Combining Random Variables · Combinaison de Variables Aléatoires
| English | Français |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformation linéaire |
Scaling and shifting
- A linear transformation 线性变换 $aX + b$ scales by $a$ and shifts by $b$.
- Mean: $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — both scale and shift carry through.
- SD: $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — scaling stretches spread; shifting doesn't.
- Adding a constant moves the center but leaves the spread untouched.
Mise à l'échelle et translation
- Une transformation linéaire 线性变换 $aX + b$ met à l'échelle par $a$ et traduit par $b$.
- Moyenne : $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — les deux, mise à l'échelle et translation, se transmettent.
- Écart-type : $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — la mise à l'échelle étire la dispersion ; la translation ne le fait pas.
- Ajouter une constante déplace le centre mais laisse la dispersion inchangée.
Means of sums and differences
- Means always add (or subtract), no conditions needed:
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- Expected values combine linearly, whether or not the variables are independent.
- This is the easy, always-true half of the rules.
Moyennes de sommes et différences
- Les moyennes s'additionnent toujours (ou se soustraient), aucune condition requise :
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- Les espérances mathématiques se combinent linéairement, que les variables soient indépendantes ou non.
- C'est la partie facile, toujours vraie, des règles.
SD of sums and differences
- Variances add for independent variables — even for a difference:
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- Then $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- Note the $+$: you add variances even when subtracting the variables.
Écart-type de sommes et différences
- Les variances s'additionnent pour les variables indépendantes — même pour une différence :
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- Puis $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- Notez le $+$ : vous additionnez les variances même en soustrayant les variables.
Combining independent normals
- A sum or difference of independent normal random variables is also normal.
- Its mean and SD come from the rules above ($\mu$'s add/subtract; variances add).
- So you can find probabilities for the combined variable with the normal model.
- This makes many two-variable questions solvable in one clean step.
Combiner des normales indépendantes
- Une somme ou une différence de variables aléatoires normales indépendantes est également normale.
- Sa moyenne et son écart-type viennent des règles ci-dessus ($\mu$ s'additionnent/soustrait ; les variances s'additionnent).
- Vous pouvez donc trouver les probabilités pour la variable combinée avec le modèle normal.
- Cela rend de nombreuses questions à deux variables solubles en une seule étape propre.
Two traps. (1) When you subtract variables, you still add their variances ($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — never subtract variances. (2) Never add standard deviations directly ($\sigma_X+\sigma_Y$ is wrong); add the variances, then square-root. Both rules require the variables to be independent.
Deux pièges. (1) Lorsque vous soustrayez des variables, vous devez toujours additionner leurs variances ($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — ne jamais soustraire les variances. (2) N'ajoutez jamais les écarts-types directement ($\sigma_X+\sigma_Y$ est faux) ; additionnez les variances, puis prenez la racine carrée. Ces deux règles nécessitent que les variables soient indépendantes.
$X$ (mean $10$, SD $3$) and $Y$ (mean $4$, SD $4$) are independent.
- Mean of $X-Y$: $10 - 4 = 6$.
- Variance: $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (add, even for a difference).
- SD of $X-Y$: $\sqrt{25} = 5$.
$X$ (moyenne $10$, écart-type $3$) et $Y$ (moyenne $4$, écart-type $4$) sont indépendants.
- Moyenne de $X-Y$ : $10 - 4 = 6$.
- Variance : $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (additionner, même pour une différence).
- Écart-type de $X-Y$ : $\sqrt{25} = 5$.
A linear transformation: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ but $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (shifts don't affect spread). Means add/subtract always; for independent variables variances add ($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — even for a difference. A combination of independent normals is normal.
Une transformation linéaire : $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ mais $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (les décalages n'affectent pas la dispersion). Les moyennes s'additionnent/se soustraient toujours ; pour des variables indépendantes, les variances s'additionnent ($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — même pour une différence. Une combinaison de normales indépendantes est normale.
A combined normal variable · Une variable normale combinée
A sum/difference of independent normals is itself normal. · Une somme/différence de normales indépendantes est elle-même normale.
X has mean 10, Y has mean 4. Find the mean of X − Y. · X a une moyenne de 10, Y a une moyenne de 4. Trouver la moyenne de X − Y.
Means subtract: 10 − 4 = 6. · Les moyennes se soustraient : 10 − 4 = 6.
X has SD 3, Y has SD 4, independent. Find the SD of X − Y. · X a un écart-type de 3, Y a un écart-type de 4, indépendants. Trouver l'écart-type de X − Y.
Variances add: 9 + 16 = 25, so SD = √25 = 5. · Les variances s'additionnent : 9 + 16 = 25, donc SD = √25 = 5.
When subtracting two independent random variables, you subtract their variances. · Lorsque vous soustrayez deux variables aléatoires indépendantes, vous soustrayez leurs variances.
Variances ADD even for a difference — never subtract them. · Les variances S'ADDITIONNENT même pour une différence — ne jamais les soustraire.
For the transformation 2X + 5, the standard deviation becomes... · Pour la transformation 2X + 5, l'écart-type devient...
SD scales by |a| but the shift +5 doesn't affect spread. · L'écart-type est mis à l'échelle par |a| mais le décalage +5 n'affecte pas la dispersion.
To combine standard deviations of independent variables, you should add the SDs directly. · Pour combiner les écarts-types de variables indépendantes, vous devriez additionner les écarts-types directement.
Add the variances, then square-root — not the SDs. · Ajoutez les variances, puis mettez au carré — pas les écarts-types.