The Inverse and Determinant of a Matrix · L'Inverse et le Déterminant d'une Matrice
| English | Français |
|---|---|
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | matrice inverse |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | déterminant |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | matrice identité |
| not invertible/nɒt ɪnˈvɜːtɪbl/ | non inversible |
Undoing a matrix
- Multiplying by a matrix transforms space — but can you undo it?
- For ordinary numbers, dividing by $5$ undoes multiplying by $5$.
- Matrices have their own "reverse" — the inverse matrix.
- First we need one number that decides whether a reverse even exists: the determinant.
Annuler une matrice
- Multiplier par une matrice transforme l'espace — mais pouvez-vous l'annuler ?
- Pour les nombres ordinaires, diviser par $5$ annule la multiplication par $5$.
- Les matrices ont leur propre « inverse » — la matrice inverse.
- D'abord, nous avons besoin d'un nombre qui décide si un inverse existe même : le déterminant.
The determinant
- The determinant 行列式 of $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ is the single number $ad - bc$.
- Geometrically, its size is the area of the parallelogram the columns span.
- A large determinant means the matrix stretches area a lot; a small one, very little.
- A determinant of zero means the columns line up — the parallelogram is flat.
Le déterminant
- Le déterminant 行列式 de $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ est le nombre unique $ad - bc$.
- Géométriquement, sa taille est l'aire du parallélogramme que forment les colonnes.
- Un grand déterminant signifie que la matrice étire beaucoup l'aire ; un petit, très peu.
- Un déterminant de zéro signifie que les colonnes sont alignées — le parallélogramme est plat.
For · Pour $\begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$, the determinant is $3\cdot2 - 1\cdot1$. What is it? · Pour $\begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$, le déterminant est $3\cdot2 - 1\cdot1$. Lequel est-il ?
The · Le determinant of $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ is $ad - bc = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$. · Le déterminant de $\begin{bmatrix}a&b;\\c&d;\end{bmatrix}$ est $ad - bc = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$.
Geometrically, the size of a 2 × 2 determinant tells you… · Géométriquement, la taille d'un déterminant 2 × 2 vous dit…
The absolute value of the determinant is the area · aire scaled by the matrix — zero area means the columns are parallel. · La valeur absolue du déterminant est l'aire mise à l'échelle par la matrice — une aire nulle signifie que les colonnes sont parallèles.
The inverse
- The inverse matrix 逆矩阵 $A^{-1}$ is the matrix that undoes $A$.
- Multiplying them gives the identity matrix 单位矩阵 $I$ — the matrix version of $1$: $A A^{-1} = I$.
- For a $2\times2$ matrix, $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a;\end{bmatrix}$.
- Notice the determinant $ad - bc$ sitting in the denominator.
L'inverse
- La matrice inverse 逆矩阵 $A^{-1}$ est la matrice qui annule $A$.
- Les multiplier donne la matrice identité 单位矩阵 $I$ — la version matricielle de $1$ : $A A^{-1} = I$.
- Pour une matrice $2\times2$, $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a;\end{bmatrix}$.
- Remarquez le déterminant $ad - bc$ situé au dénominateur.
Multiplying a matrix by its inverse gives the identity matrix. · Multiplier une matrice par son inverse donne la matrice identité.
By definition $A A^{-1} = I$, the identity matrix — the matrix version of the number $1$. · Par définition $A A^{-1} = I$, la matrice identité — la version matricielle du nombre $1$.
When an inverse exists
- You cannot divide by $ad - bc$ if it is zero — so a zero determinant means no inverse.
- Such a matrix is not invertible 不可逆的: it squashes the plane onto a line and loses information.
- A non-zero determinant guarantees a unique inverse.
- So the determinant is the quick test: non-zero $\Rightarrow$ invertible.
Quand un inverse existe
- Vous ne pouvez pas diviser par $ad - bc$ si celui-ci est zéro — donc un déterminant nul signifie aucun inverse.
- Une telle matrice est non inversible 不可逆的 : elle écrase le plan sur une ligne et perd de l'information.
- Un déterminant non nul garantit une inverse unique.
- Donc le déterminant est le test rapide : non zéro $\Rightarrow$ inversible.
The determinant is an area factor · Le déterminant est un facteur d'aire
The determinant tells you how much a matrix scales area; here it scales area by four. · Le déterminant vous indique de combien une matrice met à l'échelle l'aire ; ici, elle met à l'échelle l'aire par quatre.
A 2 × 2 matrix has an inverse exactly when its determinant is… · Une matrice 2 × 2 a un inverse exactement lorsque son déterminant est…
If $\det = 0$ the columns are parallel and no inverse exists — the matrix is not invertible. · Si $\det = 0$ les colonnes sont parallèles et qu'aucun inverse n'existe — la matrice n'est pas inversible.
Select all · tout true statements. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies.
Only matrices with a non-zero determinant are invertible, so not every matrix has an inverse. · Seules les matrices avec un déterminant non nul sont inversibles, donc pas toute matrice a un inverse.
Why it matters
- An inverse solves a matrix equation $A\vec{x} = \vec{b}$ in one step: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$.
- That is exactly how a system of linear equations is solved with matrices.
- The determinant also tells you when a system has no unique solution (det $= 0$).
- These ideas power computer graphics, cryptography, and data science.
Pourquoi c'est important
- Une inverse résout une équation matricielle $A\vec{x} = \vec{b}$ en une étape : $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$.
- C'est exactement comment un système d'équations linéaires est résolu avec des matrices.
- Le déterminant indique aussi quand un système n'a pas de solution unique (det $= 0$).
- Ces idées alimentent la graphics par ordinateur, la cryptographie et la science des données.
A matrix has an inverse only when its determinant is non-zero. If $ad - bc = 0$, the formula divides by zero — there is no inverse, and a system $A\vec{x} = \vec{b}$ has either no solution or infinitely many. Always check the determinant first.
Une matrice a une inverse seulement lorsque son déterminant est non nul. Si $ad - bc = 0$, la formule divise par zéro — il n'y a pas d'inverse, et un système $A\vec{x} = \vec{b}$ n'a soit aucune solution, soit une infinité. Vérifiez toujours le déterminant en premier.
Invert $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$.
- Determinant: $3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ (non-zero, so an inverse exists).
- Swap the diagonal, negate the off-diagonal, divide by $5$:
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 3\end{bmatrix}.$$
- Check: $A A^{-1} = I$. ✓
Inverser $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$.
- Déterminant : $3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ (non zéro, donc une inverse existe).
- Échangez la diagonale, négatif hors-diagonale, divisez par $5$ :
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 3\end{bmatrix}.$$
- Vérifions : $A A^{-1} = I$. ✓
The determinant $ad - bc$ is one number measuring the area a matrix scales. The inverse $A^{-1}$ undoes the matrix, with $A A^{-1} = I$ (the identity matrix). An inverse exists only when the determinant is non-zero; a zero determinant means the matrix is not invertible.
Le déterminant $ad - bc$ est un nombre mesurant l'aire qu'une matrice met à l'échelle. L'inverse $A^{-1}$ annule la matrice, avec $A A^{-1} = I$ (la matrice identité). Une inverse existe seulement lorsque le déterminant est non nul ; un déterminant nul signifie que la matrice est non inversible.