Linear Transformations and Matrices · Transformations Linéaires et Matrices
| English | Français |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformation linéaire |
| unit square/ˈjuːnɪt skweə/ | carré unité |
| shear/ʃɪə/ | cisaillement |
A matrix moves points
- A matrix does more than store numbers — it can move every point of the plane.
- Feed it a vector, and it hands back a new, transformed vector.
- Squares can become slanted; grids can stretch or rotate.
- This turns a matrix into a machine for reshaping space.
Une matrice déplace des points
- Une matrice fait plus que stocker des nombres — elle peut déplacer chaque point du plan.
- Donnez-lui un vecteur, et elle renvoie un nouveau vecteur transformé.
- Des carrés peuvent devenir obliques ; des grilles peuvent s'étirer ou tourner.
- Cela transforme une matrice en machine pour redessiner l'espace.
What a linear transformation is
- A linear transformation 线性变换 is a function that maps every vector to a new vector.
- It keeps the origin fixed and keeps grid lines straight and evenly spaced.
- No curving, no tearing — parallel lines stay parallel.
- Every linear transformation of the plane can be written as multiplication by a matrix.
Qu'est-ce qu'une transformation linéaire
- Une transformation linéaire 线性变换 est une fonction qui mappe chaque vecteur vers un nouveau vecteur.
- Elle garde l'origine fixe et garde les lignes de grille droites et régulièrement espacées.
- Pas de courbure, pas de déchirure — les lignes parallèles restent parallèles.
- Toute transformation linéaire du plan peut s'écrire comme une multiplication par une matrice.
A linear transformation of the plane always… · Une transformation linéaire du plan toujours…
A linear transformation keeps the origin fixed and maps straight, evenly-spaced grid lines to straight, evenly-spaced lines. · Une transformation linéaire conserve l'origine fixe et transforme des lignes de grille droites, régulièrement espacées, en lignes droites, régulièrement espacées.
The columns say where the axes go
- Column 1 shows where the vector $\langle 1, 0\rangle$ lands; column 2, where $\langle 0, 1\rangle$ lands.
- Knowing those two images tells you where every point goes.
- To transform a vector, multiply the matrix by it (row-by-column).
- The unit square 单位正方形 becomes a parallelogram — its shape reveals the transformation.
Les colonnes disent où vont les axes
- La colonne 1 montre où le vecteur $\langle 1, 0\rangle$ atterrit ; la colonne 2, où $\langle 0, 1\rangle$ atterrit.
- Connaître ces deux images vous dit où va tout point.
- Pour transformer un vecteur, multipliez la matrice par lui (ligne par colonne).
- Le carré unité 单位正方形 devient un parallélogramme — sa forme révèle la transformation.
The columns of the matrix tell you where the two basis ____ land. · Les colonnes de la matrice vous indiquent où atterrissent les deux ____ de base.
Column 1 is where $\langle1,0\rangle$ lands and column 2 is where $\langle0,1\rangle$ lands — that fully describes the transformation. · La colonne 1 est là où $\langle1,0\rangle$ atterrit et la colonne 2 est là où $\langle0,1\rangle$ atterrit — cela décrit entièrement la transformation.
The matrix $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ sends $\langle1,1\rangle$ to · à $\langle 2\cdot1+1\cdot1,\ 1\rangle$. What is the new $x$? · La matrice $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ envoie $\langle1,1\rangle$ vers $\langle 2\cdot1+1\cdot1,\ 1\rangle$. Quelle est la nouvelle $x$ ?
Row 1 dotted with $\langle1,1\rangle$: $2\cdot1 + 1\cdot1 = 3$, so the image is $\langle3, 1\rangle$. · Ligne 1 pointée avec $\langle1,1\rangle$ : $2\cdot1 + 1\cdot1 = 3$, donc l'image est $\langle3, 1\rangle$.
Familiar transformations
- Scaling: a diagonal matrix stretches or shrinks along the axes.
- Rotation: a special matrix spins the plane around the origin.
- Shear 错切: slides one direction while holding the other — like italic text.
- Reflection: flips the plane across a line.
Transformations familières
- Mise à l'échelle : une matrice diagonale étire ou rétrécit le long des axes.
- Rotation : une matrice spéciale fait tourner le plan autour de l'origine.
- Cisaillement 错切 : glisse dans une direction tout en maintenant l'autre — comme du texte en italique.
- Réflexion : renverse le plan le long d'une ligne.
Linear transformations as matrices · Transformations linéaires sous forme de matrices
A rotation is a linear transformation; this matrix turns the plane a quarter turn. · Une rotation est une transformation linéaire ; cette matrice fait tourner le plan d'un quart de tour.
Doing one linear transformation after another corresponds to multiplying their matrices. · Effectuer une transformation linéaire après une autre correspond à multiplier leurs matrices.
Composition of transformations is matrix multiplication — that is why the product order matters. · La composition des transformations est la multiplication matricielle — c'est pourquoi l'ordre du produit compte.
Select all · tout true statements about linear transformations. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant les transformations linéaires.
Linear transformations keep lines straight — they never curve the grid. · Les transformations linéaires gardent les lignes droites — elles ne courbent jamais la grille.
Combining transformations
- Do one transformation, then another: the result is a single new transformation.
- Its matrix is the product of the two matrices.
- Because matrix products depend on order, "rotate then shear" differs from "shear then rotate".
- This is why computer graphics stack transformations by multiplying matrices.
Combiner les transformations
- Effectuer une transformation, puis une autre : le résultat est une seule nouvelle transformation.
- Sa matrice est le produit des deux matrices.
- Comme les produits de matrices dépendent de l'ordre, « tourner puis ciseler » diffère de « ciseler puis tourner ».
- C'est pourquoi la graphique par ordinateur empile les transformations en multipliant les matrices.
The order of combined transformations matters. Applying $A$ then $B$ is the matrix product $BA$ — the second transformation's matrix goes on the left. Swapping the order usually gives a different result, just as $BA \ne AB$ for matrices.
L'ordre des transformations combinées est important. Appliquer $A$ puis $B$ correspond au produit matriciel $BA$ — la matrice de la deuxième transformation se place à gauche. Inverser l'ordre donne généralement un résultat différent, tout comme pour les matrices $BA \ne AB$.
Apply $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ to the corners of the unit square.
- $\langle1,0\rangle \to \langle2,0\rangle$ — the bottom edge doubles in length.
- $\langle0,1\rangle \to \langle1,1\rangle$ — the top slides right (a shear).
- The square becomes a slanted parallelogram, exactly as the figure shows.
Appliquer $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ aux coins du carré unité.
- $\langle1,0\rangle \to \langle2,0\rangle$ — le bord inférieur double de longueur.
- $\langle0,1\rangle \to \langle1,1\rangle$ — le sommet glisse vers la droite (un cisaillement).
- Le carré devient un parallélograme incliné, exactement comme le montre la figure.
A linear transformation maps every vector to a new one, keeping the origin fixed and grid lines straight — and every one is multiplication by a matrix. The matrix's columns are where the axes land, so it turns the unit square into a parallelogram. Combining transformations means multiplying matrices, and order matters.
Une transformation linéaire envoie chaque vecteur vers un nouveau vecteur, gardant l'origine fixe et les lignes de grille droites — et toute transformation est une multiplication par une matrice. Les colonnes de la matrice indiquent où atterrissent les axes, ce qui transforme le carré unité en parallélograme. Combiner des transformations signifie multiplier les matrices, et l'ordre est crucial.