Exponential and Logarithmic Equations · Équations exponentielles et logarithmiques
| English | Français |
|---|---|
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | équation exponentielle |
| logarithmic equation/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ɪˈkweɪʒn/ | équation logarithmique |
| extraneous/ekˈstreɪnɪəs/ | extraneous (superflue) |
Finding a hidden exponent
- "$2$ to what power equals $5$?" is an equation with the unknown up in the exponent.
- You cannot just divide it out — the variable is trapped inside a power.
- Logarithms are the tool that frees it, and exponential form frees log equations.
- Between these two moves, you can solve almost any exponential or log equation.
Trouver un exposant caché
- "$2$ à quelle puissance égale $5$ ?" est une équation avec l'inconnue en exposant.
- On ne peut pas simplement la diviser — la variable est piégée à l'intérieur d'une puissance.
- Les logarithmes sont l'outil qui la libère, et la forme exponentielle libère les équations logarithmiques.
- Entre ces deux mouvements, on peut résoudre presque n'importe quelle équation exponentielle ou logarithmique.
Solving exponential equations
- An exponential equation 指数方程 has the variable in an exponent, like $2^x = 8$.
- If both sides can share a base, match them: $2^x = 2^3$ gives $x = 3$.
- If the bases will not match, take a logarithm of both sides.
- The power rule then brings the exponent down where you can solve for it.
Résoudre les équations exponentielles
- Une équation exponentielle 指数方程 a la variable dans un exposant, comme $2^x = 8$.
- Si les deux côtés partagent une base, égalisez-les : $2^x = 2^3$ donne $x = 3$.
- Si les bases ne peuvent pas s'égaliser, prenez le logarithme des deux côtés.
- La règle de la puissance fait alors descendre l'exposant là où vous pouvez le résoudre.
Find where the exponential reaches a target value · Trouver où l'exponentielle atteint une valeur cible
y = 2ˣ
Solving 2ˣ = 5 means finding the x where this curve hits height 5. A logarithm gives that x exactly. · Résoudre 2ˣ = 5 revient à trouver la x où cette courbe atteint la hauteur 5. Un logarithme donne cette x exactement.
Solve $2^x = 8$ by matching bases. · Résoudre $2^x = 8$ en égalisant les bases.
$8 = 2^3$, so $2^x = 2^3$ gives $x = 3$ — equal bases mean equal exponents. · $8 = 2^3$, donc $2^x = 2^3$ donne $x = 3$ — des bases égales signifient des exposants égaux.
To solve $2^x = 5$, where the bases will not match, you should… · Pour résoudre $2^x = 5$, où les bases ne coïncideront pas, vous devriez…
Taking $\log$ of both sides brings the exponent down: $x = \log_2 5 \approx 2.32$. · Prendre le logarithme $\log$ des deux côtés abaisse l'exposant : $x = \log_2 5 \approx 2.32$.
Solving logarithmic equations
- A logarithmic equation 对数方程 has the variable inside a log, like $\log_2 x = 4$.
- Rewrite it in exponential form: $\log_2 x = 4$ means $x = 2^4 = 16$.
- If several logs appear, condense them into one first, then convert.
- Exponential form is the master key for any single-log equation.
Résoudre les équations logarithmiques
- Une équation logarithmique 对数方程 a la variable à l'intérieur d'un logarithme, comme $\log_2 x = 4$.
- Réécrivez-la sous forme exponentielle : $\log_2 x = 4$ signifie $x = 2^4 = 16$.
- Si plusieurs logarithmes apparaissent, condensez-les en un seul d'abord, puis convertissez.
- La forme exponentielle est la clé maîtresse pour toute équation à un unique logarithme.
Solve the logarithmic equation $\log_2 x = 4$. · Résoudre l'équation logarithmique $\log_2 x = 4$.
Rewrite in exponential form: $x = 2^4 = 16$. · Réécrire sous forme exponentielle : $x = 2^4 = 16$.
Check for extraneous solutions
- Solving can produce a candidate that breaks the original equation's domain.
- A logarithm needs a positive argument, so any solution giving $\log(\text{negative})$ is rejected.
- Such a false answer is called an extraneous 增根 solution.
- Always substitute back and confirm every argument stays positive.
Vérifier les solutions étrangères
- La résolution peut produire un candidat qui viole le domaine de l'équation originale.
- Un logarithme exige un argument positif, donc toute solution donnant $\log(\text{negative})$ est rejetée.
- Une fausse réponse ainsi obtenue est appelée solution étrangère 增根.
- Remplacez toujours et confirmez que chaque argument reste positif.
A candidate solution that makes a log argument negative must be rejected as ____. · Une solution candidate qui rend un argument de log négatif doit être rejetée comme ____.
An extraneous solution satisfies the rearranged equation but breaks the original domain — always check. · Une solution extraneous satisfait l'équation réarrangée mais viole le domaine original — vérifiez toujours.
Select all · tout true statements about solving these equations. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant la résolution de ces équations.
Some candidates are extraneous and must be rejected. The other three are sound strategies. · Certaines solutions sont extranées et doivent être rejetées. Les trois autres sont des stratégies valides.
Inequalities
- Exponential and logarithmic functions are monotonic — always increasing or always decreasing.
- So an inequality like $2^x > 8$ solves the same way, keeping the direction: $x > 3$.
- For a decreasing base ($0 < b < 1$), the inequality sign flips.
- Solve as an equation first, then decide which side of the boundary satisfies it.
Inégalités
- Les fonctions exponentielles et logarithmiques sont monotones — toujours croissantes ou toujours décroissantes.
- Ainsi, une inégalité comme $2^x > 8$ se résout de la même manière, en conservant le sens : $x > 3$.
- Pour une base décroissante ($0 < b < 1$), le sens de l'inégalité s'inverse.
- Résolvez d'abord comme une équation, puis décidez quel côté de la frontière satisfait l'inégalité.
Never forget to check log-equation answers. Solving $\log(x) + \log(x-3) = 1$ may hand you $x = 5$ and $x = -2$, but $x = -2$ makes $\log(-2)$ undefined — it is extraneous and must be thrown out.
N'oubliez jamais de vérifier les réponses des équations logarithmiques. Résoudre $\log(x) + \log(x-3) = 1$ peut vous donner $x = 5$ et $x = -2$, mais $x = -2$ rend $\log(-2)$ indéfini — c'est une solution étrangère qu'il faut rejeter.
Solve $2^x = 5$.
- Bases will not match, so take $\log_2$ of both sides.
- $\log_2(2^x) = \log_2 5$, and the left side simplifies to $x$.
- So $x = \log_2 5 \approx 2.32$ — the exponent the logarithm revealed.
Résolvez $2^x = 5$.
- Les bases ne s'égalisent pas, donc prenez $\log_2$ des deux côtés.
- $\log_2(2^x) = \log_2 5$, et le côté gauche se simplifie en $x$.
- Donc $x = \log_2 5 \approx 2.32$ — l'exposant révélé par le logarithme.
Solve an exponential equation by matching bases, or by taking a logarithm to bring the exponent down. Solve a logarithmic equation by rewriting it in exponential form. Always check for extraneous solutions, since a log's argument must stay positive.
Résolvez une équation exponentielle en égalisant les bases, ou en prenant un logarithme pour faire descendre l'exposant. Résolvez une équation logarithmique en la réécrivant sous forme exponentielle. Vérifiez toujours les solutions étrangères, car l'argument d'un logarithme doit rester positif.