Exponentials and logarithms · Exponentielles et logarithmes
| English | Français |
|---|---|
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | fonction exponentielle |
| exponent/ekˈspəʊnənt/ | exposant |
| natural logarithms/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəmz/ | logarithmes naturels |
| compound interest/ˈkɒmpaʊnd ˈɪntrest/ | intérêts composés |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | décroissance exponentielle |
Repeated multiplication creates a model
- An exponential function 指数函数 such as $y=a^x$ has the variable in the exponent 指数, with $a>0$ and $a\ne1$.
- Its values grow for $a>1$ and decay for $0
La multiplication répétée crée un modèle
- Une fonction exponentielle telle que $y=a^x$ a la variable dans l'exposant, avec $a>0$ et $a\ne1$.
- Ses valeurs croissent pour $a>1$ et décroissent pour $0
Exponential growth against a straight line · Croissance exponentielle contre une droite
$y = a^x$
A constant factor always overtakes a constant amount, however steep the line. · Un facteur constant finit toujours par surpasser une quantité constante, quelle que soit la pente de la droite.
Use a logarithm as an inverse
- $\log_a y=x$ means $a^x=y$. Real logarithms need a positive argument and a positive base different from 1.
- Natural logarithms 自然对数 use base e. The graph $y=\ln x$ passes through $(1,0)$ and has vertical asymptote $x=0$; exponential graphs have y-intercept 1 and horizontal asymptote $y=0$.
Utiliser un logarithme comme inverse
- $\log_a y=x$ signifie $a^x=y$. Les logarithmes réels nécessitent un argument positif et une base positive différente de 1.
- Logarithmes naturels utilisent la base e. Le graphique $y=\ln x$ passe par $(1,0)$ et a une asymptote verticale $x=0$ ; les graphiques exponentiels ont une ordonnée à l'origine 1 et une asymptote horizontale $y=0$.
What is log₁₀ 1000? · Quel est log₁₀ 1000 ?
It asks what power of 10 gives 1000, and 10³ = 1000. · Il demande quelle puissance de 10 donne 1000, et 10³ = 1000.
Apply laws only within their domain
- For positive m and n with the same valid base, $\log(mn)=\log m+\log n$ and $\log(m/n)=\log m-\log n$.
- The power law $\log(m^k)=k\log m$ brings an exponent into a product. There is no corresponding law splitting the logarithm of a sum.
Appliquer les lois uniquement dans leur domaine
- Pour m et n positifs avec la même base valide, $\log(mn)=\log m+\log n$ et $\log(m/n)=\log m-\log n$.
- La loi des puissances $\log(m^k)=k\log m$ fait entrer un exposant dans un produit. Il n'existe pas de loi correspondante permettant de décomposer le logarithme d'une somme.
Which law lets you solve for an unknown that sits in an exponent? · Quelle loi vous permet de résoudre pour une inconnue placée dans un exposant ?
The power law brings k down to the front, where it can be divided out. The fourth option is not a law at all. · La loi des puissances fait descendre k devant, où il peut être divisé. La quatrième option n'est pas une loi.
log(m + n) equals log m + log n. · log(m + n) égale log m + log n.
The addition law applies to a product inside the logarithm, never to a sum. · La loi d'addition s'applique à un produit à l'intérieur du logarithme, jamais à une somme.
State the time and financial assumptions
- Compound interest 复利 uses $A=P(1+r)^n$ for a stated rate per period and no other cash flows. The rate r is a fraction, not the percentage numeral.
- Exponential decay 指数衰减 uses a factor between 0 and 1. A continuous-time threshold can differ from the first qualifying whole-period sample; real processes need evidence before adopting a model.
Énoncer les hypothèses temporelles et financières
- Les intérêts composés utilisent $A=P(1+r)^n$ pour un taux déclaré par période et sans autres flux de trésorerie. Le taux r est une fraction, pas le chiffre du pourcentage.
- La croissance exponentielle utilise un facteur entre 0 et 1. Un seuil en temps continu peut différer du premier échantillon de période entière qualifié ; les processus réels nécessitent des preuves avant d'adopter un modèle.
5000 grows at 4% a year. After how many WHOLE years does it first exceed 7000? · 5000 augmente de 4 % par an. Après combien d'ANNÉES COMPLÈTES dépasse-t-il pour la première fois 7000 ?
n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58, and years are whole, so the answer is 9. · n > log 1.4 ÷ log 1.04 = 8.58, et les années étant entières, la réponse est 9.
Which base gives exponential decay? · Quelle base donne une décroissance exponentielle ?
A base between 0 and 1 shrinks the value at every step. A base of 1 never changes it. · Une base comprise entre 0 et 1 réduit la valeur à chaque étape. Une base de 1 ne la change jamais.
In one English sentence, say when you would use a logarithm to solve an equation. · En une phrase anglaise, dites quand vous utiliseriez un logarithme pour résoudre une équation.
Example: "I take logarithms when the unknown is in the exponent, because the power law brings it down." · Exemple : « Je prends les logarithmes lorsque l'inconnue est dans l'exposant, car la loi des puissances la fait descendre. »
A whole-year threshold. With $A(n)=500(1.04)^n$, the condition $A(n)>600$ gives $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$. The first whole year is 5. Check years 4 and 5 to verify the strict inequality.
Un seuil sur une année complète. Avec $A(n)=500(1.04)^n$, la condition $A(n)>600$ donne $n>\ln(600/500)/\ln1.04\approx4.6486$. La première année complète est 5. Vérifier les années 4 et 5 pour confirmer l'inégalité stricte.
Check equation and sketch domains separately. In $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$, the equation needs $x>1$ and has solution 6. The separate basic graph $y=\ln x$ is defined for $x>0$. Sheet 1.6 practises both equations and graph features.
Vérifiez séparément les domaines de l'équation et du croquis. Dans $\ln(x-1)+\ln2=\ln10$, l'équation nécessite $x>1$ et a pour solution 6. Le graphique de base séparé $y=\ln x$ est défini pour $x>0$. La feuille 1.6 s'exerce sur les deux équations et les caractéristiques des graphiques.
A positive exponential decay model stays above zero at every finite time. A physical quantity measured as zero may reflect detection limits or failure of the model, rather than an exact zero predicted by the formula.
Un modèle positif de décroissance exponentielle reste au-dessus de zéro à tout temps fini. Une grandeur physique mesurée comme nulle peut refléter des limites de détection ou une défaillance du modèle, plutôt qu'un zéro exact prédit par la formule.