Manipulating Logarithmic Expressions · Manipulation des expressions logarithmiques
| English | Français |
|---|---|
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | règle du quotient |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | règle du produit |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | règle de puissance |
| change-of-base/tʃeɪndʒ ɒv beɪs/ | changement-de-base |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | équivalente |
Turning products into sums
- Before calculators, people multiplied huge numbers by adding their logarithms.
- That magic works because a log turns multiplication into addition.
- Three simple laws let you expand, condense, or re-base any log expression.
- They are just the exponent rules, viewed through the log's mirror.
Transformer les produits en sommes
- Avant les calculatrices, on multipliait de grands nombres en additionnant leurs logarithmes.
- Cette magie fonctionne parce qu'un logarithme transforme la multiplication en addition.
- Trois lois simples permettent de développer, condenser ou changer de base n'importe quelle expression logarithmique.
- Ce sont simplement les règles des exposants, vues à travers le miroir du logarithme.
Product and quotient rules
- The product rule 乘法法则 splits a product: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
- The quotient rule 除法法则 splits a quotient: $\log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
- Multiplication inside becomes addition outside; division becomes subtraction.
- These mirror "multiply powers → add exponents" and "divide → subtract".
Règles du produit et du quotient
- La règle du produit 乘法法则 décompose un produit : $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
- La règle du quotient 除法法则 décompose un quotient : $\log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
- La multiplication à l'intérieur devient une addition à l'extérieur ; la division devient une soustraction.
- Ces règles reflètent "multiplier des puissances →加 exposants" et "diviser → soustraire".
The logarithm behind the laws · Le logarithme derrière les lois
y = a·log(x − b) + c
These laws come from the exponent rules in reverse. Explore the log curve whose algebra they describe. · Ces lois viennent des règles des exposants à l'envers. Explorez la courbe log dont elles décrivent l'algèbre.
The · Le product rule for logs says $\log_b(xy) =$ · La règle du produit pour les logs dit $\log_b(xy) =$
A log of a product is a sum · somme of logs — the mirror of "multiplying powers adds exponents". · Un log de produit est une somme de logs — le miroir de "multiplier des puissances ajoute les exposants".
The · Le quotient rule says $\log_b\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$. · La règle du quotient dit $\log_b\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
A log of a quotient is a difference of logs — the mirror of "dividing powers subtracts exponents". · Un log de quotient est une différence de logs — le miroir de "diviser des puissances soustrait les exposants".
The power rule
- The power rule 幂法则 brings an exponent out front: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
- So $\log_2(8^3) = 3\log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$.
- A power buried inside a log becomes a simple multiplier.
- Together, the three rules can fully expand or condense a log expression.
La règle de la puissance
- La règle de la puissance 幂法则 fait sortir un exposant devant : $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
- Donc $\log_2(8^3) = 3\log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$.
- Une puissance enfouie dans un logarithme devient un simple multiplicateur.
- Ensemble, les trois règles peuvent totalement développer ou condenser une expression logarithmique.
The · Le power rule for logs says $\log_b(x^n) =$ · La règle de la puissance pour les logs dit $\log_b(x^n) =$
A power inside a log comes out front as a multiplier: $\log_b(x^n) = n\log_b x$. · Une puissance à l'intérieur d'un log sort devant comme multiplicateur : $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
Change of base
- Calculators only have $\log$ (base 10) and $\ln$ (base $e$) buttons.
- The change-of-base 换底 formula handles any other base: $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$.
- So $\log_2 7 = \dfrac{\log 7}{\log 2} \approx 2.807$.
- Pick whichever base your tools support, then divide.
Changement de base
- Les calculatrices n'ont que des touches $\log$ (base 10) et $\ln$ (base $e$).
- La formule de changement de base 换底 gère n'importe quelle autre base : $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$.
- Donc $\log_2 7 = \dfrac{\log 7}{\log 2} \approx 2.807$.
- Choisissez la base que vos outils supportent, puis divisez.
The ____ formula lets you compute $\log_2 7$ as $\dfrac{\log 7}{\log 2}$ on a calculator. · La formule ____ vous permet de calculer $\log_2 7$ comme $\dfrac{\log 7}{\log 2}$ sur une calculatrice.
The · Le change-of-base formula $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$ works with any convenient base. · La formule du changement-de-base $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$ fonctionne avec n'importe quelle base pratique.
Expand and condense
- Expanding uses the rules left-to-right to break one log into many.
- Condensing runs them right-to-left to combine many logs into one.
- Two expressions are equivalent 等价 if the rules convert one into the other.
- Choose the form that best fits the problem — solving usually wants a single log.
Développer et condenser
- Développer utilise les règles de gauche à droite pour transformer un logarithme en plusieurs.
- Condenser les applique de droite à gauche pour rassembler plusieurs logarithmes en un seul.
- Deux expressions sont équivalentes 等价 si les règles transforment l'une en l'autre.
- Choisissez la forme qui convient le mieux au problème — la résolution cherche souvent un unique logarithme.
Select all · tout correct log laws. · Sélectionnez toutes les lois de log correctes.
There is no · aucun rule for $\log(x+y)$ — the laws apply to products, quotients, and powers, not sums. The other three are correct. · Il n'y a pas de règle pour $\log(x+y)$ — les lois s'appliquent aux produits, quotients et puissances, pas aux sommes. Les trois autres sont corrects.
There is no rule for the log of a sum: $\log(x + y)$ does not equal $\log x + \log y$. The laws only apply to products, quotients, and powers inside the log. Splitting a sum is one of the most common log mistakes.
Il n'y a aucune règle pour le logarithme d'une somme : $\log(x + y)$ ne vaut pas $\log x + \log y$. Les lois ne s'appliquent qu'aux produits, quotients et puissances à l'intérieur du logarithme. Essayer de décomposer une somme est l'une des erreurs les plus fréquentes avec les logarithmes.
Condense $2\log x + \log y - \log z$ into one logarithm.
- Power rule: $2\log x = \log x^2$.
- Product then quotient: $\log x^2 + \log y - \log z = \log\!\left(\dfrac{x^2 y}{z}\right)$.
- One clean logarithm, ready to solve or evaluate.
Condensez $2\log x + \log y - \log z$ en un seul logarithme.
- Règle de la puissance : $2\log x = \log x^2$.
- Produit puis quotient : $\log x^2 + \log y - \log z = \log\!\left(\dfrac{x^2 y}{z}\right)$.
- Un logarithme propre, prêt à être résolu ou évalué.
The log laws mirror the exponent rules: the product rule makes a sum, the quotient rule a difference, and the power rule a multiplier. The change-of-base formula evaluates any base with a calculator, and the rules show when two forms are equivalent — but never split $\log(x+y)$.
Les lois logarithmiques reflètent les règles des exposants : la règle du produit crée une somme, la règle du quotient une différence, et la règle de la puissance un multiplicateur. La formule de changement de base évalue n'importe quelle base avec une calculatrice, et les règles montrent quand deux formes sont équivalentes — mais jamais décomposer $\log(x+y)$.