Vectors · Vecteurs
| English | Français |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | vecteur |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | grandeur |
| scalar/ˈskeɪlə/ | scalaire |
| component form/kəmˈpəʊnənt fɔːm/ | forme composante |
Size and direction together
- "Drive $5$ km" is incomplete — you need to know which way.
- Many quantities are like this: velocity, force, displacement all carry a direction.
- A single number cannot capture both how much and which way.
- We need a new object — the vector — drawn as an arrow.
Taille et direction ensemble
- "Conduire $5$ km" est incomplet — il faut savoir dans quelle direction.
- Beaucoup de quantités sont ainsi : vitesse, force, déplacement portent tous une direction.
- Un nombre unique ne peut capturer ni combien ni dans quel sens.
- Nous avons besoin d'un nouvel objet — le vecteur — dessiné comme une flèche.
What a vector is
- A vector 向量 has two pieces of information: a magnitude 大小 (length) and a direction.
- It is drawn as an arrow: the length is the magnitude, the way it points is the direction.
- Contrast a scalar 标量 — a plain number with size only, like temperature or mass.
- Velocity is a vector; speed (just the number) is a scalar.
Ce qu'est un vecteur
- Un vecteur 向量 a deux informations : une magnitude 大小 (longueur) et une direction.
- Il est dessiné comme une flèche : la longueur est la magnitude, la façon dont il pointe est la direction.
- Contrastez avec un scalaire 标量 — un simple nombre avec seulement la taille, comme la température ou la masse.
- La vitesse est un vecteur ; la vitesse (juste le nombre) est un scalaire.
A vector is a quantity with… · Un vecteur est une quantité qui…
A vector carries both size and direction, unlike a scalar (a plain number with size only). · Un vecteur porte à la fois une taille et une direction, contrairement à un scalaire (un simple nombre ayant uniquement une taille).
Component form
- Break a vector into how far it goes across and up: its component form 分量形式.
- $\langle 3, 2\rangle$ means $3$ to the right and $2$ up.
- The horizontal and vertical components are like the legs of a right triangle.
- Adding vectors is as easy as adding their components separately.
Forme componentielle
- Décomposez un vecteur en combien il va horizontalement et verticalement : sa forme componentielle 分量形式.
- $\langle 3, 2\rangle$ signifie $3$ vers la droite et $2$ vers le haut.
- Les composantes horizontale et verticale ressemblent aux côtés d'un triangle rectangle.
- Ajouter des vecteurs est aussi facile qu'ajouter leurs composantes séparément.
Add two vectors tip to tail · Ajouter deux vecteurs bout à bout
Drag the two vectors and watch their sum. A vector has both a direction and a magnitude, unlike a plain number. · Glissez les deux vecteurs et observez leur somme. Un vecteur possède à la fois une direction et une magnitude, contrairement à un simple nombre.
The · Le component form $\langle 3, 2\rangle$ means the vector goes… · La forme componentielle $\langle 3, 2\rangle$ signifie que le vecteur va…
Component form lists the horizontal change then the vertical change: $\langle 3, 2\rangle$ is 3 right, 2 up. · La forme componentielle liste le changement horizontal puis le changement vertical : $\langle 3, 2\rangle$ est 3 à droite, 2 en haut.
What is the magnitude of the vector $\langle 3, 4\rangle$? · Quelle est la magnitude du vecteur $\langle 3, 4\rangle$ ?
Magnitude · Grandeur $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ — the length of the arrow, by the Pythagorean theorem. · Magnitude $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ — la longueur de la flèche, par le théorème de Pythagore.
Select all · tout true statements about vectors. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant les vecteurs.
A single number is a scalar, not a vector. The other three are correct. · Un seul nombre est un scalaire, pas un vecteur. Les trois autres sont corrects.
Finding the magnitude
- The magnitude is the arrow's length, found by the Pythagorean theorem.
- For $\langle a, b\rangle$, the magnitude is $\sqrt{a^2 + b^2}$.
- So $\langle 3, 4\rangle$ has magnitude $\sqrt{9 + 16} = 5$.
- The components are the legs; the magnitude is the hypotenuse.
Trouver la magnitude
- La magnitude est la longueur de la flèche, trouvée par le théorème de Pythagore.
- Pour $\langle a, b\rangle$, la magnitude est $\sqrt{a^2 + b^2}$.
- Donc $\langle 3, 4\rangle$ a magnitude $\sqrt{9 + 16} = 5$.
- Les composantes sont les côtés ; la magnitude est l'hypoténuse.
Multiplying a vector by the scalar $2$ doubles its length but keeps its direction. · Multiplier un vecteur par le scalaire $2$ double sa longueur tout en conservant sa direction.
A positive scalar scales the magnitude and leaves the direction unchanged; a negative one also reverses it. · Un scalaire positif met à l'échelle la magnitude et laisse la direction inchangée ; un scalaire négatif inverse également la direction.
Scaling and adding
- Multiply a vector by a scalar to stretch or shrink it: $2\langle 3, 2\rangle = \langle 6, 4\rangle$.
- A negative scalar also flips its direction.
- Add two vectors by adding components, or geometrically tip-to-tail.
- These operations let vectors model combined forces and motions.
Mise à l'échelle et addition
- Multipliez un vecteur par un scalaire pour l'étirer ou le réduire : $2\langle 3, 2\rangle = \langle 6, 4\rangle$.
- Un scalaire négatif inverse aussi sa direction.
- Ajoutez deux vecteurs en ajoutant les composantes, ou géométriquement bout à bout.
- Ces opérations permettent aux vecteurs de modéliser des forces et mouvements combinés.
Do not confuse a vector's magnitude with its components. The vector $\langle 3, 4\rangle$ has components $3$ and $4$, but magnitude $5$ — not $7$. The length is the hypotenuse, never the sum of the parts.
Ne confondez pas la magnitude d'un vecteur avec ses composantes. Le vecteur $\langle 3, 4\rangle$ a des composantes $3$ et $4$, mais magnitude $5$ — pas $7$. La longueur est l'hypoténuse, jamais la somme des parties.
A boat heads $\langle 6, 8\rangle$ (km east, km north). How far has it travelled?
- The distance is the magnitude: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ km.
- Its direction is up-and-to-the-right, steeper than $45°$ (more north than east).
- Doubling the vector to $\langle 12, 16\rangle$ would double the distance to $20$ km.
Un bateau vire au $\langle 6, 8\rangle$ (km à l'est, km au nord). Combien a-t-il voyagé ?
- La distance est la magnitude : $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ km.
- Sa direction est vers le haut et la droite, plus raide que $45°$ (plus au nord qu'à l'est).
- Doubler le vecteur jusqu'à $\langle 12, 16\rangle$ doublerait la distance à $20$ km.
A vector carries both magnitude and direction, drawn as an arrow — unlike a scalar (a plain number). Its component form $\langle a, b\rangle$ lists horizontal and vertical parts, and its magnitude is $\sqrt{a^2 + b^2}$. Scale by multiplying, add by combining components.
Un vecteur possède à la fois une magnitude et une direction, représenté par une flèche — contrairement à un scalaire (un simple nombre). Sa forme composante $\langle a, b\rangle$ liste les parties horizontales et verticales, et sa magnitude est $\sqrt{a^2 + b^2}$. Mettez à l'échelle en multipliant, ajoutez en combinant les composantes.