Composition of Functions · Composition de fonctions
| English | Français |
|---|---|
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | composition |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | fonction composée |
| domain/dəˈmeɪn/ | domaine |
Functions in a chain
- Feed a number into one function, then feed its answer into a second function.
- The two machines work in a row: output of the first becomes input of the second.
- This chaining is called composition, and it builds complex functions from simple ones.
- It is how a "convert then round" or "discount then tax" calculation really works.
Fonctions en chaîne
- Introduisez un nombre dans une fonction, puis introduisez sa réponse dans une seconde fonction.
- Les deux machines fonctionnent l'une derrière l'autre : la sortie de la première devient l'entrée de la seconde.
- Cette composition s'appelle la composition, et elle construit des fonctions complexes à partir de simples.
- C'est ainsi qu'une opération « convertir puis arrondir » ou « réduction puis taxe » fonctionne réellement.
The composite function
- The composite function 复合函数 is written $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
- Read it inside-out: apply $g$ first, then apply $f$ to the result.
- The composition 复合 hands the output of $g$ straight to $f$ as its input.
- So $g$ is the inner function and $f$ is the outer one.
La fonction composée
- La fonction composée 复合函数 s'écrit $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
- Lisez-le de l'intérieur vers l'extérieur : appliquez d'abord $g$, puis appliquez $f$ au résultat.
- La composition 复合 transmet directement la sortie de $g$ à $f$ comme entrée.
- Donc $g$ est la fonction intérieure et $f$ est la fonction extérieure.
Send an input through two functions in a row · Envoyer une entrée à travers deux fonctions successivement
Step through the pipeline — the output of g is handed straight to f. · Parcourir le pipeline : la sortie de g est directement transmise à f.
In the composition $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, which function acts first · premier? · Dans la composition $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, quelle fonction agit en premier ?
Work inside-out: $g$ acts on $x$ first, then $f$ acts on the result $g(x)$. · Travailler de l'intérieur vers l'extérieur : $g$ agit sur $x$ en premier, puis $f$ agit sur le résultat $g(x)$.
Evaluating a composition
- Always work from the inside out.
- To find $f(g(2))$, first compute $g(2)$, then feed that number into $f$.
- With $g(x)=x+1$ and $f(x)=x^2$: $g(2)=3$, then $f(3)=9$.
- You can also compose the formulas to get one rule for the whole chain.
Évaluer une composition
- Travaillez toujours de l'intérieur vers l'extérieur.
- Pour trouver $f(g(2))$, calculez d'abord $g(2)$, puis introduisez ce nombre dans $f$.
- Avec $g(x)=x+1$ et $f(x)=x^2$ : $g(2)=3$, puis $f(3)=9$.
- Vous pouvez aussi composer les formules pour obtenir une seule règle pour toute la chaîne.
If $g(x) = x + 1$ and · et $f(x) = x^2$, what is $f(g(2))$? · Si $g(x) = x + 1$ et $f(x) = x^2$, que vaut $f(g(2))$ ?
Inner first: $g(2) = 3$. Then outer: $f(3) = 3^2 = 9$. · Intérieur d'abord : $g(2) = 3$. Puis extérieur : $f(3) = 3^2 = 9$.
The domain of a composition
- The composite is only defined where the chain actually works.
- The value $g(x)$ must be a legal input for $f$ — it must lie in $f$'s domain 定义域.
- If $g$ produces a number $f$ cannot accept, that $x$ is excluded.
- So the composite's domain can be smaller than $g$'s alone.
Le domaine d'une composition
- La fonction composée n'est définie que là où la chaîne fonctionne réellement.
- La valeur $g(x)$ doit être une entrée valide pour $f$ — elle doit se trouver dans le domaine 定义域 de $f$.
- Si $g$ produit un nombre que $f$ ne peut pas accepter, cette $x$ est exclue.
- Ainsi, le domaine de la fonction composée peut être plus petit que celui de $g$ seul.
For · Pour $g(x)$ to be usable inside $f$, the value $g(x)$ must lie in the ____ of $f$. · Pour que $g(x)$ soit utilisable à l'intérieur de $f$, la valeur $g(x)$ doit se trouver dans le ____ de $f$.
The composite is defined only where $g(x)$ is a legal input to $f$ — inside $f$'s domain. · La fonction composée n'est définie que là où $g(x)$ est une entrée valide pour $f$ — à l'intérieur du domaine de $f$.
Select all · tout true statements about composition. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant la composition.
Order usually does · fait matter — composition is not commutative. The other three are correct. · L'ordre compte généralement bien — la composition n'est pas commutative. Les trois autres sont corrects.
Order matters
- Composition is generally not commutative: $f(g(x)) \neq g(f(x))$.
- "Put on socks, then shoes" is not the same as "shoes, then socks".
- With $f(x)=x^2$, $g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ but $g(f(x))=x^2+1$.
- Always respect which function is inner and which is outer.
L'ordre compte
- La composition n'est généralement pas commutative : $f(g(x)) \neq g(f(x))$.
- "Mettre des chaussettes, puis mettre des chaussures" n'est pas la même chose que "chaussures, puis chaussettes".
- Avec $f(x)=x^2$, $g(x)=x+1$ : $f(g(x))=(x+1)^2$ mais $g(f(x))=x^2+1$.
- Respectez toujours quelle fonction est intérieure et laquelle est extérieure.
Composition is commutative: $f(g(x))$ always equals $g(f(x))$. · La composition est commutative : $f(g(x))$ est toujours égal à $g(f(x))$.
Order matters. With $f(x)=x^2$ and · et $g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ but $g(f(x))=x^2+1$ — different. · L'ordre importe. Avec $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+1$ : $f(g(x))=(x+1)^2$ mais pas $g(f(x))=x^2+1$ — c'est différent.
Do not confuse $f(g(x))$ with $f(x)\cdot g(x)$. Composition feeds one function into another; it is not multiplication. And it rarely commutes, so swapping the order usually changes the answer.
Ne confondez pas $f(g(x))$ avec $f(x)\cdot g(x)$. La composition alimente une fonction dans une autre ; ce n'est pas une multiplication. Et elle ne commute généralement pas, donc inverser l'ordre change généralement la réponse.
Let $g(x) = \sqrt{x}$ and $f(x) = x + 3$. Find $(f \circ g)(x)$ and its domain.
- Inner first: $g(x) = \sqrt{x}$, then outer: $f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} + 3$.
- The square root needs $x \ge 0$, so the domain is $x \ge 0$.
- Even though $f$ alone accepts all reals, the inner $g$ restricts the composite.
Posons $g(x) = \sqrt{x}$ et $f(x) = x + 3$. Trouvez $(f \circ g)(x)$ et son domaine.
- Intérieure d'abord : $g(x) = \sqrt{x}$, puis extérieure : $f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} + 3$.
- La racine carrée nécessite $x \ge 0$, donc le domaine est $x \ge 0$.
- Même si $f$ seul accepte tous les réels, l'intérieur $g$ restreint la fonction composée.
A composite function $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ chains two functions: the inner $g$ acts first, then $f$. Evaluate inside-out, and remember its domain needs $g(x)$ to be a legal input for $f$. Composition is generally not commutative — order matters.
Une fonction composée $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ enchaîne deux fonctions : l'intérieure $g$ agit d'abord, puis $f$. Évaluez de l'intérieur vers l'extérieur, et rappelez-vous que son domaine exige que $g(x)$ soit une entrée valide pour $f$. La composition n'est généralement pas commutative — l'ordre compte.