Arithmetic and Geometric Sequences · Suites arithmétiques et géométriques
| English | Français |
|---|---|
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | suite arithmétique |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | différence constante |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | suite géométrique |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | rapport constant |
| explicit/ekˈsplɪsɪt/ | explicites |
| recursive/rɪˈkɜːsɪv/ | récursif |
Two ways to grow a list
- Start at $2$ and keep adding $2$: you get $2, 4, 6, 8, \dots$
- Start at $1$ and keep doubling: you get $1, 2, 4, 8, \dots$
- Both are ordered lists of numbers — sequences — but they grow in completely different ways.
- One adds the same amount; the other multiplies by the same amount.
Deux façons de faire croître une liste
- Commencer à $2$ et continuer à ajouter $2$ : vous obtenez $2, 4, 6, 8, \dots$
- Commencer à $1$ et continuer à doubler : vous obtenez $1, 2, 4, 8, \dots$
- Ce sont deux listes ordonnées de nombres — des suites — mais elles croissent de manières totalement différentes.
- L'une ajoute la même quantité ; l'autre multiplie par la même quantité.
Arithmetic: add the same amount
- An arithmetic sequence 等差数列 adds a fixed number to get from each term to the next.
- That fixed number is the common difference 公差.
- In $5, 8, 11, 14, \dots$ the common difference is $+3$.
- Graphed, the terms sit on a straight line — steady, linear growth.
Arithmétique : ajouter la même quantité
- Une suite arithmétique 等差数列 ajoute un nombre fixe pour passer de chaque terme au suivant.
- Ce nombre fixe est la raison 公差.
- Dans $5, 8, 11, 14, \dots$, la raison est $+3$.
- Tracés graphiquement, les termes se situent sur une ligne droite — croissance régulière et linéaire.
An arithmetic sequence has a constant… · Une suite arithmétique a un … constant…
Each term is the previous one plus a fixed common difference — that steady addition makes it arithmetic. · Chaque terme est le précédent plus une différence commune fixe — cette addition régulière rend la suite arithmétique.
Geometric: multiply by the same amount
- A geometric sequence 等比数列 multiplies by a fixed number each step.
- That fixed number is the common ratio 公比.
- In $3, 6, 12, 24, \dots$ the common ratio is $\times 2$.
- Graphed, the terms curve upward ever more steeply.
Géométrique : multiplier par la même quantité
- Une suite géométrique 等比数列 multiplie par un nombre fixe à chaque étape.
- Ce nombre fixe est le rapport 公比.
- Dans $3, 6, 12, 24, \dots$, le rapport est $\times 2$.
- Tracés graphiquement, les termes s'incurvent vers le haut de plus en plus raides.
Step through a sequence term by term · Parcourir un terme de suite terme par terme
Change the common ratio and watch a geometric sequence bend upward far faster than any arithmetic one. · Changer le rapport commun et observer qu'une suite géométrique s'incurve vers le haut beaucoup plus vite que toute suite arithmétique.
A geometric sequence has a constant… · Une suite géométrique a un … constant…
Each term is the previous one times a fixed common ratio — steady multiplication makes it geometric. · Chaque terme est le précédent multiplié par un · non rapport commun fixe — cette multiplication régulière rend la suite géométrique.
Explicit and recursive rules
- An explicit 显式 rule jumps straight to any term: arithmetic $a_n = a_1 + (n-1)d$; geometric $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$.
- A recursive 递归 rule builds each term from the one before: $a_n = a_{n-1} + d$ or $a_n = a_{n-1} \cdot r$.
- Explicit is best for finding the 100th term without listing all the others.
- Recursive mirrors how the sequence is actually generated, step by step.
Règles explicites et récursives
- Une règle explicite 显式 saute directement vers n'importe quel terme : arithmétique $a_n = a_1 + (n-1)d$ ; géométrique $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$.
- Une règle récursive 递归 construit chaque terme à partir du précédent : $a_n = a_{n-1} + d$ ou $a_n = a_{n-1} \cdot r$.
- L'explicite est idéal pour trouver le 100e terme sans lister tous les autres.
- La récursive reflète la manière dont la suite est générée réellement, étape par étape.
A ____ rule defines each term using the term before it. · Une règle ____ définit chaque terme en utilisant le terme précédent.
A recursive rule like $a_n = a_{n-1} + 3$ builds from the previous term; an explicit rule jumps straight to $a_n$. · Une règle récursive comme $a_n = a_{n-1} + 3$ se construit à partir du terme précédent ; une règle explicite saute directement à $a_n$.
A geometric sequence starts $3, 6, 12, 24, \dots$. What is the 5th term? · Une suite géométrique commence à $3, 6, 12, 24, \dots$. Quel est le 5e terme ?
The common ratio is $2$, so the 5th term is $24 \times 2 = 48$. · Le rapport commun est $2$, donc le 5e terme est $24 \times 2 = 48$.
Which grows faster
- Early on, an arithmetic sequence can be ahead.
- But any geometric sequence with ratio $> 1$ eventually overtakes it — and then pulls away fast.
- Adding is linear; multiplying is exponential, and exponential always wins in the long run.
- This is the same contrast that separates linear from exponential functions.
Laquelle croît plus vite
- Au début, une suite arithmétique peut être en avance.
- Mais toute suite géométrique avec un rapport $> 1$ finira par la dépasser — et ensuite s'en éloignera rapidement.
- Ajouter est linéaire ; multiplier est exponentiel, et l'exponentielle gagne toujours à long terme.
- C'est la même opposition qui sépare les fonctions linéaires des exponentielles.
Select all · tout true statements about these sequences. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant ces suites.
Sequences can start at any value. The other three describe the add-vs-multiply difference correctly. · Les suites peuvent commencer à n'importe quelle valeur. Les trois autres décrivent correctement la différence ajouter-vs-multiplier.
Check whether a list adds or multiplies before naming it. $2, 4, 6, 8$ (add 2) is arithmetic, but $2, 4, 8, 16$ (times 2) is geometric — the first two terms look identical, so always test a third term.
Vérifiez si une liste ajoute ou multiplie avant de la nommer. $2, 4, 6, 8$ (ajouter 2) est arithmétique, mais $2, 4, 8, 16$ (multiplier par 2) est géométrique — les deux premiers termes semblent identiques, alors testez toujours un troisième terme.
Find the 6th term of $4, 12, 36, \dots$.
- Ratio: $12 \div 4 = 3$, so this is geometric with $r = 3$.
- Explicit rule: $a_n = 4 \cdot 3^{\,n-1}$.
- Sixth term: $a_6 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
Trouvez le 6e terme de $4, 12, 36, \dots$.
- Rapport : $12 \div 4 = 3$, donc c'est géométrique avec $r = 3$.
- Règle explicite : $a_n = 4 \cdot 3^{\,n-1}$.
- Sixième terme : $a_6 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$.
An arithmetic sequence adds a common difference; a geometric sequence multiplies by a common ratio. Write either with an explicit rule (jump to any term) or a recursive rule (build from the previous term). Geometric growth eventually overtakes arithmetic.
Une suite arithmétique ajoute une raison ; une suite géométrique multiplie par un rapport. Écrivez-les soit avec une règle explicite (sautez à n'importe quel terme) soit avec une règle récursive (construisez à partir du terme précédent). La croissance géométrique finit par dépasser l'arithmétique.