Parametric Functions and Planar Motion · Fonctions paramétriques et mouvement planaire
| English | Français |
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| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | fonction paramétrique |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | paramètre |
Where is it, right now?
- Throw a ball and it follows a graceful arc through the air.
- To describe that flight, we track its horizontal and vertical positions over time.
- Each is its own function of time — and together they give the ball's location at every moment.
- This is exactly what parametric functions were made for.
Où est-il, maintenant ?
- Lancer une balle et celle-ci suit une douce arche dans les airs.
- Pour décrire ce vol, nous suivons sa position horizontale et verticale au fil du temps.
- Chacune est sa propre fonction du temps — et ensemble, elles donnent la position de la balle à chaque instant.
- C'est exactement pour cela que les fonctions paramétriques ont été conçues.
Position over time
- A parametric function 参数方程函数 models motion by giving position $(x(t), y(t))$ at each time.
- The parameter 参数 $t$ is the clock; plug in a time and read off the location.
- Horizontal motion lives in $x(t)$; vertical motion lives in $y(t)$.
- The pair traces the object's path across the plane.
Position en fonction du temps
- Une fonction paramétrique 参数方程函数 modélise un mouvement en donnant la position $(x(t), y(t))$ à chaque instant.
- Le paramètre 参数 $t$ est l'horloge : on insère un temps et on lit la position.
- Le mouvement horizontal vit dans $x(t)$ ; le mouvement vertical vit dans $y(t)$.
- La paire trace la trajectoire de l'objet sur le plan.
When parametric functions model motion, the parameter $t$ usually represents… · Lorsque les fonctions paramétriques modélisent le mouvement, le paramètre $t$ représente généralement…
In a · Dans une parametric function modeling motion, $t$ is time, and $(x(t), y(t))$ is the object's position then. · Dans une fonction paramétrique modélisant le mouvement, $t$ est le temps, et $(x(t), y(t))$ est la position de l'objet alors.
Splitting the motion
- The great trick is that $x$ and $y$ can be analysed independently.
- A thrown ball moves at a steady horizontal speed while gravity curves its vertical motion.
- So $x(t)$ might be linear while $y(t)$ is a downward parabola.
- Combine them and the ball follows its familiar arc.
Séparer le mouvement
- Le grand astuce est que $x$ et $y$ peuvent être analysés indépendamment.
- Une balle lancée se déplace à vitesse horizontale constante tandis que la gravité courbe son mouvement vertical.
- Ainsi $x(t)$ peut être linéaire tandis que $y(t)$ est une parabole orientée vers le bas.
- En les combinant, la balle suit son arche familière.
A ball has $x = 3t$ and · et $y = 20t - 5t^2$. What is its height $y$ at $t = 2$? · Une balle a $x = 3t$ et $y = 20t - 5t^2$. Quelle est sa hauteur $y$ à $t = 2$ ?
$y = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20$; and $x = 3(2) = 6$, so the ball is at $(6, 20)$. · $y = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20$ ; et $x = 3(2) = 6$, donc la balle est à $(6, 20)$.
The object's starting position is found by evaluating $x$ and · et $y$ at $t =$ ____. · La position initiale de l'objet est trouvée en évaluant $x$ et $y$ à $t =$ ____.
At $t = 0$ the motion begins, so $(x(0), y(0))$ is the initial position. · À $t = 0$, le mouvement commence, donc $(x(0), y(0))$ est la position initiale.
Select all · tout true statements about parametric motion. · Sélectionnez tous les énoncés vrais sur le mouvement paramétrique.
A parametric path can curve (like a thrown ball's arc), not just be a line. The other three are correct. · Un chemin paramétrique peut courber (comme l'arc d'une balle lancée), pas seulement être une ligne. Les trois autres sont correctes.
Reading the motion
- The starting point is at $t = 0$: evaluate $x(0)$ and $y(0)$.
- Later times give later positions along the path.
- Where the path is highest, the vertical motion has momentarily stopped rising.
- Following $t$ upward shows the direction of travel.
Lire le mouvement
- Le point de départ est à $t = 0$ : évaluer $x(0)$ et $y(0)$.
- Les temps ultérieurs donnent des positions ultérieures le long du parcours.
- Là où le parcours est le plus haut, le mouvement vertical a momentanément cessé de monter.
- Suivre $t$ vers le haut montre la direction du déplacement.
A path traced by a parameter · Un chemin tracé par un paramètre
As the parameter runs, the point moves and traces out a planar curve. · Alors que le paramètre avance, le point se déplace et trace une courbe planaire.
The horizontal and vertical motions can be analysed separately as $x(t)$ and · et $y(t)$. · Les mouvements horizontal et vertical peuvent être analysés séparément comme $x(t)$ et $y(t)$.
Splitting motion into independent $x$ and · et $y$ parts is the great strength of the parametric view. · Diviser le mouvement en parties indépendantes $x$ et $y$ est la grande force de la vue paramétrique.
Beyond position
- From the position functions you can ask how fast each coordinate is changing.
- That leads to velocity — the next lesson's rates of change.
- You can also find when the object lands (where $y = 0$ again) or how far it travels.
- Parametric motion turns geometry into a moving story.
Au-delà de la position
- À partir des fonctions de position, vous pouvez demander à quelle vitesse chaque coordonnée change.
- Cela mène à la vitesse — les taux de changement de la prochaine leçon.
- Vous pouvez aussi trouver quand l'objet atterrit (où $y = 0$ encore) ou combien il parcourt.
- Le mouvement paramétrique transforme la géométrie en une histoire animée.
Do not confuse the path with the motion. The picture of the arc shows the shape, but the parametrization also encodes when the ball is at each point and how fast. Two balls can share a path yet move along it very differently.
Ne confondez pas la trajectoire avec le mouvement. L'image de l'arche montre la forme, mais la paramétrisation encode aussi quand la balle est à chaque point et à quelle vitesse. Deux balles peuvent partager une trajectoire tout en se déplaçant dessus très différemment.
A ball has $x = 3t$ and $y = 20t - 5t^2$ (metres, seconds).
- At $t = 0$: position $(0, 0)$ — it starts at the origin.
- At $t = 2$: $x = 6$, $y = 40 - 20 = 20$ — it is $6$ m across and $20$ m high.
- It lands when $y = 0$ again: $20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow t = 4$ s.
Une boule a $x = 3t$ et $y = 20t - 5t^2$ (mètres, secondes).
- À $t = 0$ : position $(0, 0)$ — elle commence à l'origine.
- À $t = 2$ : $x = 6$, $y = 40 - 20 = 20$ — elle est à $6$ m de large et $20$ m de haut.
- Elle atterrit quand $y = 0$ encore : $20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow t = 4$ s.
A parametric function models planar motion by giving position $(x(t), y(t))$ at each time, with the parameter $t$ as the clock. Horizontal and vertical motion split into $x(t)$ and $y(t)$, which can be analysed separately and recombined into the path.
Une fonction paramétrique modélise un mouvement plan en donnant la position $(x(t), y(t))$ à chaque instant, avec le paramètre $t$ comme horloge. Les mouvements horizontal et vertical se divisent en $x(t)$ et $y(t)$, qui peuvent être analysés séparément et recombinés dans la trajectoire.