Energy of Simple Harmonic Oscillators · Énergie des Oscillateurs Harmoniques Simples
| English | Français |
|---|---|
| potential energy/pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | énergie potentielle |
| kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | énergie cinétique |
The endless trade
- A swing slows to a stop at the top, then rushes fastest through the bottom.
- Nothing is lost -- the motion just keeps swapping form.
- Stretch is stored; speed is spent; back and forth forever.
- Two stores hand the same total to and fro.
Le échange infini
- Une balançoire ralentit jusqu'à s'arrêter au sommet, puis fonce le plus vite par le bas.
- Rien n'est perdu -- le mouvement change simplement de forme.
- L'étirement est stocké ; la vitesse est dépensée ; aller et retour éternel.
- Deux stocks passent le même total d'avant en arrière.
Two stores in a spring
- The spring holds potential energy 势能 $U = \tfrac{1}{2}kx^2$.
- The mass carries kinetic energy 动能 $K = \tfrac{1}{2}mv^2$.
- As it oscillates, energy pours from one into the other.
Deux stocks dans un ressort
- Le ressort contient de l'énergie potentielle 势能 $U = \tfrac{1}{2}kx^2$.
- La masse transporte de l'énergie cinétique 动能 $K = \tfrac{1}{2}mv^2$.
- En oscillant, l'énergie coule d'un stock à l'autre.
A spring with $k = 100\ \text{N/m}$ is displaced $x = 0.1\ \text{m}$. Its stored potential energy (in J)? · Un ressort avec une raideur $k = 100\ \text{N/m}$ est déplacé de $x = 0.1\ \text{m}$. Quelle est son énergie potentielle stockée (en J) ?
$U = \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}(100)(0.1)^2 = 0.5\ \text{J}$.
The total never changes
- Add them and the total stays fixed:
- At the ends it is all potential (speed zero); at the middle it is all kinetic.
- The amplitude alone sets the total.
Le total ne change jamais
- Additionnez-les et le total reste fixe :
- Aux extrémités, c'est tout potentiel (vitesse zéro) ; au milieu, c'est tout cinétique.
- L'amplitude seule fixe le total.
A spring with $k = 100\ \text{N/m}$ oscillates with amplitude $A = 0.2\ \text{m}$. Its total energy (in J)? · Un ressort avec une raideur $k = 100\ \text{N/m}$ oscille avec une amplitude $A = 0.2\ \text{m}$. Quelle est son énergie totale (en J) ?
$E = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}(100)(0.2)^2 = 2\ \text{J}$.
At which point is the oscillator's energy entirely kinetic? · À quel point l'énergie de l'oscillateur est-elle entièrement cinétique ?
At equilibrium $x = 0$ so $U = 0$ and all the energy is kinetic. · À l'équilibre $x = 0$ donc $U = 0$ et toute l'énergie est cinétique.
Cashing energy for speed
- At equilibrium every bit is kinetic, so:
- This recovers $v_{max} = A\omega$, since $\omega^2 = k/m$.
- Double the amplitude and you get four times the energy, twice the top speed.
Convertir l'énergie en vitesse
- À l'équilibre, tout est cinétique, donc :
- Cela retrouve $v_{max} = A\omega$, car $\omega^2 = k/m$.
- Doublez l'amplitude et vous avez quatre fois l'énergie, deux fois la vitesse maximale.
Energy of an oscillator · Énergie d'un oscillateur
Over a cycle, energy shifts between kinetic and potential while the total stays fixed. · Sur un cycle, l'énergie alterne entre cinétique et potentielle tandis que le total reste fixe.
A spring with $k = 200\ \text{N/m}$ oscillates with amplitude $A = 0.05\ \text{m}$.
- Total energy: $E = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}(200)(0.05)^2 = 0.25\ \text{J}$.
- It is all kinetic at the middle and all potential at the ends.
Un ressort avec $k = 200\ \text{N/m}$ oscille avec une amplitude $A = 0.05\ \text{m}$.
- Énergie totale : $E = \tfrac{1}{2}kA^2 = \tfrac{1}{2}(200)(0.05)^2 = 0.25\ \text{J}$.
- C'est tout cinétique au milieu et tout potentiel aux extrémités.
If you double the amplitude of an oscillator, its total energy... · Si vous doublez l'amplitude d'un oscillateur, son énergie totale...
$E = \tfrac{1}{2}kA^2 \propto A^2$, so $2^2 = 4$ times the energy. · $E = \tfrac{1}{2}kA^2 \propto A^2$, donc $2^2 = 4$ fois l'énergie.
Kinetic and potential energy can both reach their maximum at the same instant. · L'énergie cinétique et potentielle peuvent toutes deux atteindre leur maximum au même instant.
Each is largest where the other is zero -- they are never both maximal. · Chacune est maximale là où l'autre est nulle — elles ne sont jamais toutes deux maximales.
In a real oscillator with friction, over time the amplitude... · Dans un oscillateur réel avec frottement, avec le temps l'amplitude...
Friction drains energy, so the amplitude decays -- this is damping. · Les frottements drainent l'énergie, donc l'amplitude décroît — c'est l'amortissement.
The energy goes as amplitude squared ($E = \tfrac{1}{2}kA^2$), so doubling $A$ quadruples the energy, not doubles it. Kinetic and potential energy are each largest where the other is zero, never both at once. And "the total stays constant" assumes no friction or drag -- a real oscillator slowly loses energy and its amplitude decays (damping).
L'énergie va comme amplitude au carré ($E = \tfrac{1}{2}kA^2$), donc doubler $A$ quadruple l'énergie, ne la double pas. L'énergie cinétique et potentielle sont chacune maximale là où l'autre est nulle, jamais les deux à la fois. Et « le total reste constant » suppose pas de frottement ou de traînée -- un oscillateur réel perd lentement de l'énergie et son amplitude diminue (amortissement).
An oscillator's energy trades between potential energy $U = \tfrac{1}{2}kx^2$ and kinetic energy $K = \tfrac{1}{2}mv^2$, with a fixed total $E = \tfrac{1}{2}kA^2$. It is all potential at the extremes and all kinetic at equilibrium, giving $\tfrac{1}{2}mv_{max}^2 = \tfrac{1}{2}kA^2$. Because $E \propto A^2$, doubling the amplitude quadruples the energy.
L'énergie d'un oscillateur échange entre énergie potentielle $U = \tfrac{1}{2}kx^2$ et énergie cinétique $K = \tfrac{1}{2}mv^2$, avec un total fixe $E = \tfrac{1}{2}kA^2$. C'est tout potentiel aux extrémités et tout cinétique à l'équilibre, donnant $\tfrac{1}{2}mv_{max}^2 = \tfrac{1}{2}kA^2$. Parce que $E \propto A^2$, doubler l'amplitude quadruple l'énergie.