Inverse Functions · Fonctions inverses
| English | Français |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverse |
| domain/dəˈmeɪn/ | domaine |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | un-à-un |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | réflexion |
Undoing a function
- Every function does something to an input; its inverse undoes it.
- Add 3, and the inverse subtracts 3. Double it, and the inverse halves.
- The inverse runs the machine backward, turning outputs into inputs.
- This "undo" is exactly how we solve equations built from functions.
Défaire une fonction
- Toute fonction fait quelque chose à une entrée ; son inverse défait cette action.
- Ajouter 3, et l'inverse soustrait 3. Doubler, et l'inverse divise par deux.
- L'inverse parcourt la machine à l'envers, transformant les sorties en entrées.
- Ce "défaire" est exactement comment nous résolvons les équations construites à partir de fonctions.
What an inverse does
- The inverse 反函数 of $f$, written $f^{-1}$, reverses every input-output pair.
- If $f$ sends $2 \to 5$, then $f^{-1}$ sends $5 \to 2$.
- So the domain of $f$ becomes the range of $f^{-1}$, and vice versa.
- Composing them undoes everything: $f^{-1}(f(x)) = x$.
Ce qu'un inverse fait
- L'inverse 反函数 de $f$, noté $f^{-1}$, inverse chaque paire entrée-sortie.
- Si $f$ envoie $2 \to 5$, alors $f^{-1}$ envoie $5 \to 2$.
- Ainsi, le domaine de $f$ devient l'image (ou image) de $f^{-1}$, et vice versa.
- Les composer annule tout : $f^{-1}(f(x)) = x$.
The · Le inverse of a function… · L'inverse d'une fonction…
If $f$ sends $2 \to 5$, then $f^{-1}$ sends $5 \to 2$: the inverse undoes what the function did. · Si $f$ envoie $2 \to 5$, alors $f^{-1}$ envoie $5 \to 2$ : l'inverse annule ce que la fonction a fait.
It must be one-to-one
- An inverse function exists only if $f$ is one-to-one 一一对应.
- One-to-one means each output comes from exactly one input.
- If two inputs share an output, running backward is ambiguous — no single inverse.
- The horizontal-line test checks this: no horizontal line may hit the graph twice.
Elle doit être injective
- Une fonction inverse n'existe que si $f$ est injective 一一对应.
- Injectif signifie que chaque sortie provient de exactement une entrée.
- Si deux entrées partagent une sortie, remonter le chemin est ambigu — il n'y a pas d'inverse unique.
- Le test de la ligne horizontale vérifie cela : aucune ligne horizontale ne doit toucher le graphique deux fois.
Reflect a line across y = x to see its inverse · Refléchir une droite sur y = x pour voir son inverse
y = ax + b
This line is f(x) = 2x + 1. Its inverse swaps x and y, giving the mirror image across the line y = x. · Cette droite est f(x) = 2x + 1. Son inverse échange x et y, donnant l'image miroir par rapport à la droite y = x.
A function has an inverse function only if it is ____ (each output comes from exactly one input). · Une fonction possède une fonction inverse uniquement si elle est ____ (chaque sortie provient d'une seule entrée).
If two inputs share an output, the reverse map is ambiguous — so only a one-to-one function is invertible. · Si deux entrées partagent une sortie, la carte inverse est ambiguë — donc seule une fonction un-à-un est inversible.
Finding the inverse rule
- Write $y = f(x)$, then swap $x$ and $y$.
- Now solve the new equation for $y$ — that expression is $f^{-1}(x)$.
- For $f(x) = 2x + 1$: swap to $x = 2y + 1$, solve → $y = \dfrac{x-1}{2}$.
- Swapping reverses the roles of input and output, which is the whole idea.
Trouver la formule de l'inverse
- Écrivez $y = f(x)$, puis échangez $x$ et $y$.
- Résolvez maintenant la nouvelle équation pour $y$ — cette expression est $f^{-1}(x)$.
- Pour $f(x) = 2x + 1$ : échangez vers $x = 2y + 1$, résolvez → $y = \dfrac{x-1}{2}$.
- Échanger inverse les rôles de l'entrée et de la sortie, c'est l'idée même.
To find the rule for $f^{-1}$, you… · Pour trouver la règle de $f^{-1}$, vous…
Swapping $x$ and · et $y$ reverses the roles of input and output; solving for $y$ gives the inverse rule. · Échanger $x$ et $y$ inverse les rôles de l'entrée et de la sortie ; résoudre pour $y$ donne la règle de l'inverse.
Select all · tout true statements about inverse functions. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant les fonctions inverses.
Not every function is invertible — it must be one-to-one first. The other three are correct. · Toute fonction n'est pas inversible — elle doit d'abord être un-à-un. Les trois autres sont corrects.
Reflection across y = x
- Swapping $(a,b)$ to $(b,a)$ mirrors every point across the line $y = x$.
- So the graph of $f^{-1}$ is the reflection 反射 of the graph of $f$ in that line.
- Wherever $f$ crosses the y-axis, $f^{-1}$ crosses the x-axis, and so on.
- You can verify an inverse by checking $f(f^{-1}(x)) = x$.
Réflexion par rapport à y = x
- Échanger $(a,b)$ vers $(b,a)$ reflète chaque point par rapport à la droite $y = x$.
- Ainsi, le graphique de $f^{-1}$ est la réflexion 反射 du graphique de $f$ dans cette droite.
- Là où $f$ coupe l'axe des y, $f^{-1}$ coupe l'axe des x, et ainsi de suite.
- Vous pouvez vérifier un inverse en vérifiant $f(f^{-1}(x)) = x$.
The graph of $f^{-1}$ is the reflection of the graph of $f$ across the line $y = x$. · Le graphique de $f^{-1}$ est la réflexion du graphique de $f$ par rapport à la droite $y = x$.
Swapping every $(a,b)$ to · à $(b,a)$ mirrors the whole graph across $y = x$. · Échanger chaque $(a,b)$ pour $(b,a)$ reflète l'ensemble du graphique sur $y = x$.
The notation $f^{-1}$ means the inverse function, not the reciprocal $\dfrac{1}{f}$. Despite the "$-1$", $f^{-1}(x)$ is never $\dfrac{1}{f(x)}$ — it is the function that undoes $f$.
La notation $f^{-1}$ signifie la fonction inverse, et non le réciproque $\dfrac{1}{f}$. Malgré le "$-1$", $f^{-1}(x)$ n'est jamais $\dfrac{1}{f(x)}$ — c'est la fonction qui défaire $f$.
Find the inverse of $f(x) = 3x - 6$.
- Write $y = 3x - 6$, then swap: $x = 3y - 6$.
- Solve for $y$: $x + 6 = 3y$, so $y = \dfrac{x+6}{3}$.
- Check: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$ — it undoes $f$. ✓
Trouvez l'inverse de $f(x) = 3x - 6$.
- Écrivez $y = 3x - 6$, puis échangez : $x = 3y - 6$.
- Résolvez pour $y$ : $x + 6 = 3y$, donc $y = \dfrac{x+6}{3}$.
- Vérification : $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$ — cela défaire $f$. ✓
An inverse function $f^{-1}$ reverses each input-output pair, so it undoes $f$. It exists only when $f$ is one-to-one. Find it by swapping $x$ and $y$ and solving; its graph is the reflection of $f$ across the line $y = x$.
Une fonction inverse $f^{-1}$ inverse chaque paire entrée-sortie, donc elle défaire $f$. Elle n'existe que lorsque $f$ est injective. Trouvez-la en échangeant $x$ et $y$ et en résolvant ; son graphique est la réflexion de $f$ par rapport à la droite $y = x$.