Vector-Valued Functions · Fonctions vectorielles
| English | Français |
|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | fonction vectorielle |
| vector/ˈvektə/ | vecteur |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | paramètre |
A function that outputs an arrow
- Ordinary functions output a number; parametric ones output a pair of coordinates.
- A vector-valued function packages that pair into a single vector.
- Think of it as an arrow from the origin whose tip moves as time passes.
- It is the natural language for describing position, velocity, and motion in the plane.
Une fonction qui produit une flèche
- Les fonctions ordinaires produisent un nombre ; les paramétriques produisent une paire de coordonnées.
- Une fonction vectorielle regroupe cette paire dans un seul vecteur.
- Pensez-y comme une flèche partant de l'origine dont l'extrémité se déplace avec le temps.
- C'est le langage naturel pour décrire la position, la vitesse et le mouvement dans le plan.
What it outputs
- A vector-valued function 向量值函数 $\vec{r}(t)$ returns a vector 向量 for each input $t$.
- Usually that vector is a position: $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$.
- The parameter 参数 $t$ (often time) drives the arrow to a new spot.
- So one input gives one arrow, pointing from the origin to the current location.
Ce qu'elle produit
- Une fonction vectorielle 向量值函数 $\vec{r}(t)$ retourne un vecteur 向量 pour chaque entrée $t$.
- Habituellement, ce vecteur est une position : $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$.
- Le paramètre 参数 $t$ (souvent le temps) pousse la flèche vers une nouvelle position.
- Ainsi, une seule entrée donne une seule flèche, pointant de l'origine vers l'emplacement actuel.
A vector-valued function $\vec{r}(t)$ outputs, for each $t$, a… · Une fonction vectorielle $\vec{r}(t)$ produit, pour chaque $t$, un…
A vector-valued function returns a vector for each input — often the position $\langle x(t), y(t)\rangle$. · Une fonction vectorielle retourne un vecteur pour chaque entrée — souvent la position $\langle x(t), y(t)\rangle$.
The tip traces the path
- Hold the tail at the origin and let $t$ increase.
- The arrow's tip moves, and the trail it leaves is the curve.
- That curve is exactly the parametric path from earlier lessons.
- So a vector-valued function and a parametric function are two views of one idea.
L'extrémité trace la trajectoire
- Maintenez la queue à l'origine et laissez $t$ augmenter.
- L'extrémité de la flèche bouge, et la trace laissée est la courbe.
- Cette courbe correspond exactement au chemin paramétrique des leçons précédentes.
- Donc une fonction vectorielle et une fonction paramétrique sont deux vues d'une même idée.
A vector-valued function $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ is closely related to a parametric function. · Une fonction vectorielle $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ est étroitement liée à une fonction paramétrique.
They are two views of the same idea: the components $x(t), y(t)$ are exactly the parametric equations. · Ce sont deux vues de la même idée : les composantes $x(t), y(t)$ sont exactement les équations paramétriques.
As the parameter $t$ changes, the ____ of the position vector traces the curve. · Lorsque le paramètre $t$ change, la ____ du vecteur position trace la courbe.
The vector starts at the origin; its arrow tip · pointe marks the current point on the path. · Le vecteur part de l'origine ; sa pointe marque le point courant sur la trajectoire.
For · Pour $\vec{r}(t) = \langle 2t,\ t^2\rangle$, what is the $y$-component at $t = 3$? · Pour $\vec{r}(t) = \langle 2t,\ t^2\rangle$, quelle est la composante $y$ à $t = 3$ ?
The · Le $y$-component is $t^2 = 3^2 = 9$; the $x$-component is $2t = 6$, so $\vec{r}(3) = \langle 6, 9\rangle$. · La composante $y$ est $t^2 = 3^2 = 9$ ; la composante $x$ est $2t = 6$, donc $\vec{r}(3) = \langle 6, 9\rangle$.
Select all · tout true statements about vector-valued functions. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant les fonctions vectorielles.
They output a vector, not a single number. The other three are correct. · Elles produisent un vecteur, pas un nombre unique. Les trois autres sont corrects.
Evaluating and combining
- Evaluate $\vec{r}(t)$ by plugging $t$ into each component.
- $\vec{r}(3) = \langle 2\cdot 3,\ 3^2\rangle = \langle 6, 9\rangle$ for $\vec{r}(t) = \langle 2t, t^2\rangle$.
- The rate of change of $\vec{r}(t)$ is the velocity vector — components $\langle x'(t), y'(t)\rangle$.
- Add two vector-valued functions by adding their components.
Évaluation et combinaison
- Évaluez $\vec{r}(t)$ en insérant $t$ dans chaque composante.
- $\vec{r}(3) = \langle 2\cdot 3,\ 3^2\rangle = \langle 6, 9\rangle$ pour $\vec{r}(t) = \langle 2t, t^2\rangle$.
- Le taux de variation de $\vec{r}(t)$ est le vecteur vitesse — composantes $\langle x'(t), y'(t)\rangle$.
- Additionnez deux fonctions vectorielles en additionnant leurs composantes.
Vector-valued functions · Fonctions vectorielles
A vector-valued function outputs a vector; add the component vectors to get the resultant. · Une fonction vectorielle produit un vecteur ; additionnez les vecteurs composantes pour obtenir le résultat.
Why the vector view helps
- Writing motion as one vector keeps position, velocity, and direction together.
- It generalises cleanly to three dimensions, where you add a $z(t)$ component.
- Physics and computer graphics describe moving objects exactly this way.
- The single-arrow picture makes combined motions easy to reason about.
Pourquoi la vue vectorielle aide
- Écrire le mouvement comme un seul vecteur garde la position, la vitesse et la direction ensemble.
- Cela généralise proprement aux trois dimensions, où vous ajoutez une composante $z(t)$.
- La physique et la graphics par ordinateur décrivent les objets en mouvement exactement ainsi.
- L'image à une seule flèche rend les mouvements combinés faciles à raisonner.
A vector-valued function outputs a vector, not a number. Do not treat $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ as a single value — it always carries two components (a direction and a size), and both change with $t$.
Une fonction vectorielle produit un vecteur, pas un nombre. Ne traitez pas $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ comme une valeur unique — il porte toujours deux composantes (une direction et une taille), et les deux changent avec $t$.
A particle moves as $\vec{r}(t) = \langle t,\ t^2\rangle$.
- At $t = 0$: $\vec{r} = \langle 0, 0\rangle$ — it starts at the origin.
- At $t = 2$: $\vec{r} = \langle 2, 4\rangle$ — up and to the right.
- Its tip traces the parabola $y = x^2$ as $t$ increases.
Une particule se déplace selon $\vec{r}(t) = \langle t,\ t^2\rangle$.
- À $t = 0$ : $\vec{r} = \langle 0, 0\rangle$ — elle commence à l'origine.
- À $t = 2$ : $\vec{r} = \langle 2, 4\rangle$ — vers le haut et la droite.
- Son extrémité trace la parabole $y = x^2$ alors que $t$ augmente.
A vector-valued function $\vec{r}(t)$ outputs a vector for each parameter value — usually the position $\langle x(t), y(t)\rangle$. Its tip traces a path as $t$ changes, so it is the vector view of a parametric function. Evaluate it component by component.
Une fonction vectorielle $\vec{r}(t)$ produit un vecteur pour chaque valeur de paramètre — généralement la position $\langle x(t), y(t)\rangle$. Son extrémité trace un chemin lorsque $t$ change, c'est donc la vue vectorielle d'une fonction paramétrique. Évaluez-la composante par composante.