Inverses of Exponential Functions · Inverses des fonctions exponentielles
| English | Français |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | fonction logarithmique |
| domain/dəˈmeɪn/ | domaine |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asymptote verticale |
The exponential's mirror twin
- Every exponential function has a partner that runs it backward.
- Where $2^x$ turns an exponent into a value, its partner turns a value back into the exponent.
- That partner is the logarithm — and geometrically it is a perfect mirror image.
- Understanding the pair together makes both far easier.
Le jumeau miroir de l'exponentielle
- Toute fonction exponentielle a un partenaire qui la parcourt à l'envers.
- Là où $2^x$ transforme un exposant en valeur, son partenaire transforme une valeur de retour en exposant.
- Ce partenaire est le logarithme — et géométriquement c'est une image miroir parfaite.
- Comprendre la paire ensemble rend les deux bien plus faciles.
Log is the inverse of exponential
- The logarithmic function 对数函数 $\log_b x$ is the inverse 反函数 of the exponential $b^x$.
- They share the same base and undo each other's work.
- $b^x$ takes an exponent to a value; $\log_b x$ takes the value back to the exponent.
- So logs and exponentials are two views of one relationship.
Log est l'inverse de l'exponentielle
- La fonction logarithmique 对数函数 $\log_b x$ est l'inverse 反函数 de l'exponentielle $b^x$.
- Elles partagent la même base et annulent le travail l'une de l'autre.
- $b^x$ prend un exposant vers une valeur ; $\log_b x$ ramène la valeur vers l'exposant.
- Ainsi, les logs et les exponentielles sont deux vues d'une même relation.
The · Le logarithmic function $\log_b x$ is the ____ of the exponential function $b^x$. · La fonction logarithmique $\log_b x$ est le ____ de la fonction exponentielle $b^x$.
They undo each other, so the log function is the inverse of the exponential with the same base. · Elles s'annulent mutuellement, donc la fonction log est l'inverse de l'exponentielle de même base.
Reflection across y = x
- Because they are inverses, their graphs are reflections across the line $y = x$.
- The soaring exponential becomes a slowly-rising logarithm, and vice versa.
- Every point $(a, b)$ on $b^x$ corresponds to $(b, a)$ on $\log_b x$.
- Seeing one graph, you can sketch the other by flipping across $y = x$.
Réflexion par rapport à y = x
- Parce qu'elles sont inverses, leurs graphiques sont des réflexions par rapport à la droite $y = x$.
- L'exponentielle fulgurante devient un logarithme lentement croissant, et vice versa.
- Chaque point $(a, b)$ sur $b^x$ correspond à $(b, a)$ sur $\log_b x$.
- En voyant un graphique, vous pouvez esquisser l'autre en retournant par rapport à $y = x$.
The exponential curve whose mirror is the logarithm · La courbe exponentielle dont le miroir est le logarithme
y = 2ˣ
Picture reflecting this curve y = 2ˣ across the line y = x. The mirror image is the graph of y = log₂ x. · Imaginez réfléchir cette courbe y = 2ˣ sur la droite y = x. L'image miroir est le graphique de y = log₂ x.
Swapped domain, range, and asymptote
- Inverses swap domain and range. The exponential's range $y > 0$ becomes the log's domain 定义域 $x > 0$.
- The exponential's horizontal asymptote $y = 0$ becomes the log's vertical asymptote 竖直渐近线 $x = 0$.
- The log's range is all real numbers — it can be any exponent.
- So the log function exists only for positive inputs, hugging the y-axis on the left.
Domaine, image et asymptote échangés
- Les inverses échangent le domaine et l'image. L'image de la fonction exponentielle $y > 0$ devient le domaine 定义域 de la fonction logarithme $x > 0$.
- L'asymptote horizontale de l'exponentielle $y = 0$ devient l'asymptote verticale 竖直渐近线 du logarithme $x = 0$.
- L'image du logarithme est l'ensemble des réels — il peut prendre n'importe quelle valeur d'exposant.
- La fonction logarithme n'existe donc que pour des entrées positives, s'accrochant à l'axe des y sur la gauche.
The exponential has a horizontal asymptote; its inverse, the log, has a ____ asymptote instead. · L'exponentielle a une asymptote horizontale ; son inverse, le log, a une ____ asymptote à la place.
Reflecting across $y=x$ turns the horizontal asymptote $y=0$ into the vertical asymptote $x=0$. · Réfléchir sur $y=x$ transforme l'asymptote horizontale $y=0$ en asymptote verticale $x=0$.
The domain of $\log_b x$ is $x > 0$, which was the range of the exponential. · Le domaine de $\log_b x$ est $x > 0$, qui était l'image de l'exponentielle.
Inverses swap domain and range: the exponential's range ($y>0$) becomes the log's domain ($x>0$). · Les inverses échangent domaine et image : l'image de l'exponentielle ($y>0$) devient le domaine du log ($x>0$).
Select all · tout true statements about the exponential and its inverse. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant l'exponentielle et son inverse.
They are inverses, not the same function. The other three correctly describe the relationship. · Ce sont des inverses, pas la même fonction. Les trois autres décrivent correctement la relation.
They undo each other
- Composing a function with its inverse cancels: $\log_b(b^x) = x$ and $b^{\log_b x} = x$.
- So $\log_2(2^7) = 7$ and $10^{\log_{10} 5} = 5$.
- This cancelling is exactly how logs solve equations with the variable in the exponent.
- Apply the log to both sides, and the exponent comes down where you can reach it.
Elles s'annulent mutuellement
- Composer une fonction avec son inverse annule l'effet : $\log_b(b^x) = x$ et $b^{\log_b x} = x$.
- Donc $\log_2(2^7) = 7$ et $10^{\log_{10} 5} = 5$.
- Cette annulation est exactement la façon dont les logarithmes résolvent les équations où la variable est à l'exposant.
- Appliquez le logarithme des deux côtés, et l'exposant descend là où vous pouvez le manipuler.
What is $\log_2\!\left(2^5\right)$? · Quelle est la valeur de $\log_2\!\left(2^5\right)$ ?
The log undoes the exponential: $\log_2(2^5) = 5$. Inverse functions cancel. · Le log annule l'exponentielle : $\log_2(2^5) = 5$. Les fonctions inverses s'annulent.
The exponential accepts any real input but only outputs positives; the log is the mirror — it only accepts positive inputs but outputs any real. Do not give a logarithm a zero or negative argument, and do not expect an exponential to ever output one.
L'exponentielle accepte n'importe quel réel en entrée mais ne produit que des positifs ; le logarithme est son miroir — il n'accepte que des entrées positives mais produit n'importe quel réel. Ne donnez jamais un zéro ou un négatif comme argument au logarithme, et n'attendez jamais qu'une exponentielle produise un tel résultat.
Use the inverse relationship to solve $10^x = 1000$.
- Take $\log_{10}$ of both sides: $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$.
- The left side cancels to $x$; the right side is $3$ (since $10^3 = 1000$).
- So $x = 3$ — the logarithm undid the exponential.
Utilisez la relation d'inverse pour résoudre $10^x = 1000$.
- Prenez $\log_{10}$ des deux côtés : $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$.
- Le côté gauche s'annule en $x$ ; le côté droit est $3$ (puisque $10^3 = 1000$).
- Donc $x = 3$ — le logarithme a annulé l'exponentielle.
The logarithmic function is the inverse of the exponential with the same base: their graphs reflect across $y = x$. Domain and range swap, so the log has domain $x > 0$ and a vertical asymptote at $x = 0$. They undo each other, which is how logs solve exponential equations.
La fonction logarithmique est l'inverse de l'exponentielle de même base : leurs graphes se reflètent par rapport à $y = x$. Le domaine et l'image échangent, donc le logarithme a un domaine $x > 0$ et une asymptote verticale en $x = 0$. Elles s'annulent mutuellement, ce qui permet aux logarithmes de résoudre les équations exponentielles.