Sets · Ensembles
| English | Français |
|---|---|
| set/set/ | réglée |
| elements/ˈelɪmənts/ | éléments |
| universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/ | ensemble universel |
| empty set/ˈempti set/ | ensemble vide |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | intersection |
| union/ˈjuːnɪən/ | syndicat |
| complement/ˈkɒmplɪmənt/ | complément |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | diagramme de Venn |
The class of 2024
- A school has 30 students. 18 study French, 12 study Spanish, and 5 study both.
- How many study neither? You can't just add — you need sets 集合.
- Sets are the language of grouping, and they power everything from databases to probability.
La classe de 2024
- Une école compte 30 élèves. 18 étudient le français, 12 étudient l'espagnol, et 5 étudient les deux.
- Combien étudient ni l'un ni l'autre ? On ne peut pas simplement additionner — il faut utiliser des ensembles.
- Les ensembles sont le langage du regroupement, et ils alimentent tout, des bases de données aux probabilités.
What is a set?
- A set is a collection of distinct objects (the elements 元素 or members).
- Written with curly braces: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
- $3 \in A$ means "$3$ is an element of $A$"; $7 \notin A$ means "$7$ is not".
- The universal set 全集 $\xi$ contains everything under discussion. The empty set 空集 $\emptyset$ has no elements.
$A\cap B=\{6\}$ is the only number in both circles; $A\cup B$ is everything inside either circle
Qu'est-ce qu'un ensemble ?
- Un ensemble est une collection d'objets distincts (les éléments ou membres).
- Écrit entre accolades : $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
- $3 \in A$ signifie "$3$ est un élément de $A$" ; $7 \notin A$ signifie "$7$ ne l'est pas".
- L'ensemble universel $\xi$ contient tout ce qui est sous discussion. L'ensemble vide $\emptyset$ n'a aucun élément.
$A\cap B=\{6\}$ est le seul nombre dans les deux cercles ; $A\cup B$ représente tout ce qui se trouve à l'intérieur de l'un ou l'autre cercle
Set operations on a Venn diagram · Opérations sur ensembles dans un diagramme de Venn
A Venn diagram shows two sets. Slide through the operations to see which region union, intersection and complement shade in. · Un diagramme de Venn montre deux ensembles. Faites glisser les opérations pour voir quelle zone union, intersection et complément colorient.
The empty set ∅ is a subset of every set. · L'ensemble vide ∅ est un sous-ensemble de tout ensemble.
The empty set has no elements, so it is trivially contained in every set. · L'ensemble vide n'a aucun élément, donc il est trivialement contenu dans tout ensemble.
Intersection 交集 and union 并集
- Intersection $A \cap B$: elements in both $A$ and $B$.
- Union $A \cup B$: elements in $A$ or $B$ (or both).
- Complement 补集 $A'$: everything in the universal set that is not in $A$.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$. Then $A \cap B = \{3, 4\}$ and $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Intersection et union
- Intersection $A \cap B$ : éléments présents dans les deux $A$ et $B$.
- Union $A \cup B$ : éléments dans $A$ ou $B$ (ou les deux).
- Complémentaire $A'$ : tout ce qui appartient à l'ensemble universel mais qui n'est pas dans $A$.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$. Then $A \cap B = \{3, 4\}$ and $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
A = {2,4,6,8,10} and B = {3,6,9}. How many elements are in A ∩ B? · A = {2,4,6,8,10} et B = {3,6,9}. Combien d'éléments y a-t-il dans A ∩ B ?
Only 6 is in both sets, so A ∩ B = {6}, which has 1 element. · Seul 6 est dans les deux ensembles, donc A ∩ B = {6}, ce qui contient 1 élément.
For the same A and B, how many elements are in A ∪ B? · Pour les mêmes A et B, combien d'éléments y a-t-il dans A ∪ B ?
A ∪ B = {2,3,4,6,8,9,10}, which has 7 elements. · A ∪ B = {2,3,4,6,8,9,10}, ce qui contient 7 éléments.
The symbol ∩ means: · Le symbole ∩ signifie :
∩ is intersection (elements in both A and B); ∪ is union. · ∩ est l'intersection (éléments dans A et B) ; ∪ est l'union.
Venn diagrams 维恩图
- A Venn diagram draws sets as overlapping circles inside a rectangle (the universal set).
- Overlapping region = intersection; everything inside a circle = that set's members.
Venn diagrams show how sets relate — here, every natural number is also an integer and a rational.
Don't double-count. When finding $n(A \cup B)$, use $n(A) + n(B) - n(A \cap B)$. The intersection is counted once in each set, so subtract it once.
Diagrammes de Venn
- Un diagramme de Venn représente des ensembles sous forme de cercles imbriqués dans un rectangle (l'ensemble universel).
- Zone de chevauchement = intersection ; tout ce qui est à l'intérieur d'un cercle = les membres de cet ensemble.
Les diagrammes de Venn montrent comment les ensembles sont liés — ici, chaque entier naturel est aussi un entier et un rationnel.
Ne doublez pas le comptage. Pour trouver $n(A \cup B)$, utilisez $n(A) + n(B) - n(A \cap B)$. L'intersection est comptée une fois dans chaque ensemble, donc soustrayez-la une fois.
Worked example
- 30 students, $F =$ French (18), $S =$ Spanish (12), $F \cap S = 5$.
- $n(F \cup S) = 18 + 12 - 5 = 25$.
- Neither $= 30 - 25 = 5$ students study neither language.
Exemple résolu
- 30 students, $F =$ French (18), $S =$ Spanish (12), $F \cap S = 5$.
- $n(F \cup S) = 18 + 12 - 5 = 25$.
- Neither $= 30 - 25 = 5$ students study neither language.
n(A) = 5, n(B) = 3, n(A ∩ B) = 1. Find n(A ∪ B). · n(A) = 5, n(B) = 3, n(A ∩ B) = 1. Trouvez n(A ∪ B).
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 5 + 3 − 1 = 7.
In a class of 30, 18 study French, 12 study Spanish, and 5 study both. How many study neither? · Dans une classe de 30 élèves, 18 étudient le français, 12 étudient l'espagnol, et 5 étudient les deux. Combien n'étudient aucune des deux langues ?
n(F ∪ S) = 18 + 12 − 5 = 25. Neither = 30 − 25 = 5. · n(F ∪ S) = 18 + 12 − 5 = 25. Aucun = 30 − 25 = 5.
Three sets (Extended)
- In a three-set Venn diagram, fill the triple overlap first, then the parts belonging to exactly two sets, then the single-set regions. If $n(A\cap B)=7$ includes 2 in all three, the AB-only region is $7-2=5$.
- For $n(A)=12,n(B)=10,n(C)=9$, pair intersections AB=4, AC=3, BC=2 and triple=1, the union is $n(A\cup B\cup C)=12+10+9-4-3-2+1=23$. The triple is added back because the three pair subtractions removed it too often.
Trois ensembles (Étendu)
- Dans un diagramme de Venn à trois ensembles, remplissez d'abord la triple intersection, puis les parties appartenant à exactement deux ensembles, ensuite les régions à un seul ensemble. Si $n(A\cap B)=7$ contient 2 dans les trois, la région AB-seulement est $7-2=5$.
- Pour $n(A)=12,n(B)=10,n(C)=9$, associez les intersections AB=4, AC=3, BC=2 et triple=1 ; l'union est $n(A\cup B\cup C)=12+10+9-4-3-2+1=23$. La triple intersection est ajoutée car les trois soustractions par paires l'ont trop retirée.
Set sizes are 12,10,9; pair intersections 4,3,2; triple intersection 1. Find the union size. · Les tailles d'ensembles sont 12,10,9 ; les intersections paires 4,3,2 ; l'intersection triple 1. Trouvez la taille de l'union.
Add singles, subtract all pairs, add triple: 31−9+1 = 23. · Ajouter les simples, soustraire toutes les paires, ajouter le triple : 31−9+1 = 23.
You've got it
- $A \cap B$ = intersection (both); $A \cup B$ = union (either or both); $A'$ = complement
- $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ — subtract the overlap
- Venn diagrams show set relationships visually; the rectangle is the universal set
- $\emptyset$ = empty set; $\xi$ = universal set
Vous avez compris
- $A \cap B$ = intersection (both) ; $A \cup B$ = union (either or both) ; $A'$ = complement
- $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ — subtract the overlap
- Les diagrammes de Venn représentent visuellement les relations entre ensembles ; le rectangle correspond à l'univers.
- $\emptyset$ = empty set; $\xi$ = universal set