Parametric Functions · Fonctions paramétriques
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| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | fonction paramétrique |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | équations paramétriques |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | paramètre |
Following a moving point
- A bird's flight cannot be captured by "$y$ as a function of $x$" — it loops and doubles back.
- Instead, describe where the bird is at each moment: its $x$ and its $y$, each depending on time.
- That is the parametric idea: a third variable drives both coordinates.
- It frees us to draw any path, not just curves that pass the vertical-line test.
Suivre un point en mouvement
- Le vol d'un oiseau ne peut être capturé par "$y$ en fonction de $x$" — il fait des boucles et revient sur ses pas.
- Au lieu de cela, décrivez où l'oiseau est à chaque instant : son $x$ et son $y$, chacun dépendant du temps.
- C'est l'idée paramétrique : une troisième variable pilote les deux coordonnées.
- Cela nous libère pour dessiner n'importe quel chemin, pas seulement des courbes qui passent le test de la ligne verticale.
What a parametric function is
- A parametric function 参数方程函数 gives two rules: $x = x(t)$ and $y = y(t)$.
- These parametric equations 参数方程 share a common input $t$.
- For each value of $t$, you get one point $(x(t), y(t))$ on the curve.
- As $t$ runs through its interval, the point sweeps out the whole path.
Ce qu'est une fonction paramétrique
- Une fonction paramétrique 参数方程函数 donne deux règles : $x = x(t)$ et $y = y(t)$.
- Ces équations paramétriques 参数方程 partagent une entrée commune $t$.
- Pour chaque valeur de $t$, vous obtenez un point $(x(t), y(t))$ sur la courbe.
- Alors que $t$ parcourt son intervalle, le point balaye tout le chemin.
A parametric function describes a curve using… · Une fonction paramétrique décrit une courbe en utilisant…
A parametric function gives $x$ and · et $y$ each as a function of a parameter $t$: the pair $(x(t), y(t))$ traces the curve. · Une fonction paramétrique donne $x$ et $y$ chacun comme fonction d'un paramètre $t$ : la paire $(x(t), y(t))$ trace la courbe.
For · Pour $x = t^2 - 3$ and · et $y = t$, what is the $x$-coordinate when $t = 2$? · Pour $x = t^2 - 3$ et $y = t$, quelle est la coordonnée $x$ lorsque $t = 2$ ?
$x = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$; and $y = t = 2$, so the point is $(1, 2)$. · $x = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$ ; et $y = t = 2$, donc le point est $(1, 2)$.
A path, not a function of x
- Because both coordinates depend on $t$, the curve can loop, cross itself, or double back.
- It need not be a function of $x$ — a full circle or a spiral is perfectly fine.
- This is the key advantage over ordinary $y = f(x)$ graphs.
- The same picture would be impossible to write as a single $y$ in terms of $x$.
Un chemin, pas une fonction de x
- Comme les deux coordonnées dépendent de $t$, la courbe peut faire une boucle, se croiser ou revenir en arrière.
- Elle n'a pas besoin d'être une fonction de $x$ — un cercle complet ou une spirale est parfaitement acceptable.
- C'est l'avantage clé par rapport aux graphiques ordinaires de $y = f(x)$.
- Cette même image serait impossible à écrire comme une seule $y$ en termes de $x$.
A parametric curve can trace a shape that is not a function of $x$ (like a full circle). · Une courbe paramétrique peut tracer une forme qui n'est pas une fonction de $x$ (comme un cercle complet).
Because both coordinates depend on $t$, the path can loop or double back — it need not pass the vertical-line test. · Parce que les deux coordonnées dépendent de $t$, le chemin peut boucler ou revenir en arrière — il n'a pas besoin de passer le test de la ligne verticale.
The independent variable $t$ that drives both $x$ and · et $y$ is called the ____. · La variable indépendante $t$ qui pilote $x$ et $y$ s'appelle la ____.
The · Le parameter $t$ (often time) determines a single point $(x(t), y(t))$ for each of its values. · Le paramètre $t$ (souvent temps) détermine un seul point $(x(t), y(t))$ pour chacune de ses valeurs.
Select all · tout true statements about parametric functions. · Sélectionnez tous les énoncés vrais sur les fonctions paramétriques.
A parametric curve need not · non be a function of $x$ — that is its advantage. The other three are correct. · Une courbe paramétrique doit ne pas être une fonction de $x$ — c'est son avantage. Les trois autres sont correctes.
The parameter
- The driving variable $t$ is the parameter 参数, and it often stands for time.
- Different values of $t$ place the point at different spots along the curve.
- The direction of increasing $t$ gives the path an orientation — the way it is traced.
- Restricting $t$ to an interval draws only part of the curve.
Le paramètre
- La variable motrice $t$ est le paramètre 参数, et il représente souvent le temps.
- Différentes valeurs de $t$ placent le point à différents endroits le long de la courbe.
- La direction de $t$ croissante donne au chemin une orientation — la façon dont il est tracé.
- Restreindre $t$ à un intervalle ne dessine qu'une partie de la courbe.
What parametric form allows · Quelle forme paramétrique permet
In parametric form, x and y each depend on a parameter t. Sort each statement. · En forme paramétrique, x et y dépendent chacun d'un paramètre t. Trier chaque énoncé.
Eliminating the parameter
- Sometimes you can solve one equation for $t$ and substitute to get a plain $y$–$x$ relation.
- For $x = t$, $y = t^2$, substituting gives $y = x^2$ — a familiar parabola.
- This recovers the shape but throws away the timing and direction.
- Keep the parametric form when the motion, not just the shape, matters.
Éliminer le paramètre
- Parfois, vous pouvez résoudre une équation pour $t$ et substituer pour obtenir une relation simple $y$–$x$.
- Pour $x = t$, $y = t^2$, la substitution donne $y = x^2$ — une parabole familière.
- Cela récupère la forme mais jette le timing et la direction.
- Gardez la forme paramétrique lorsque le mouvement, pas seulement la forme, est important.
A parametric curve carries more information than its shape alone: it also has a direction and timing. Two different parametrizations can trace the same shape at different speeds or in opposite directions — do not treat them as identical.
Une courbe paramétrique porte plus d'informations que sa forme seule : elle a aussi une direction et un timing. Deux paramétrisations différentes peuvent tracer la même forme à des vitesses différentes ou dans des directions opposées — ne les traitez pas comme identiques.
Plot $x = t^2 - 3$, $y = t$ for $t = -2, -1, 0, 1, 2$.
- Points: $(1, -2), (-2, -1), (-3, 0), (-2, 1), (1, 2)$.
- Joined in order, they trace a sideways parabola opening to the right.
- No vertical line rule applies — this is not a function of $x$.
Tracez $x = t^2 - 3$, $y = t$ pour $t = -2, -1, 0, 1, 2$.
- Points : $(1, -2), (-2, -1), (-3, 0), (-2, 1), (1, 2)$.
- Reliés dans l'ordre, ils tracent une parabole latérale ouverte vers la droite.
- Aucune règle de ligne verticale ne s'applique — ce n'est pas une fonction de $x$.
A parametric function describes a curve with parametric equations $x = x(t)$ and $y = y(t)$, driven by a parameter $t$ (often time). Because both coordinates depend on $t$, the path can loop and need not be a function of $x$, and it carries a direction and timing.
Une fonction paramétrique décrit une courbe à l'aide d'équations paramétriques $x = x(t)$ et $y = y(t)$, pilotée par un paramètre $t$ (souvent le temps). Puisque les deux coordonnées dépendent de $t$, la trajectoire peut s'enrouler et ne pas être une fonction de $x$ ; elle possède également une orientation et une temporalité.