The Normal Distribution · La distribution normale
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| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribution normale |
| empirical rule/emˈpɪrɪkl ruːl/ | règle empirique |
| standard normal/ˈstændəd ˈnɔːml/ | loi normale standard |
The famous bell curve
- Many real variables — heights, measurement errors, test scores — follow a bell-shaped pattern.
- The normal distribution 正态分布 is the idealized bell curve, symmetric about its center.
- It's completely described by two numbers: the mean $\mu$ (center) and standard deviation $\sigma$ (spread).
- Because so much falls into this shape, the normal model is the workhorse of statistics.
La fameuse courbe en cloche
- De nombreuses variables réelles — tailles, erreurs de mesure, notes d'examen — suivent un modèle en cloche.
- La distribution normale 正态分布 est la courbe en cloche idéalisée, symétrique autour de son centre.
- Elle est entièrement décrite par deux nombres : la moyenne $\mu$ (centre) et l'écart-type $\sigma$ (dispersion).
- Comme tant de données adoptent cette forme, le modèle normal est l'outil principal des statistiques.
A normal distribution is completely described by its... · Une distribution normale est entièrement décrite par son...
Two numbers: $\mu$ (center) and $\sigma$ (spread). · Deux nombres : $\mu$ (centre) et $\sigma$ (dispersion).
The empirical rule (68–95–99.7)
- For a normal distribution, the empirical rule 经验法则 tells you how much data falls within a few SDs of the mean:
- About $68\%$ within $1$ standard deviation of the mean.
- About $95\%$ within $2$ SDs; about $99.7\%$ within $3$ SDs.
- These three numbers let you estimate proportions without a calculator.
La règle empirique (68–95–99.7)
- Pour une distribution normale, la règle empirique 经验法则 indique quelle proportion de données se trouve dans quelques écarts-types de la moyenne :
- Environ $68\%$ dans $1$ écart-type de la moyenne.
- Environ $95\%$ dans $2$ ET ; environ $99.7\%$ dans $3$ ET.
- Ces trois nombres vous permettent d'estimer des proportions sans calculatrice.
The normal bell curve · La courbe en cloche normale
Shade a normal curve by z-score — about 68% lies within 1 SD, 95% within 2, 99.7% within 3. · Hachurer une courbe normale en fonction du score z — environ 68% se situe dans un écart-type (SD) de 1, 95% dans un écart-type de 2, et 99.7% dans un écart-type de 3.
About what percent of a normal distribution lies within $1$ standard deviation of the mean? · Environ quel pourcentage d'une distribution normale se situe dans $1$ écarts-types de la moyenne ?
The empirical rule: about $68\%$. · La règle empirique : environ $68\%$.
About what percent lies within $2$ standard deviations of the mean? · Environ quel pourcentage se situe dans $2$ écarts-types de la moyenne ?
About $95\%$ within $2$ SDs. · Environ $95\%$ dans $2$ EC.
z-scores and the standard normal
- Convert any value to a $z$-score $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ — its distance from the mean in SDs.
- The standard normal 标准正态 distribution has mean $0$ and SD $1$; every normal curve becomes it after standardizing.
- Use a $z$-table (or technology) to turn a $z$-score into a proportion or percentile.
- This is how you find "what percent scored below $x$."
Scores z et normal standard
- Convertissez n'importe quelle valeur en un score-$z$ $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ — sa distance par rapport à la moyenne en écarts-types.
- La normal standard 标准正态分布 a une moyenne de $0$ et un ET de $1$ ; chaque courbe normale devient celle-ci après standardisation.
- Utilisez une table de scores-$z$ (ou la technologie) pour transformer un score-$z$ en proportion ou percentile.
- C'est ainsi que vous trouvez « quel pourcentage a obtenu moins de $x$ ».
For · Pour $\mu=170$, $\sigma=8$, find the $z$-score of $x=186$. · Pour $\mu=170$, $\sigma=8$, trouver la $z$-score de $x=186$.
$z=(186-170)/8=2$.
The standard normal distribution has mean $0$ and standard deviation ____. · La distribution normale standard a une moyenne $0$ et un écart-type ____.
Standardizing gives mean $0$, SD $1$. · La standardisation donne une moyenne $0$, un EC $1$.
Is a normal model reasonable?
- Not everything is normal — check before assuming it.
- A roughly symmetric, bell-shaped, single-peaked graph supports a normal model.
- Strong skew, multiple peaks, or heavy outliers mean a normal model is a poor fit.
- Assess the data's shape first; the empirical rule and $z$-tables only apply if it's approximately normal.
Un modèle normal est-il raisonnable ?
- Tout n'est pas normal — vérifiez avant de supposer que c'est le cas.
- Un graphique approximativement symétrique, en cloche, à un seul pic soutient un modèle normal.
- Une forte asymétrie, plusieurs pics ou des valeurs aberrantes importantes indiquent qu'un modèle normal est un mauvais ajustement.
- Évaluez d'abord la forme des données ; la règle empirique et les tables de scores-$z$ ne s'appliquent que si elle est approximativement normale.
A normal model is a poor fit when the data are... · Un modèle normal est un mauvais ajustement lorsque les données sont...
Skew or multiple peaks break the normal assumption. · L'asymétrie ou les pics multiples contredisent l'hypothèse de normalité.
The empirical rule and $z$-table proportions apply only to (approximately) normal distributions — don't use them on strongly skewed data. And the empirical rule is 68–95–99.7 (for $1$, $2$, $3$ SDs), in that order; mixing up the percentages is a common slip. Always standardize with $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ before reading a table.
La règle empirique et les proportions de la table $z$ s'appliquent uniquement aux distributions (approximativement) normales — ne les utilisez pas sur des données fortement asymétriques. Et la règle empirique est 68–95–99.7 (pour $1$, $2$, $3$ écarts-types), dans cet ordre ; confondre les pourcentages est une erreur fréquente. Standardisez toujours avec $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ avant de consulter un tableau.
Heights are normal with $\mu=170$ cm, $\sigma=8$ cm. What percent are between $162$ and $178$ cm?
- $162=170-8$ and $178=170+8$ — exactly $1$ SD below and above the mean.
- By the empirical rule, about $68\%$ of heights fall within $1$ SD.
- So roughly $68\%$ are between $162$ and $178$ cm.
Les tailles sont normales avec une moyenne de $\mu=170$ cm et un ET de $\sigma=8$ cm. Quel pourcentage mesurent entre $162$ et $178$ cm ?
- $162=170-8$ et $178=170+8$ correspondent exactement à $1$ ET en dessous et au-dessus de la moyenne.
- Par la règle empirique, environ $68\%$ des tailles tombent dans $1$ ET.
- Donc environ $68\%$ sont comprises entre $162$ et $178$ cm.
The normal distribution is a symmetric bell curve set by its mean $\mu$ and standard deviation $\sigma$. The empirical rule (68–95–99.7) gives proportions within $1$/$2$/$3$ SDs. Standardize with a $z$-score $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ and use the standard normal for exact proportions — but only when a normal model reasonably fits the data.
La distribution normale est une courbe en cloche symétrique définie par sa moyenne $\mu$ et son écart type $\sigma$. La règle empirique (68–95–99.7) donne les proportions dans $1$/$2$/$3$ écarts-types. Standardisez avec un score-$z$ $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ et utilisez la normale standard pour obtenir des proportions exactes — mais uniquement lorsqu'un modèle normal s'ajuste raisonnablement aux données.