Estimation des valeurs de limite à partir de graphiques
| English | Français |
|---|---|
| left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/ | limite gauche |
| right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/ | limite droite |
| hole/həʊl/ | trou |
| jump/dʒʌmp/ | saut |
| unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/ | sans limites |
| oscillation/ˌɒsɪˈleɪʃn/ | oscillation |
Lire la limite directement sur l'image
- Étant donné un graphique, vous pouvez souvent voir une limite sans algèbre.
- Posez votre doigt sur la courbe un peu à gauche de $x=c$ et suivez-la vers $c$ : quelle hauteur visez-vous ?
- Faites la même chose depuis la droite. Si les deux doigts visent la même hauteur, cette hauteur est la limite.
- L'astuce : regardez où la courbe va, et ignorez tout point tracé unique à $x=c$.
Suivez la courbe vers un point
y = ax² + bx + c
Glissez vers une entrée depuis la gauche et la droite — la limite est la hauteur partagée que la courbe s'approche, peu importe ce qu'un point isolé pourrait indiquer.
Pour lire $\lim_{x\to c} f(x)$ à partir d'un graphique, vous devez regarder...
Une limite est la hauteur partagée approchée des deux côtés — le point en $c$ est irrelevant.
Gauche et droite, lire séparément
- Tracez depuis la gauche uniquement → la limite gauche 左极限 $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$.
- Tracez uniquement depuis la droite → la limite à droite 右极限 $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$.
- Sur un graphique, un point plein ● signifie que le point est sur la courbe ; un point ouvert ○ (un trou 洞) signifie qu'il ne l'est pas.
- La limite ignore si le point est plein ou ouvert — elle ne s'intéresse qu'à l'approche.
Un graphique monte régulièrement et, juste à gauche de $x=5$, la courbe passe par les hauteurs $2.9, 2.99, 2.999$. Estimez $\lim_{x\to 5^-} f(x)$.
Les valeurs de gauche convergent vers $3$, donc la limite latérale gauche est $3$.
Quand la limite n'existe pas
- Trois formes graphiques classiques font échouer une limite (DNE) :
- Un saut 跳跃 : les deux côtés convergent vers des hauteurs différentes.
- Une infinie 无界 explosion : la courbe fonce vers $\pm\infty$ près d'une asymptote verticale.
- Une oscillation 振荡 : la courbe vibre infiniment vite (comme $\sin\frac1x$) et ne se stabilise jamais.
Si le côté gauche d'un graphique tend vers $2$ et le côté droit vers $6$, la limite n'existe pas à cause d'une ____.
Des hauteurs unilatérales différentes signifient une discontinuité de saut, donc la limite bilatérale est DNE.
À partir d'un graphique, sélectionnez toutes les caractéristiques qui empêchent $\lim_{x\to c} f(x)$ d'exister.
Les explosions, les sauts et l'oscillation tuent tous une limite. Un trou évitable ne le fait pas — les deux côtés s'accordent toujours.
Le point à $c$ est un leurre
- La hauteur que la courbe vise, $\lim_{x\to c}f(x)$, est une question séparée de la valeur tracée $f(c)$.
- Une courbe peut tendre doucement vers $4$ tandis qu'un point isolé est placé à $f(c)=1$ — la limite reste $4$.
- $f(c)$ peut même être indéfini (un trou) alors que la limite existe.
- Répondez donc toujours à deux questions séparément : où va la courbe ? et y a-t-il un point, et où ?
Si le graphique montre un trou ouvert en $(2,4)$ et un point plein en $(2,1)$, alors $\lim_{x\to 2} f(x) = 4$.
La courbe approche de la hauteur $4$ des deux côtés, donc la limite est $4$ ; le point plein n'est que $f(2)=1$.
Une courbe lisse passe par la hauteur $7$ en $x=3$ sans trou ni autre point. Quelles sont $f(3)$ et $\lim_{x\to 3} f(x)$ ?
Sans trou ni saut, la courbe est continue là, donc limite $= f(3) = 7$.
Un piège courant : lire $f(c)$ (le point tracé) quand la question demande $\lim_{x\to c}f(x)$ (l'approche). Ce sont différents. Si vous voyez un point plein flottant au-dessus d'une courbe lisse, la limite est la hauteur de la courbe — pas celle du point.
Sur un graphique : près de $x=2$, la courbe monte vers un trou à la hauteur $4$, et un point plein est tracé à $(2,\,1)$.
- Limite à gauche : direction $4$. Limite à droite : direction $4$.
- Les deux concordent, donc $\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x) = 4$.
- Mais $f(2) = 1$ (le point plein). Valeur de fonction pour la limite $\neq$ ici.
Pour lire une limite sur un graphique, tracez la courbe vers $c$ depuis les deux côtés et demandez-vous quelle hauteur vous visez ; le point tracé à $c$ est un leurre. La limite est DNE lorsque les côtés donnent des hauteurs différentes (saut), que la courbe est infinie, ou qu'elle oscille sans fin.