Parametric Circles and Lines · Cercles et lignes paramétriques
| English | Français |
|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | paramètre |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | équations paramétriques |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | cercle unité |
Drawing circles the easy way
- A circle is impossible to write as a single $y = f(x)$ — it fails the vertical-line test.
- But with a parameter, it becomes beautifully simple: an angle sweeping around.
- Lines, too, get a clean parametric form built from a starting point and a direction.
- These two shapes are the workhorses of parametric geometry.
Tracer des cercles facilement
- Un cercle est impossible à écrire comme une seule $y = f(x)$ — il échoue au test de la ligne verticale.
- Mais avec un paramètre, il devient magnifiquement simple : un angle balayant autour.
- Les droites aussi obtiennent une forme paramétrique propre construite à partir d'un point de départ et d'une direction.
- Ces deux formes sont les piliers de la géométrie paramétrique.
A line, parametrically
- Start at a point $(x_0, y_0)$ and move a fixed step each unit of $t$.
- The parametric equations 参数方程 are $x = x_0 + at$ and $y = y_0 + bt$.
- Here $(a, b)$ is the direction, and $t$ is the parameter 参数 that carries you along.
- As $t$ runs over all reals, the point traces the full straight line.
Une droite, paramétriquement
- Commencer à un point $(x_0, y_0)$ et se déplacer d'un pas fixe à chaque unité de $t$.
- Les équations paramétriques 参数方程 sont $x = x_0 + at$ et $y = y_0 + bt$.
- Ici $(a, b)$ est la direction, et $t$ est le paramètre 参数 qui vous transporte le long.
- Quand $t$ parcourt tous les réels, le point trace la droite entière.
A line through a point in a fixed direction can be written parametrically as… · Une ligne passant par un point dans une direction fixe peut s'écrire paramétriquement comme…
Starting at $(x_0, y_0)$ and moving by $(a, b)$ each unit of $t$ traces a straight line. · En partant de $(x_0, y_0)$ et en se déplaçant par $(a, b)$ à chaque unité de $t$, on trace une ligne droite.
A circle, parametrically
- A point on the unit circle 单位圆 at angle $t$ is $(\cos t, \sin t)$.
- Scale by the radius $r$: $x = r\cos t$ and $y = r\sin t$ trace a circle of radius $r$.
- As $t$ sweeps from $0$ to $2\pi$, the point travels once around, counter-clockwise.
- Shift by $(h, k)$ to centre the circle anywhere.
Un cercle, paramétriquement
- Un point sur le cercle unité 单位圆 à un angle $t$ est $(\cos t, \sin t)$.
- Mettre à l'échelle par le rayon $r$ : $x = r\cos t$ et $y = r\sin t$ tracent un cercle de rayon $r$.
- Quand $t$ balaye de $0$ à $2\pi$, le point fait un tour complet dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
- Décaler de $(h, k)$ pour centrer le cercle n'importe où.
Sweep the angle to trace a circle · Balayer l'angle pour tracer un cercle
As the parameter (an angle) sweeps from 0 to 2 pi, the point (cos t, sin t) travels once around the circle. · Alors que le paramètre (un angle) balaye de 0 à 2 pi, le point (cos t, sin t) parcourt une fois le cercle.
Which parametric equations trace a circle of radius $r$ centred at the origin? · Quelles équations paramétriques tracent un cercle de rayon $r$ centré à l'origine ?
From the unit circle scaled by $r$: $x = r\cos t$ and · et $y = r\sin t$ trace the circle as $t$ goes $0$ to · à $2\pi$. · Du cercle unité étendu par $r$ : $x = r\cos t$ et $y = r\sin t$ tracent le cercle lorsque $t$ va de $0$ à $2\pi$.
The parametrization $x = \cos t,\ y = \sin t$ comes directly from the ____. · La paramétrisation $x = \cos t,\ y = \sin t$ provient directement de la ____.
A point on the unit circle at angle $t$ is $(\cos t, \sin t)$ — the natural parametrization of a circle. · Un point sur le cercle unité à l'angle $t$ est $(\cos t, \sin t)$ — la paramétrisation naturelle d'un cercle.
Select all · tout true statements. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies.
A circle can be parametrized (that is the whole point). The other three are correct. · Un cercle peut être paramétré (c'est tout le point). Les trois autres sont corrects.
Direction and speed
- The parametrization sets not just the shape but the way it is drawn.
- $x = \cos t, y = \sin t$ goes counter-clockwise; $x = \cos t, y = -\sin t$ goes clockwise.
- Replacing $t$ with $2t$ traces the same circle twice as fast.
- So the same circle has many parametrizations, each with its own motion.
Direction et vitesse
- La paramétrisation définit non seulement la forme mais la manière dont elle est dessinée.
- $x = \cos t, y = \sin t$ va dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ; $x = \cos t, y = -\sin t$ va dans le sens des aiguilles d'une montre.
- Remplacer $t$ par $2t$ trace le même cercle deux fois plus vite.
- Donc le même cercle a de nombreuses paramétrisations, chacune avec son propre mouvement.
Restricting $t$ to · à $0 \le t \le \pi$ in $x = \cos t,\ y = \sin t$ traces only the top half of the circle. · En restreignant $t$ à $0 \le t \le \pi$ dans $x = \cos t,\ y = \sin t$, on ne trace que la moitié supérieure du cercle.
From $t = 0$ to · à $\pi$, $y = \sin t \ge 0$, so only the upper semicircle is drawn. · De $t = 0$ à $\pi$, $y = \sin t \ge 0$, seul le demi-cercle supérieur est dessiné.
Drawing only part
- Restricting the parameter interval draws just an arc.
- $0 \le t \le \pi$ in $(\cos t, \sin t)$ gives only the top half of the circle.
- For a line, restricting $t$ gives a segment or a ray.
- Choose the interval to draw exactly the piece you want.
Tracer seulement une partie
- Restreindre l'intervalle du paramètre dessine seulement un arc.
- $0 \le t \le \pi$ dans $(\cos t, \sin t)$ ne donne que la moitié supérieure du cercle.
- Pour une droite, restreindre $t$ donne un segment ou un rayon.
- Choisissez l'intervalle pour dessiner exactement la pièce que vous voulez.
The parametric form of a circle is not unique. $(\cos t, \sin t)$ and $(\sin t, \cos t)$ both trace the unit circle, but start at different points and go in different directions. Always check the starting point and direction, not just the shape.
La forme paramétrique d'un cercle n'est pas unique. $(\cos t, \sin t)$ et $(\sin t, \cos t)$ tracent tous deux le cercle unité, mais commencent à des points différents et vont dans des directions différentes. Vérifiez toujours le point de départ et la direction, pas seulement la forme.
Parametrize the circle of radius $3$ centred at $(1, -2)$.
- Start from the unit-circle form and scale by $3$: $3\cos t$, $3\sin t$.
- Shift the centre to $(1, -2)$: $x = 1 + 3\cos t$, $y = -2 + 3\sin t$.
- As $t$ goes $0$ to $2\pi$, this traces the full circle once.
Paramétrez le cercle de rayon $3$ centré en $(1, -2)$.
- Partir de la forme du cercle unité et mettre à l'échelle par $3$ : $3\cos t$, $3\sin t$.
- Décaler le centre à $(1, -2)$ : $x = 1 + 3\cos t$, $y = -2 + 3\sin t$.
- Quand $t$ va de $0$ à $2\pi$, ceci trace le cercle entier une fois.
A line is $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$ (a point plus a direction). A circle of radius $r$ is $x = r\cos t,\ y = r\sin t$, straight from the unit circle. These parametric equations let the parameter $t$ set the shape, direction, and speed — restrict $t$ to draw only an arc or segment.
Une droite est $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$ (un point plus une direction). Un cercle de rayon $r$ est $x = r\cos t,\ y = r\sin t$, directement depuis le cercle unité. Ces équations paramétriques permettent au paramètre $t$ de définir la forme, la direction et la vitesse — restreindre $t$ pour ne dessiner qu'un arc ou un segment.