Carrying Out a Test for the Slope · Mise en œuvre d'un test sur la pente
The test statistic
- The slope test statistic compares $b$ to $0$ in standard errors:
-
$$t = \frac{b}{SE_b}$$
- Both $b$ and $SE_b$ come straight from the computer output.
- Output often prints this $t$ (and its p-value) for you already.
La statistique de test
- La statistique de test de pente compare $b$ à $0$ en erreurs standards :
-
$$t = \frac{b}{SE_b}$$
- Tant $b$ que $SE_b$ viennent directement du tableau de sortie informatique.
- La sortie imprime souvent déjà cette $t$ (et sa p-valeur).
Find the p-value
- Use the $t$-distribution with $df = n - 2$.
- Two-sided $H_a$: the standard output p-value (already two-tailed).
- One-sided $H_a$: halve the reported two-sided p-value (if $b$ is in the claimed direction).
- The p-value is the chance of a slope this far from $0$ if $\beta$ were truly $0$.
Trouver la valeur p
- Utilisez la distribution $t$ avec $df = n - 2$.
- Test $H_a$ bidirectionnel : la p-valeur standard de la sortie (déjà double queue).
- Test $H_a$ unilatéral : divisez par deux la p-valeur bidirectionnelle rapportée (si $b$ est dans la direction affirmée).
- La p-valeur est la chance d'avoir une pente aussi éloignée de $0$ si $\beta$ était vraiment $0$.
Make a decision
- Compare the p-value to $\alpha$:
- p $\le \alpha$ → reject $H_0$: convincing evidence of a linear relationship.
- p $> \alpha$ → fail to reject: not convincing evidence.
- Standard decision rule.
Prendre une décision
- Comparez la valeur p à $\alpha$ :
- p $\le \alpha$ → rejeter $H_0$ : preuve convaincante d'une relation linéaire.
- p $> \alpha$ → ne pas rejeter : preuve non convaincante.
- Règle de décision standard.
Conclude in context
- State it about the linear relationship between the real variables.
- "Convincing evidence of a positive linear relationship between hours and score" (if rejected).
- Or "not convincing evidence of a linear relationship" (if not).
- Failing to reject never proves $\beta = 0$.
Conclure en contexte
- Exprimez-la concernant la relation linéaire entre les variables réelles.
- "Preuve convaincante d'une relation linéaire positive entre heures et note" (si rejetée).
- Ou "pas de preuve convaincante d'une relation linéaire" (si non).
- Ne pas rejeter ne prouve jamais $\beta = 0$.
Computer output's p-value is two-sided — halve it for a one-sided $H_a$ (and only if the sample slope points the way $H_a$ claims). Use $df = n - 2$, and read $t = b/SE_b$ from the output rather than recomputing. As always, "fail to reject" means insufficient evidence, not proof of no relationship.
La p-valeur de la sortie informatique est bidirectionnelle — divisez-la par deux pour un test $H_a$ unilatéral (et seulement si la pente d'échantillon pointe dans la direction affirmée par $H_a$). Utilisez $df = n - 2$, et lisez $t = b/SE_b$ dans la sortie plutôt que de recalculer. Comme toujours, "ne pas rejeter" signifie des preuves insuffisantes, pas la preuve d'absence de relation.
Output: $b = 4.2$, $SE_b = 1.0$; two-sided p-value $= 0.001$; $H_a: \beta > 0$, $\alpha = 0.05$.
- $t = \dfrac{4.2}{1.0} = 4.2$ ($df = n-2$).
- One-sided p-value: $0.001 / 2 = 0.0005$ ($b > 0$ matches $H_a$).
- Decide: $0.0005 \le 0.05$ → reject $H_0$; convincing evidence of a positive linear relationship.
Sortie : $b = 4.2$, $SE_b = 1.0$ ; p-valeur bidirectionnelle $= 0.001$ ; $H_a: \beta > 0$, $\alpha = 0.05$.
- $t = \dfrac{4.2}{1.0} = 4.2$ ($df = n-2$).
- p-valeur unilatérale : $0.001 / 2 = 0.0005$ ($b > 0$ correspond à $H_a$).
- Décider : $0.0005 \le 0.05$ → rejeter $H_0$ ; preuve convaincante d'une relation linéaire positive.
Compute the slope $t = \frac{b}{SE_b}$ from the output, find the p-value at $df = n - 2$ (halve the two-sided output value for a one-sided $H_a$), and compare to $\alpha$: reject $H_0$ if p $\le \alpha$ (a linear relationship exists), else fail to reject — stated in context.
Calculez la pente $t = \frac{b}{SE_b}$ depuis la sortie, trouvez la p-valeur à $df = n - 2$ (divisez par deux la valeur bidirectionnelle de la sortie pour un test unilatéral $H_a$), et comparez à $\alpha$ : rejeter $H_0$ si p $\le \alpha$ (une relation linéaire existe), sinon ne pas rejeter — exprimé dans le contexte.
Testing the fitted slope against zero · Tester la pente ajustée contre zéro
t = b/SE_b measures how far the slope sits from 0. · t = b/SE_b mesure à quelle distance la pente se trouve de 0.
b = 4.2, SE_b = 1.0. Compute the slope test statistic t = b/SE_b. · b = 4.2, SE_b = 1.0. Calculez la statistique de test t pour la pente : t = b/SE_b.
4.2 / 1.0 = 4.2.
A two-sided output p-value is 0.001. For a one-sided Ha (with b in the claimed direction), what is the p-value? · Une valeur p à deux sens est 0.001. Pour une hypothèse alternative Ha unilatérale (avec b dans la direction indiquée), quelle est la valeur p ?
Halve the two-sided value: 0.001 / 2 = 0.0005. · Divisez la valeur à double sens par deux : 0.001 / 2 = 0.0005.
With a p-value of 0.0005 and α = 0.05, the decision is... · Avec une valeur p de 0.0005 et α = 0.05, la décision est...
0.0005 ≤ 0.05 → reject H0. · 0.0005 ≤ 0.05 → rejeter H0.
Computer regression output reports a two-sided p-value by default. · La sortie de régression informatique rapporte par défaut une valeur p bilatérale.
Halve it for a one-sided alternative. · La diviser par deux pour une alternative unilatérale.
Rejecting H0: β = 0 lets you conclude... · Rejeter H0 : β = 0 vous permet de conclure...
Reject the flat-line null → a real linear relationship. · Rejeter l'hypothèse nulle de ligne horizontale → une véritable relation linéaire.