Mean and SD of Random Variables · Moyenne et Écart-Type des Variables Aléatoires
| English | Français |
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| expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/ | valeur attendue |
| variance/ˈveərɪəns/ | écart |
The long-run average
- The mean (or expected value 期望值) of a random variable is its long-run average outcome.
- Written $\mu_X$ or $E(X)$ — the balance point of the distribution.
- It's a weighted average: each value weighted by its probability.
- Over many repetitions, the average result closes in on $\mu_X$.
La moyenne à long terme
- La moyenne (ou espérance mathématique 期望值) d'une variable aléatoire est son résultat moyen à long terme.
- Écrit $\mu_X$ ou $E(X)$ — le point d'équilibre de la distribution.
- C'est une moyenne pondérée : chaque valeur pondérée par sa probabilité.
- Sur de nombreuses répétitions, la moyenne résultante converge vers $\mu_X$.
Computing the mean
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- Multiply each value by its probability, then add them all up.
- The mean need not be a possible value (a "family of $2.5$ kids").
- It's an average, not a prediction of any single trial.
Calculer la moyenne
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- Multiplier chaque valeur par sa probabilité, puis tout additionner.
- La moyenne n'a pas besoin d'être une valeur possible (une « famille d'enfants $2.5$ »).
- C'est une moyenne, pas une prédiction d'un essai unique.
Variance and standard deviation
- The variance 方差 $\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ — the probability-weighted average squared distance from the mean.
- The standard deviation $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ brings it back to the original units.
- Bigger $\sigma_X$ = outcomes are more spread out around the mean.
- Square the deviations, weight by probability, sum, then square-root.
Variance et écart-type
- La variance 方差 $\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ — la distance au carré moyenne pondérée par la probabilité par rapport à la moyenne.
- L'écart-type $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ ramène aux unités originales.
- Plus grand $\sigma_X$ = les résultats sont plus dispersés autour de la moyenne.
- Carrer les écarts, pondérer par la probabilité, sommer, puis prendre la racine carrée.
Interpreting the SD
- $\sigma_X$ is the typical distance of an outcome from the mean $\mu_X$.
- Small $\sigma_X$: results cluster tightly near the expected value.
- Large $\sigma_X$: results swing widely from trial to trial.
- Together, $\mu_X$ (center) and $\sigma_X$ (spread) summarize the whole distribution.
Interpréter l'écart-type
- $\sigma_X$ est la distance typique d'un résultat par rapport à la moyenne $\mu_X$.
- Petit $\sigma_X$ : les résultats se regroupent étroitement près de la valeur attendue.
- Grand $\sigma_X$ : les résultats varient largement d'un essai à l'autre.
- Ensemble, $\mu_X$ (centre) et $\sigma_X$ (dispersion) résument toute la distribution.
The expected value is a long-run average, not a guaranteed or even possible outcome. $E(X)=2.5$ children means the average over many families, not that any family has $2.5$ kids. And compute the SD from variance: square the deviations first, weight, sum, then take the square root — don't average the raw distances.
L'espérance mathématique est une moyenne à long terme, pas un résultat garanti ou même possible. $E(X)=2.5$ enfants signifie la moyenne sur de nombreuses familles, pas qu'une famille ait $2.5$ enfants. Et calculez l'écart-type à partir de la variance : carrer d'abord les écarts, pondérer, sommer, puis prendre la racine carrée — ne faites pas la moyenne des distances brutes.
A game: win $5$ dollars with probability $0.2$, else win $0$. Let $X$ be the winnings.
- Mean: $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ dollar — the long-run average payout.
- Variance: $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$.
- SD: $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ dollars — typical distance from the $1$ average.
Un jeu : gagnez $5$ dollars avec une probabilité de $0.2$, sinon gagnez $0$. Soit $X$ les gains.
- Moyenne : $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ dollar — le paiement moyen à long terme.
- Variance : $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$.
- Écart-type : $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ dollars — distance typique par rapport à la moyenne $1$.
The mean (expected value) $\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ is the long-run average — a probability-weighted average that needn't be a possible value. The variance $\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$ and standard deviation $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ measure the typical distance of an outcome from $\mu_X$.
La moyenne (valeur attendue) $\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ est la moyenne à long terme — une moyenne pondérée par la probabilité qui n'a pas besoin d'être une valeur possible. La variance $\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$ et l'écart-type $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ mesurent la distance typique d'une issue par rapport à $\mu_X$.
Weighting values by probability · Peser les valeurs par la probabilité
The mean is the balance point of this weighted distribution. · La moyenne est le point d'équilibre de cette distribution pondérée.
X wins 5 with prob 0.2, else 0. Find the mean E(X) = 5(0.2)+0(0.8). · X gagne 5 avec une probabilité de 0.2, sinon 0. Trouver la moyenne E(X) = 5(0.2)+0(0.8).
5(0.2) + 0(0.8) = 1.
With mean 1: variance = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8). Then find the standard deviation. · Avec une moyenne de 1 : variance = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8). Puis trouver l'écart-type.
Variance = 3.2 + 0.8 = 4, so SD = √4 = 2. · Variance = 3.2 + 0.8 = 4, donc SD = √4 = 2.
The expected value of a random variable must be one of its possible values. · La valeur attendue d'une variable aléatoire doit être l'une de ses valeurs possibles.
It's a long-run average — e.g. 2.5 children — need not be attainable. · C'est une moyenne à long terme — ex. 2.5 enfants — pas nécessairement atteignable.
The standard deviation of a random variable measures... · L'écart-type d'une variable aléatoire mesure...
SD = typical spread around the mean. · SD = dispersion typique autour de la moyenne.
The mean of a random variable is also called its ___ value (one word). · La moyenne d'une variable aléatoire est aussi appelée sa ___ valeur (un mot).
Mean = expected value = long-run average. · Moyenne = valeur attendue = moyenne à long terme.