Defining Simple Harmonic Motion · Définir le Mouvement Harmonique Simple
| English | Français |
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| simple harmonic motion/ˈsɪmpl hɑːˈmɒnɪk ˈməʊʃn/ | mouvement harmonique simple |
| restoring force/rɪˈstɔːrɪŋ fɔːs/ | force de rappel |
The back-and-forth that nature loves
- A mass on a spring bobs up and down, over and over.
- A guitar string, a swing, a tuning fork -- all repeat the same dance.
- Pull them aside and something always tugs them back.
- One rule governs every smooth, repeating wobble.
L'aller-retour que la nature aime
- Une masse attachée à un ressort oscille vers le haut et vers le bas, encore et encore.
- Un cordage de guitare, un balançoire, un diapason -- tous répètent la même danse.
- Tirez-les sur le côté et quelque chose les tire toujours vers le retour.
- Une seule règle gouverne chaque oscillation régulière et répétitive.
The restoring rule
- Simple harmonic motion 简谐运动 happens when the restoring force 回复力 is proportional to displacement:
- The minus sign means the force always points back toward equilibrium.
- A bigger pull the farther you go -- that is the signature of SHM.
La loi de rappel
- Le mouvement harmonique simple 简谐运动 se produit lorsque la force de rappel 回复力 est proportionnelle au déplacement :
- Le signe moins indique que la force pointe toujours vers l'équilibre.
- Plus on s'éloigne, plus la traction est forte -- c'est la signature du MHS.
A spring with $k = 20\ \text{N/m}$ is stretched $x = 0.15\ \text{m}$. The magnitude of the restoring force (in N)? · Un ressort de $k = 20\ \text{N/m}$ est étiré de $x = 0.15\ \text{m}$. L'amplitude de la force de rappel (en N) ?
$|F| = kx = 20 \times 0.15 = 3\ \text{N}$.
A motion is simple harmonic when the restoring force is... · Un mouvement est harmonique simple lorsque la force de rappel est...
$F = -kx$ -- proportional to $x$ and pointing back toward equilibrium. · $F = -kx$ -- proportionnelle à $x$ et pointant vers l'équilibre.
The minus sign in $F = -kx$ means the force always points back toward equilibrium. · Le signe moins dans $F = -kx$ signifie que la force pointe toujours vers l'équilibre.
The force opposes the displacement, restoring the mass toward $x = 0$. · La force s'oppose au déplacement, restaurant la masse vers $x = 0$.
Acceleration points home
- Dividing by mass, the acceleration obeys:
- Acceleration is proportional to displacement but opposite in direction.
- The constant $\omega^2 = k/m$ sets how quickly it oscillates.
L'accélération pointe vers la maison
- En divisant par la masse, l'accélération obéit à :
- L'accélération est proportionnelle au déplacement mais opposée en direction.
- La constante $\omega^2 = k/m$ fixe la rapidité de l'oscillation.
For SHM with $\omega^2 = 25\ \text{rad}^2/\text{s}^2$ at displacement $x = 0.2\ \text{m}$, the acceleration magnitude (in m/s²)? · Pour un MHS avec $\omega^2 = 25\ \text{rad}^2/\text{s}^2$ au déplacement $x = 0.2\ \text{m}$, l'amplitude de l'accélération (en m/s²) ?
$|a| = \omega^2 x = 25 \times 0.2 = 5\ \text{m/s}^2$.
The usual suspects
- A mass on a spring: $F = -kx$ directly.
- A pendulum at small angles: gravity gives a near-linear pull back.
- Any system with a linear restoring force wobbles as SHM.
Les acteurs habituels
- Une masse sur un ressort : $F = -kx$ directement.
- Un pendule aux petits angles : la gravité offre une traction quasi-linéaire vers le retour.
- Tout système avec une force de rappel linéaire oscille comme un MHS.
The restoring force of SHM · La force de rappel du MHS
Simple harmonic motion needs a restoring force proportional to the displacement and pointing back to the centre. · Le mouvement harmonique simple nécessite une force de rappel proportionnelle au déplacement et pointant vers le centre.
A $0.5\ \text{kg}$ mass on a spring with $k = 8\ \text{N/m}$ is pulled $0.1\ \text{m}$ and released.
- Restoring force at release: $F = -kx = -8 \times 0.1 = -0.8\ \text{N}$.
- Acceleration: $\omega^2 = k/m = 16$, so $a = -\omega^2 x = -16 \times 0.1 = -1.6\ \text{m/s}^2$.
Une $0.5\ \text{kg}$ masse sur un ressort avec $k = 8\ \text{N/m}$ est tirée $0.1\ \text{m}$ et relâchée.
- Force de rappel au relâchement : $F = -kx = -8 \times 0.1 = -0.8\ \text{N}$.
- Accélération : $\omega^2 = k/m = 16$, donc $a = -\omega^2 x = -16 \times 0.1 = -1.6\ \text{m/s}^2$.
In SHM, where is the acceleration largest? · Dans un MHS, où l'accélération est-elle la plus grande ?
$a = -\omega^2 x$ is largest where $x$ is largest -- the extremes. · $a = -\omega^2 x$ est maximal là où $x$ est maximal -- aux extrémités.
A pendulum swings as simple harmonic motion only for small angles. · Un pendule oscille en mouvement harmonique simple uniquement pour de petits angles.
Only at small angles is the restoring pull proportional to displacement. · Seulement à petits angles la force de rappel est proportionnelle au déplacement.
A pendulum is only SHM for small angles (roughly under $15^\circ$); at large angles the pull-back is no longer proportional to displacement. The minus sign is essential -- without it the force would push the mass away and nothing would oscillate. And acceleration is largest at the extremes (biggest $x$) and zero at equilibrium, the opposite of speed.
Un pendule n'est un MHS que pour de petits angles (environ en dessous de $15^\circ$) ; à grands angles, la traction de retour n'est plus proportionnelle au déplacement. Le signe moins est essentiel -- sans lui, la force repousserait la masse et rien n'oscillerait. Et l'accélération est maximale aux extrémités (grand $x$) et nulle à l'équilibre, l'inverse de la vitesse.
Simple harmonic motion is the smooth repeat you get when the restoring force is proportional to displacement and points back home: $F = -kx$, so $a = -\omega^2 x$ with $\omega^2 = k/m$. A spring shows it exactly; a small-angle pendulum shows it approximately. Acceleration peaks at the extremes and vanishes at equilibrium.
Le mouvement harmonique simple est la répétition régulière obtenue lorsque la force de rappel est proportionnelle au déplacement et pointe vers la maison : $F = -kx$, donc $a = -\omega^2 x$ avec $\omega^2 = k/m$. Un ressort le montre exactement ; un pendule à petits angles le montre approximativement. L'accélération atteint son pic aux extrémités et disparaît à l'équilibre.