Find the Area of a Polar Region or the Area Bounded by a Single Polar Curve · Trouver l'aire d'une région polaire ou l'aire bornée par une seule courbe polaire
| English | Français |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | aire |
| sectors/ˈsektəz/ | secteurs |
Area swept by a polar curve
- For $y=f(x)$ we sliced area into vertical rectangles. A polar curve sweeps around the origin instead.
- So we slice the region into thin pie-shaped sectors 扇形, each a sliver of a circle.
- Adding up those sector areas gives the area 面积 enclosed by the polar curve.
- The result is a clean integral in $\theta$.
Aire balayée par une courbe polaire
- Pour $y=f(x)$ nous avons découpé l'aire en rectangles verticaux. Une courbe polaire balaye autour de l'origine.
- Donc nous découpons la région en minces secteurs 扇形 en forme de part de gâteau, chacun étant une fine tranche de cercle.
- Additionner ces aires de secteur donne l'aire 面积 enfermée par la courbe polaire.
- Le résultat est une intégrale propre en $\theta$.
The polar area formula
- A thin sector at angle $\theta$ has radius $r=f(\theta)$ and tiny angle $d\theta$; its area is $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
- Add them from $\theta=\alpha$ to $\theta=\beta$:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- Square the radius, halve, and integrate over the angle interval.
Formule de l'aire polaire
- Un mince secteur à l'angle $\theta$ a pour rayon $r=f(\theta)$ et petit angle $d\theta$ ; son aire est $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
- Les additionner de $\theta=\alpha$ à $\theta=\beta$ :
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- Carré du rayon, divisé par deux, et intégré sur l'intervalle angulaire.
The area enclosed by $r=f(\theta)$ is... · L'aire enfermée par $r=f(\theta)$ est...
Half the integral of $r^2$. · Moitié de l'intégrale de $r^2$.
Why the $\tfrac12 r^2$
- The area of a full circular sector of radius $r$ and angle $\Delta\theta$ is $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$.
- Our thin slices are exactly these sectors with $\Delta\theta\to d\theta$.
- Summing them (integrating) accumulates the swept-out region.
- It's the polar analog of "sum thin rectangles," using pie slices instead.
Pourquoi le $\tfrac12 r^2$
- L'aire d'un secteur circulaire complet de rayon $r$ et d'angle $\Delta\theta$ est $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$.
- Nos fines tranches sont exactement ces secteurs avec $\Delta\theta\to d\theta$.
- Les additionner (intégrer) accumule la région balayée.
- C'est l'analogue polaire de « additionner de fins rectangles », en utilisant des tranches d'angle au lieu de cela.
Thin sectors sweep the area · De fins secteurs balayent l'aire
A polar region is summed from thin pie-slice sectors, each of area $\tfrac12 r^2\,d\theta$. · Une région polaire est sommée à partir de fins secteurs en forme de part de tarte, chacun d'aire $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
The polar area formula sums the areas of thin circular ____. · La formule d'aire polaire somme les aires de fins ____ circulaires.
Each sector has area $\tfrac12 r^2\,d\theta$. · Chaque secteur a une aire $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
Choosing the angle limits
- The limits $\alpha,\beta$ are the angles over which the curve sweeps the region once.
- For one full loop of a simple curve, that's often $0$ to $2\pi$ — but many curves close in less.
- A petal of a rose $r=\cos(3\theta)$ sweeps between consecutive zeros of $r$.
- Pick limits that trace the region exactly once (no double-counting).
Choisir les limites angulaires
- Les limites $\alpha,\beta$ sont les angles sur lesquels la courbe balaye la région une fois.
- Pour une boucle complète d'une courbe simple, c'est souvent $0$ à $2\pi$ — mais beaucoup de courbes se ferment plus vite.
- Une pétale d'une rose $r=\cos(3\theta)$ est balayée entre les zéros consécutifs de $r$.
- Choisissez des limites qui traçent la région exactement une fois (pas de double comptage).
Find the area enclosed by $r=2$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ (as a multiple of $\pi$, enter the number). · Trouvez l'aire enfermée par $r=2$ : $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ (en tant que multiple de $\pi$, entrez le nombre).
$\tfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
The polar area formula includes a factor of $\tfrac12$ and squares $r$. · La formule d'aire polaire inclut un facteur de $\tfrac12$ et élève $r$ au carré.
$A=\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
The angle limits $\alpha,\beta$ should be chosen so the curve traces the region... · Les limites angulaires $\alpha,\beta$ doivent être choisies pour que la courbe trace la région...
Tracing more than once double-counts area. · Tracer plus d'une fois double compte l'aire.
The polar formula gives $4\pi$ for $r=2$, which matches... · La formule polaire donne $4\pi$ pour $r=2$, ce qui correspond à...
$\pi(2)^2=4\pi$ — the two agree. · $\pi(2)^2=4\pi$ — les deux concordent.
The formula is $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ — don't forget the $\tfrac12$ or the square on $r$. And choose $\alpha,\beta$ so the curve traces the region exactly once: overshooting the angle range double-counts area (a full rose petal, for instance, needs the angles between two consecutive $r=0$ values, not $0$ to $2\pi$).
La formule est $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ — n'oubliez pas le $\tfrac12$ ni le carre sur $r$. Et choisissez $\alpha,\beta$ pour que la courbe trace la région exactement une fois : dépasser la plage angulaire compte deux fois la surface (une pétale entière de rose, par exemple, a besoin des angles entre deux valeurs de $r=0$ consécutives, pas de $0$ à $2\pi$).
Find the area enclosed by $r=2$ (a circle of radius $2$).
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- This matches the familiar circle area $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$. ✓
Trouvez l'aire délimitée par $r=2$ (un cercle de rayon $2$).
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- Cela correspond à l'aire familière du cercle $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$. ✓
The area enclosed by a polar curve $r=f(\theta)$ is $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$ — summing thin sectors $\frac12 r^2\,d\theta$. Keep the $\frac12$ and the square, and choose the angle limits so the region is traced exactly once.
L'aire délimitée par une courbe polaire $r=f(\theta)$ est $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$ — additionnant des secteurs minces $\frac12 r^2\,d\theta$. Gardez le $\frac12$ et le carre, et choisissez les limites angulaires pour que la région soit tracée exactement une fois.