Determining Intervals on Which a Function Is Increasing or Decreasing · Détermination des intervalles sur lesquels une fonction est croissante ou décroissante
| English | Français |
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| sign of the first derivative/saɪn ɒvðə fɜːst dɪˈrɪvətɪv/ | signe de la dérivée première |
| sign chart/saɪn tʃɑːt/ | tableau de signes |
The sign of $f'$ tells the story
- Where a curve rises or falls is written in the sign of the first derivative 一阶导数的符号.
- $f'(x)>0$ on an interval → $f$ is increasing there (going uphill).
- $f'(x)<0$ → $f$ is decreasing (going downhill).
- So to map out where $f$ climbs and drops, you just track the sign of $f'$.
Le signe de $f'$ raconte l'histoire
- Le sens de montée ou de descente d'une courbe est donné par le signe de la dérivée première 一阶导数的符号.
- $f'(x)>0$ sur un intervalle → $f$ est croissante là (montée en côte).
- $f'(x)<0$ → $f$ est décroissante (descente en pente).
- Donc pour cartographier où $f$ grimpe et tombe, suivez simplement le signe de $f'$.
Uphill where f′ > 0 · Montée où f′ > 0
y = ax³ + cx
The curve climbs where its slope is positive and falls where negative — the sign of $f'$ maps every stretch. · La courbe monte où sa pente est positive et descend où elle est négative — le signe de $f'$ cartographie chaque segment.
A function is increasing on an interval exactly when... · Une fonction est croissante sur un intervalle exactement lorsque...
Positive first derivative means increasing. · Une première dérivée positive signifie croissant.
Build a sign chart
- Start by finding the critical points (where $f'=0$ or is undefined) — these split the number line.
- Draw a sign chart 符号表: mark the critical points, creating open intervals between them.
- Pick a test point in each interval and check the sign of $f'$ there.
- One sign per interval is enough — $f'$ can't change sign without passing through a critical point.
Construire un tableau de signes
- Commencez par trouver les points critiques (où $f'=0$ ou est indéfini) — cela divise la droite numérique.
- Tracez un tableau de signes 符号表 : marquez les points critiques, créant des intervalles ouverts entre eux.
- Choisissez un point de test dans chaque intervalle et vérifiez le signe de $f'$ là.
- Un seul signe par intervalle suffit — $f'$ ne peut changer de signe sans passer par un point critique.
For · Pour $f'(x)=3(x-1)(x+1)$, evaluate $f'(0)$ to test the middle interval. · Pour $f'(x)=3(x-1)(x+1)$, évaluer $f'(0)$ pour tester l'intervalle central.
$3(-1)(1)=-3<0$, so $f$ is decreasing on $(-1,1)$. · $3(-1)(1)=-3<0$, donc $f$ est décroissant sur $(-1,1)$.
The critical points split the number line into intervals for a ____ chart of $f'$. · Les points critiques divisent la droite numérique en intervalles pour un tableau de ____ de $f'$.
A sign chart tracks where $f'$ is positive or negative. · Un tableau de signes suit où $f'$ est positif ou négatif.
Read off the intervals
- Each interval where $f'>0$ is an interval of increase; each where $f'<0$ is an interval of decrease.
- Write them in interval notation: e.g. increasing on $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.
- Use the function's domain as the outer boundaries.
- (Whether to include a critical point is a convention detail; the AP usually accepts open intervals.)
Lire les intervalles
- Chaque intervalle où $f'>0$ est un intervalle de croissance ; chaque où $f'<0$ est un intervalle de décroissance.
- Écrivez-les en notation d'intervalle : ex. croissant sur $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.
- Utilisez le domaine de la fonction comme limites extérieures.
- (Si inclure un point critique est une question de convention ; l'AP accepte généralement les intervalles ouverts.)
For · Pour $f(x)=x^3-3x$ (critical points $\pm1$), select all · tout intervals of increase. · Pour $f(x)=x^3-3x$ (points critiques $\pm1$), sélectionner tous les intervalles d'augmentation.
$f'>0$ outside $[-1,1]$; decreasing in between. · $f'>0$ hors de $[-1,1]$ ; décroissant entre.
Why it works
- Between two consecutive critical points, $f'$ keeps one sign — no sign flip without a zero or a break.
- So one test value settles the whole interval.
- This sign information is the foundation of the First Derivative Test (next lesson).
- Increasing/decreasing behavior is exactly what a rate function encodes.
Pourquoi ça marche
- Entre deux points critiques consécutifs, $f'$ garde un seul signe — pas de retournement de signe sans zéro ou cassure.
- Donc une seule valeur de test règle tout l'intervalle.
- Ces informations de signe constituent la base du Test de la Dérivée Première (prochaine leçon).
- Le comportement croissant/décroissant est exactement ce qu'une fonction de taux encode.
A function that is negative (below the $x$-axis) can still be increasing. · Une fonction qui est négative (en dessous de l'axe $x$) peut encore être croissante.
Increasing depends on $f'>0$, not the sign of $f$. · Croissant dépend de $f'>0$, pas du signe de $f$.
One test point settles a whole interval because $f'$ cannot change sign without... · Un seul point de test fixe un intervalle entier car $f'$ ne peut changer de signe sans...
A sign change requires a zero or an undefined point of $f'$. · Un changement de signe nécessite un zéro ou un point non défini de $f'$.
Track the sign of $f'$, not the sign of $f$. A function can be negative yet increasing (e.g. rising from $-5$ toward $-1$). "Increasing" means the outputs are getting larger ($f'>0$), regardless of whether $f$ itself is above or below the $x$-axis.
Suivez le signe de $f'$, pas le signe de $f$. Une fonction peut être négative tout en étant croissante (ex. montant de $-5$ vers $-1$). « Croissant » signifie que les sorties augmentent ($f'>0$), peu importe si $f$ elle-même est au-dessus ou en dessous de l'axe $x$.
Where is $f(x)=x^3-3x$ increasing?
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$; critical points $x=-1,1$.
- Test $x=-2$: $f'>0$. Test $x=0$: $f'=-3<0$. Test $x=2$: $f'>0$.
- Increasing on $(-\infty,-1)$ and $(1,\infty)$; decreasing on $(-1,1)$.
Où $f(x)=x^3-3x$ est-elle croissante ?
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ ; points critiques $x=-1,1$.
- Testez $x=-2$ : $f'>0$. Testez $x=0$ : $f'=-3<0$. Testez $x=2$ : $f'>0$.
- Croissante sur $(-\infty,-1)$ et $(1,\infty)$ ; décroissante sur $(-1,1)$.
The sign of $f'$ determines monotonic behavior: $f'>0$ → increasing, $f'<0$ → decreasing. Split the number line at the critical points, build a sign chart with one test point per interval, and read off the intervals of increase and decrease. Track the sign of $f'$, not of $f$.
Le signe de $f'$ détermine le comportement monotone : $f'>0$ → croissant, $f'<0$ → décroissant. Séparez la droite numérique aux points critiques, construisez un tableau de signes avec un point de test par intervalle, et lisez les intervalles de croissance et de décroissance. Suivez le signe de $f'$, pas celui de $f$.