Trigonometry in right-angled triangles · Trigonométrie dans les triangles rectangles
| English | Français |
|---|---|
| trigonometry/ˌtrɪɡəˈnɒmətri/ | trigonométrie |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | opposée |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | adjacent |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | angle d'élévation |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | angle d'abaissement |
How tall is that tree?
- You can't climb it with a tape measure. But standing $10$ m away and looking up at $50^{\circ}$, trigonometry 三角学 gives you the height: $10 \times \tan 50^{\circ} \approx 11.9$ m.
- Trigonometry measures the unmeasurable — using angles and one known length.
Quelle est la hauteur de cet arbre ?
- Vous ne pouvez pas la mesurer avec un mètre ruban. Mais en vous tenant à $10$ m de distance et en regardant vers le haut à $50^{\circ}$, la trigonométrie vous donne la hauteur : $10 \times \tan 50^{\circ} \approx 11.9$ m.
- La trigonométrie mesure l'immesurable — en utilisant des angles et une longueur connue.
Naming the sides
- In a right-angled triangle, name the sides relative to the angle $\theta$:
- Opposite 对边 (O): the side across from $\theta$.
- Adjacent 邻边 (A): the side next to $\theta$ (not the hypotenuse).
- Hypotenuse (H): the longest side, opposite the right angle.
SOH-CAH-TOA: the three ratios that connect angles to side lengths in right-angled triangles.
Nommer les côtés
- Dans un triangle rectangle, nommez les côtés par rapport à l'angle $\theta$ :
- Opposé (O) : le côté opposé à $\theta$.
- Adjacent (A) : le côté adjacent à $\theta$ (pas l'hypoténuse).
- Hypoténuse (H) : le plus long côté, opposé à l'angle droit.
SOH-CAH-TOA : les trois rapports qui relient les angles aux longueurs des côtés dans les triangles rectangles.
Right-angled trig · Trigo rectangle
(cos θ, sin θ)
SOHCAHTOA comes from this circle — sin, cos and · et tan of the angle. · SOHCAHTOA vient de ce cercle — sin, cos et tan de l'angle.
The three ratios — SOH CAH TOA
- To find a side: use the ratio and multiply/divide.
- To find an angle: use the inverse ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Opposite $4$, adjacent $3$: $\;\tan\theta = \dfrac{4}{3}$, so $\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}$.
Looking up at a tower involves an angle of elevation 仰角
Les trois rapports — SOH CAH TOA
- Pour trouver un côté : utilisez le rapport et multipliez/divisez.
- Pour trouver un angle : utilisez l'inverse ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Opposé $4$, adjacent $3$ : $\;\tan\theta = \dfrac{4}{3}$, donc $\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}$.
Regarder vers le haut vers une tour implique un angle d'élévation
In a right-angled triangle the hypotenuse is 10 cm and the angle is 30°. The opposite side = 10 × sin 30°. Find it (cm). · Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 cm et l'angle est de 30°. Le côté opposé = 10 × sin 30°. Trouvez-le (cm).
10 × sin 30° = 10 × 0.5 = 5 cm.
The opposite side is 4 cm and the adjacent side is 3 cm. Find the angle (degrees, 1 dp). · Le côté opposé mesure 4 cm et le côté adjacent mesure 3 cm. Trouvez l'angle (degrés, 1 décimale).
tan θ = 4/3, so θ = tan⁻¹(4/3) = 53.1°. · tan θ = 4/3, donc θ = tan⁻¹(4/3) = 53.1°.
The adjacent side is 8 cm and the angle is 60°. The hypotenuse = 8 / cos 60°. Find it (cm). · Le côté adjacent mesure 8 cm et l'angle est de 60°. L'hypoténuse = 8 / cos 60°. Trouvez-la (cm).
cos 60° = 0.5, so hyp = 8 / 0.5 = 16 cm. · cos 60° = 0.5, donc hyp = 8 / 0.5 = 16 cm.
In SOH CAH TOA, sin θ = opposite / ______. · Dans SOH CAH TOA, sin θ = opposé / ______.
SOH: sin θ = Opposite / Hypotenuse. · SOH : sin θ = Opposé / Hypoténuse.
Angles of elevation and depression (Extended)
- Angle of elevation: looking up from the horizontal.
- Angle of depression 俯角: looking down from the horizontal.
- Both are measured from the horizontal, not from the vertical.
From the horizontal, always. The angle of elevation/depression is measured from the horizontal line, not from the vertical. This is the most common error in these problems.
Name the sides from the angle $\theta$: the opposite is across from it, the adjacent next to it, the hypotenuse opposite the right angle (SOH-CAH-TOA)
Angles d'élévation et d'abaissement (Étendu)
- Angle d'élévation : regarder vers le haut depuis l'horizontale.
- Angle d'abaissement : regarder vers le bas depuis l'horizontale.
- Tous deux sont mesurés par rapport à l'horizontale, pas par rapport à la verticale.
Depuis l'horizontale, toujours. L'angle d'élévation/d'abaissement est mesuré depuis la ligne horizontale, pas depuis la verticale. C'est l'erreur la plus courante dans ces problèmes.
Nommez les côtés à partir de l'angle $\theta$ : l'opposé est face à lui, l'adjacent à côté, l'hypoténuse opposée à l'angle droit (SOH-CAH-TOA)
From 50 m away, the angle of elevation to a tower top is 40°. Height = 50 × tan 40°. Find it (m, 1 dp). · À 50 m de distance, l'angle d'élévation vers le sommet d'une tour est de 40°. Hauteur = 50 × tan 40°. Trouvez-la (m, 1 décimale).
50 × tan 40° = 50 × 0.839 = 42.0 m.
The angle of elevation is measured from the vertical. · L'angle d'élévation est mesuré à partir de la verticale.
Angles of elevation and depression are both measured from the horizontal, not the vertical. · Les angles d'élévation et d'abaissement sont tous deux mesurés à partir de l'horizontale, et non de la verticale.
Worked example
- $50$ m from a tower, elevation $40^{\circ}$:
- $h=d\tan\theta=50\tan40^{\circ}\approx42.0$ m. Keep the full calculator value of the tangent before rounding.
The angle of elevation looks up from the horizontal; the angle of depression looks down
Exemple résolu
- $50$ m d'une tour, élévation $40^{\circ}$ :
- $h=d\tan\theta=50\tan40^{\circ}\approx42.0$ m. Gardez la valeur complète de la tangente calculée avant d'arrondir.
L'angle d'élévation regarde vers le haut depuis l'horizontale ; l'angle d'abaissement regarde vers le bas
You've got it
- SOH: $\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$; CAH: $\cos\theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$; TOA: $\tan\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$
- use the inverse ($\tan^{-1}$ etc.) to find an angle
- elevation looks up, depression looks down — both from the horizontal
Vous avez compris
- SOH : $\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$ ; CAH : $\cos\theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$ ; TOA : $\tan\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$
- utiliser l'inverse ($\tan^{-1}$ etc.) pour trouver un angle
- l'élévation regarde vers le haut, l'abaissement regarde vers le bas — tous deux depuis l'horizontale