע היה שווה 2 ל-$\log_23$.
תרגול 4
דגם תרבות מתחיל עם 120 תאים וגודל פי 1.5 כל שעתיים. כתבו $N(t)$ עבור שעות $t$, מצאו $N(4)$, והבחינו בין הגורם לבין הגידול באחוזים.
סיבה. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ תאים. $N(4)=120(1.5)^2=270$ תאים. הגידול הוא 50% כל שעתיים, לא 150%; גורם ארבע השעות הוא 2.25. גורם השעה היחידה would be $\sqrt{1.5}$.
מגבלות ושימוש עתידי
אל תשתמשו ב-n במקום ב-n-1 עבור האיבר ה-n, אל תבלבו בין סכום סופי לבין האיבר האחרון שלו, או הרחיבו את log(a+b) כ-log a + log b.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.