Evaluating Improper Integrals · Évaluation des intégrales impropre
| English | Français |
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| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | intégrale impropre |
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | limite infinie |
| unbounded integrand/ʌnˈbaʊndɪd ˈɪntɪɡrænd/ | integrande non borné |
Integrating over the infinite (or the unbounded)
- A normal definite integral has finite limits and a finite integrand. An improper integral 反常积分 breaks one of those.
- Two ways it goes improper: an infinite limit 无穷极限 of integration (like $\int_1^\infty$), or an unbounded integrand 无界被积函数 (a vertical asymptote inside the interval).
- We can't just "plug in $\infty$" or evaluate at a blow-up, so we use a limit.
- The integral converges if that limit is a finite number, and diverges otherwise.
Intégrer sur l'infini (ou sur un intervalle non borné)
- Une intégrale définie normale a des limites finies et une intégrande finie. Une intégrale impropre 反常积分 viole l'une de ces conditions.
- Deux façons dont cela devient impropre : une limite infinie 无穷极限 d'intégration (comme $\int_1^\infty$), ou un intégrande non borné 无界被积函数 (un asymptote vertical à l'intérieur de l'intervalle).
- Nous ne pouvons pas simplement « substituer $\infty$ » ou évaluer au point d'explosion, donc nous utilisons une limite.
- L'intégrale converge si cette limite est un nombre fini, et diverge sinon.
An integral is improper when... · Une intégrale est impropre lorsque...
Infinite limit or unbounded integrand → improper. · Limite infinie ou intégrande non borné → impropre.
You can evaluate an improper integral by directly substituting $\infty$ into the antiderivative. · Vous pouvez évaluer une intégrale impropre en substituant directement $\infty$ dans la primitive.
You must take a limit instead. · Vous devez prendre une limite à la place.
Infinite limits → a limit
- Replace the infinite limit with a variable, integrate, then let it run to infinity:
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$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- Compute the ordinary integral up to $b$, then take the limit as $b\to\infty$.
- If the limit is finite, the improper integral converges to it.
Limites infinies → une limite
- Remplacez la limite infinie par une variable, intégrez, puis laissez-la tendre vers l'infini :
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$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- Calculez l'intégrale ordinaire jusqu'à $b$, puis prenez la limite quand $b\to\infty$.
- Si la limite est finie, l'intégrale impropre converge vers celle-ci.
The infinite tail under 1/x² · La queue infinie sous 1/x²
y = 1/x²
The area under $1/x^2$ from $1$ to · à $\infty$ is finite ($=1$) even though the region never ends — a convergent improper integral. · L'aire sous $1/x^2$ de $1$ à $\infty$ est finie ($=1$) bien que la région ne s'arrête jamais — une intégrale impropre convergente.
$\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ is defined as... · $\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ est défini comme...
It is the limit of the proper integral. · C'est la limite de l'intégrale propre.
Unbounded integrand → a limit at the trouble point
- If $f$ blows up at an endpoint $c$, approach it with a limit instead of evaluating there:
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ (and similarly from the other side).
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$ is improper at $0$ — take $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$.
- Same principle: sneak up on the singularity with a limit.
Intégrande non borné → une limite au point problématique
- Si $f$ explose à une extrémité $c$, approchez-la par une limite plutôt qu'en évaluant directement là :
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ (et de même depuis l'autre côté).
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$ est impropre à $0$ — prenez $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$.
- Même principe : approchez la singularité par une limite.
Evaluate · Évaluer $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$. · Évaluez $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
$\lim_{b\to\infty}(1-\tfrac1b)=1$.
Converge or diverge
- Converges: the limit is a finite number — that number is the value.
- Diverges: the limit is infinite or does not exist — the integral has no finite value.
- A famous pair: $\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$ diverges, but $\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$ converges (to $1$).
- The difference — same-looking integrands, opposite fates — is the whole point.
Converger ou diverger
- Converge : la limite est un nombre fini — ce nombre est la valeur.
- Diverge : la limite est infinie ou n'existe pas — l'intégrale n'a pas de valeur finie.
- Une paire célèbre : $\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$ diverge, mais $\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$ converge (vers $1$).
- La différence — des intégrandes semblables, des destins opposés — est tout le point.
What happens to $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$? · Que se passe-t-il avec $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$ ?
$\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → diverges. · $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → diverge.
An improper integral ____ if its defining limit is a finite number. · Une intégrale impropre ____ si sa limite définissante est un nombre fini.
Finite limit → converges. · Limite finie → converge.
You cannot treat an improper integral like a normal one — plugging in $\infty$ or a blow-up point is meaningless. Always rewrite it as a limit and evaluate that limit. And spot interior singularities: if the integrand blows up inside $[a,b]$, split the integral at that point and handle each piece separately.
Vous ne pouvez pas traiter une intégrale impropre comme une normale — substituer $\infty$ ou un point d'explosion n'a aucun sens. Réécrivez toujours comme une limite et évaluez cette limite. Et repérez les singularités intérieures : si l'intégrande explose à l'intérieur de $[a,b]$, divisez l'intégrale à ce point et traitez chaque morceau séparément.
Evaluate $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
- Rewrite: $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$.
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- The limit is finite, so the integral converges to $1$.
Évaluez $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
- Réécrivez : $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$.
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- La limite est finie, donc l'intégrale converge vers $1$.
An improper integral has an infinite limit or an unbounded integrand. Rewrite it as a limit of a proper integral: $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (or a limit approaching a singularity). It converges if the limit is finite, and diverges otherwise.
Une intégrale impropre a une limite infinie ou une intégrande non bornée. Réécrivez-la comme une limite d'une intégrale propre : $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (ou une limite approchant une singularité). Elle converge si la limite est finie, et diverge sinon.