Pythagoras' theorem · Théorème de Pythagore
| English | Français |
|---|---|
| Pythagoras/paɪˈθæɡərəs/ | Pythagore |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | triangle rectangle |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | hypoténuse |
| Pythagorean triples/ˈpaɪθəɡɔːrɪən ˈtrɪplz/ | triplets pythagoriciens |
The rope that made a right angle
- Ancient Egyptian builders used a rope with 12 equally-spaced knots to create a perfect right angle: stretch it into a triangle with sides 3, 4, and 5 — the corner opposite the longest side is always $90^{\circ}$.
- Pythagoras 勾股定理 proved why this works, and his theorem is still the most-used result in all of mathematics.
La corde qui a créé un angle droit
- Les constructeurs égyptiens anciens utilisaient une corde avec 12 nœuds espacés également pour créer un angle droit parfait : étirez-la en un triangle avec des côtés 3, 4 et 5 — l'angle opposé au côté le plus long est toujours $90^{\circ}$.
- Pythagore 勾股定理 a prouvé pourquoi cela fonctionne, et son théorème reste le résultat le plus utilisé de toutes les mathématiques.
The theorem
- In a right-angled triangle 直角三角形, the square on the hypotenuse 斜边 equals the sum of the squares on the other two sides:
- $c$ is the hypotenuse — the longest side, opposite the right angle.
The classic 3-4-5 triangle: $3^2 + 4^2 = 5^2$. The theorem works for every right-angled triangle.
$c$ must be the hypotenuse. The formula $a^2 + b^2 = c^2$ only works when $c$ is the side opposite the right angle. If you label the wrong side as $c$, you'll get the wrong answer.
Le théorème
- Dans un triangle rectangle 直角三角形, le carré de l'hypoténuse 斜边 est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
- $c$ est l'hypoténuse — le plus long côté, opposé à l'angle droit.
Le triangle classique 3-4-5 : $3^2 + 4^2 = 5^2$. Le théorème fonctionne pour tout triangle rectangle.
$c$ doit être l'hypoténuse. La formule $a^2 + b^2 = c^2$ ne fonctionne que lorsque $c$ est le côté opposé à l'angle droit. Si vous étiquetez le mauvais côté comme $c$, vous obtiendrez une mauvaise réponse.
Pythagoras' theorem · Théorème de Pythagore
a² + b² = c²
The squares on the two legs always add up to the square on the hypotenuse. · Les carrés sur les deux côtés courts s'additionnent toujours au carré sur l'hypoténuse.
A right-angled triangle has short sides 3 cm and 4 cm. Find the hypotenuse (cm). · Un triangle rectangle a des côtés courts de 3 cm et 4 cm. Trouvez l'hypoténuse (cm).
√(3² + 4²) = √25 = 5 cm.
The hypotenuse of a right-angled triangle is: · L'hypoténuse d'un triangle rectangle est :
The hypotenuse is the longest side and lies opposite the 90° angle. · L'hypoténuse est le côté le plus long et se trouve opposé à l'angle de 90°.
In Pythagoras theorem, a² + b² = c², the side c must be the ______. · Dans le théorème de Pythagore, a² + b² = c², le côté c doit être le ______.
c must always be the hypotenuse (the side opposite the right angle). · c doit toujours être l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit).
Finding a missing side
- Finding the hypotenuse: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (add and square-root).
- Finding a short side: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (subtract and square-root).
Hypotenuse $13$, short side $5$: $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
Pythagoras as areas: the squares on the two shorter sides ($9+16$) add up to the square on the hypotenuse ($25$)
Trouver un côté manquant
- Trouver l'hypoténuse : $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (additionner et prendre la racine carrée).
- Trouver un petit côté : $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ (soustraire et prendre la racine carrée).
Hypoténuse $13$, petit côté $5$ : $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
Pythagore sous forme d'aires : les carrés sur les deux côtés plus courts ($9+16$) s'additionnent au carré sur l'hypoténuse ($25$)
The hypotenuse is 13 cm and one short side is 5 cm. Find the other short side (cm). · L'hypoténuse mesure 13 cm et un côté court mesure 5 cm. Trouvez l'autre côté court (cm).
√(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm.
A right-angled triangle has hypotenuse 10 cm and one short side 6 cm. Find the other short side (cm). · Un triangle rectangle a une hypoténuse de 10 cm et un côté court de 6 cm. Trouvez l'autre côté court (cm).
√(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm.
Pythagorean triples 勾股数 worth knowing
- $3, 4, 5$ — the smallest triple.
- $5, 12, 13$ — the next most common.
- Multiples work too: $6, 8, 10$ and $9, 12, 15$ are also right-angled.
- Spotting a triple saves calculation time in exams.
Triplettes pythagoriciennes 勾股数 à connaître
- $3, 4, 5$ — le plus petit triplet.
- $5, 12, 13$ — le suivant le plus courant.
- Les multiples fonctionnent aussi : $6, 8, 10$ et $9, 12, 15$ sont aussi des triangles rectangles.
- Repérer un triplet fait gagner du temps de calcul lors des examens.
A triangle with sides 6, 8, 10 is right-angled. · Un triangle aux côtés 6, 8, 10 est rectangle.
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². It is a multiple of the 3-4-5 triple. · 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². C'est un multiple du triplet 3-4-5.
You've got it
- $a^2 + b^2 = c^2$, with $c$ the hypotenuse (opposite the right angle)
- to find a short side, subtract: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
- $3$-$4$-$5$ and $5$-$12$-$13$ are worth remembering
Vous avez compris
- $a^2 + b^2 = c^2$, avec $c$ l'hypoténuse (opposée à l'angle droit)
- Pour trouver un petit côté, soustraire : $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
- $3$-$4$-$5$ et $5$-$12$-$13$ valent la peine d'être mémorisés