Logarithmic Functions · Fonctions logarithmiques
| English | Français |
|---|---|
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | fonction logarithmique |
| base/beɪs/ | fondamentales |
| domain/dəˈmeɪn/ | domaine |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asymptote verticale |
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | comportement aux bornes |
The slow-and-steady curve
- The exponential rockets upward; its mirror, the logarithm, does the opposite.
- A logarithm rises forever but slower and slower, never flattening to a stop.
- It clings to the y-axis on the left and creeps upward on the right.
- This gentle shape models sound loudness, acidity, and the "feel" of big numbers.
La courbe lente et constante
- L'exponentielle fonce vers le haut ; son miroir, le logarithme, fait l'inverse.
- Un logarithme monte indéfiniment mais de plus en plus lentement, sans jamais s'aplatir pour s'arrêter.
- Il s'accroche à l'axe des y sur la gauche et grimpe doucement sur la droite.
- Cette forme douce modélise la loudness sonore, l'acidité et le "ressenti" des grands nombres.
The graph of a logarithm
- A logarithmic function 对数函数 is $f(x) = \log_b x$, the inverse of $b^x$.
- Its graph passes through $(1, 0)$, since $\log_b 1 = 0$ for every base.
- To the right of $1$ it is positive; between $0$ and $1$ it is negative.
- Read the shape as the exponential's reflection across $y = x$.
Le graphe d'un logarithme
- Une fonction logarithmique 对数函数 est $f(x) = \log_b x$, l'inverse de $b^x$.
- Son graphe passe par $(1, 0)$, car $\log_b 1 = 0$ pour toute base.
- À droite de $1$ il est positif ; entre $0$ et $1$ il est négatif.
- Lisez la forme comme le reflet de l'exponentielle par rapport à $y = x$.
Shape the logarithmic curve · Donner la forme à la courbe logarithmique
y = a·log(x − b) + c
This log curve climbs slowly and clings to the y-axis. It exists only for x greater than its vertical asymptote. · Cette courbe log monte lentement et adhère à l'axe y. Elle n'existe que pour x supérieur à son asymptote verticale.
Domain and vertical asymptote
- The domain 定义域 is $x > 0$ — you cannot take the log of zero or a negative.
- As $x \to 0^+$, the output plunges to $-\infty$: a vertical asymptote 竖直渐近线 at $x = 0$.
- The graph never touches the y-axis, only hugs it more and more tightly.
- Its range, by contrast, is all real numbers.
Domaine et asymptote verticale
- Le domaine 定义域 est $x > 0$ — on ne peut pas faire le logarithme de zéro ou d'un négatif.
- Quand $x \to 0^+$, la sortie plonge vers $-\infty$ : une asymptote verticale 竖直渐近line en $x = 0$.
- Le graphe ne touche jamais l'axe des y, il s'en approche simplement de plus en plus près.
- Son image, par contre, est l'ensemble des réels.
The domain of $f(x) = \log_b x$ is… · Le domaine de $f(x) = \log_b x$ est…
You can only take the log of a positive number, so the domain is $x > 0$. · On ne peut prendre le log que d'un nombre positif, donc le domaine est $x > 0$.
A logarithmic function has a ____ asymptote at $x = 0$. · Une fonction logarithmique a une ____ asymptote à $x = 0$.
As $x \to 0^+$ the output dives to $-\infty$, so $x = 0$ is a vertical asymptote. · Quand $x \to 0^+$, la sortie plonge vers $-\infty$, donc $x = 0$ est une asymptote verticale.
The graph of $y = \log_b x$ crosses the x-axis at… · Le graphique de $y = \log_b x$ coupe l'axe x à…
Since $b^0 = 1$, we have $\log_b 1 = 0$: the x-intercept is always at $x = 1$. · Puisque $b^0 = 1$, nous avons $\log_b 1 = 0$ : l'intersection avec l'axe x est toujours à $x = 1$.
Select all · tout true statements about $y = \log_b x$ (with $b > 1$). · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant $y = \log_b x$ (avec $b > 1$).
It rises without bound, so it has no maximum. The other three are correct. · Elle croît sans limite, donc elle n'a pas de maximum. Les trois autres sont corrects.
The base sets the direction
- If the base 底数 $b > 1$, the log function is increasing (slowly rising).
- If $0 < b < 1$, it is decreasing instead.
- A bigger base makes the curve climb even more gently.
- Whatever the base, the curve still passes through $(1, 0)$ and has the same asymptote.
La base fixe la direction
- Si la base 底数 $b > 1$, la fonction logarithme est croissante (monte lentement).
- Si $0 < b < 1$, elle est décroissante à la place.
- Une base plus grande rend la courbe encore plus douce.
- Quelle que soit la base, la courbe passe toujours par $(1, 0)$ et a la même asymptote.
A logarithmic function keeps increasing forever, but more and more slowly. · Une fonction logarithmique continue d'augmenter indéfiniment, mais de plus en plus lentement.
It rises without bound as $x \to \infty$, yet its slope flattens — the opposite of exponential speed-up. · Elle croît sans limite quand $x \to \infty$, mais sa pente s'aplatit — l'opposé de la montée exponentielle.
End behavior: unbounded but slow
- As $x \to \infty$, the end behavior 末端行为 is $\log_b x \to \infty$ — it never levels off.
- But it grows so slowly that reaching $y = 10$ can take an enormous $x$.
- Compared with an exponential's explosion, the logarithm barely moves.
- That is exactly why logs are used to compress huge ranges of numbers.
Comportement à l'infini : non borné mais lent
- Quand $x \to \infty$, le comportement à l'infini 末端行为 est $\log_b x \to \infty$ — cela ne s'aplatit jamais.
- Mais cela croît si lentement qu'atteindre $y = 10$ peut prendre un temps immense $x$.
- Comparé à l'explosion exponentielle, le logarithme bouge à peine.
- C'est exactement pourquoi on utilise les logarithmes pour compresser d'immenses plages de nombres.
A logarithm's slow growth is not the same as "having a ceiling". It keeps rising forever — there is no horizontal asymptote and no maximum. It just takes longer and longer to climb each additional unit.
La croissance lente d'un logarithme n'est pas la même chose que "avoir un plafond". Il continue de monter indéfiniment — il n'y a pas d'asymptote horizontale ni de maximum. Il faut juste de plus en plus de temps pour gravir chaque unité supplémentaire.
Describe $y = \log_2 x$ at a few points.
- $\log_2 1 = 0$ (the x-intercept), $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$.
- To gain each $+1$ in output, the input must double — growth is slowing.
- Near $x = 0$ the curve dives down the vertical asymptote toward $-\infty$.
Décrivez $y = \log_2 x$ à quelques points.
- $\log_2 1 = 0$ (l'intersection avec l'axe des x), $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$.
- Pour gagner chaque $+1$ en sortie, l'entrée doit doubler — la croissance ralentit.
- Près de $x = 0$ la courbe plonge le long de l'asymptote verticale vers $-\infty$.
A logarithmic function $\log_b x$ has domain $x > 0$, a vertical asymptote at $x = 0$, and passes through $(1, 0)$. The base decides increasing vs decreasing, and its end behavior is unbounded but ever-slowing growth — the mirror of an exponential.
Une fonction logarithme $\log_b x$ a un domaine $x > 0$, une asymptote verticale en $x = 0$, et passe par $(1, 0)$. La base décide de la croissance ou de la décroissance, et son comportement à l'infini est non borné mais à croissance constamment ralentie — le miroir d'une exponentielle.