Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes · Volume avec la méthode des disques : rotation autour d'autres axes
Spinning around a shifted line
- What if you revolve a region not around an axis, but around a line like $y=-1$ or $x=3$?
- The disc method still works — you just measure the radius from the curve to that shifted axis.
- The formula $V=\pi\int R^2$ is unchanged; only $R$ needs adjusting.
- Getting the radius right is the whole game.
Tournement autour d'une ligne décalée
- Que se passe-t-il si vous tournez une région non autour d'un axe, mais autour d'une ligne comme $y=-1$ ou $x=3$ ?
- La méthode du disque fonctionne toujours — il suffit de mesurer le rayon de la courbe à cet axe décalé.
- La formule $V=\pi\int R^2$ reste inchangée ; seul $R$ doit être ajusté.
- Bien identifier le rayon est toute la question.
Radius = distance to the new axis
- Revolving about a horizontal line $y=k$: the radius is the vertical gap $R=|f(x)-k|$.
- Revolving about a vertical line $x=k$: the radius is the horizontal gap $R=|g(y)-k|$.
- Subtract the axis's value from the curve's value (in the right variable) to get the distance.
- Then square, multiply by $\pi$, and integrate as usual.
Rayon = distance vers le nouvel axe
- Rotation autour d'une ligne horizontale $y=k$ : le rayon est l'écart vertical $R=|f(x)-k|$.
- Rotation autour d'une ligne verticale $x=k$ : le rayon est l'écart horizontal $R=|g(y)-k|$.
- Soustrayez la valeur de l'axe de celle de la courbe (dans la bonne variable) pour obtenir la distance.
- Ensuite élevez au carré, multipliez par $\pi$, et intégrez comme d'habitude.
The curve above a shifted axis · La courbe au-dessus d'un axe décalé
y = a·√x
Revolving about $y=-1$ makes the radius reach from the curve down to that line — $R=f(x)+1$, larger than $f(x)$. · Rotation autour de $y=-1$ fait que le rayon atteint de la courbe jusqu'à cette ligne — $R=f(x)+1$, plus grand que $f(x)$.
Revolving $y=f(x)$ about the line $y=-1$, the radius is... · Rotation de $y=f(x)$ autour de la droite $y=-1$, le rayon est...
Distance from $f(x)$ down to $y=-1$ is $f(x)-(-1)=f(x)+1$. · La distance de $f(x)$ vers le bas jusqu'à $y=-1$ est $f(x)-(-1)=f(x)+1$.
Revolving about $y=k$ (below the region), the radius of a curve $f(x)$ is... · Rotation autour de $y=k$ (en dessous de la région), le rayon d'une courbe $f(x)$ est...
Curve value minus axis value: $f(x)-k$. · Valeur de la courbe moins valeur de l'axe : $f(x)-k$.
Revolving about a vertical line $x=k$, the radius is the ____ distance $|g(y)-k|$. · Rotation autour d'une droite verticale $x=k$, le rayon est la ____ distance $|g(y)-k|$.
For a vertical axis, measure horizontally. · Pour un axe vertical, mesurez horizontalement.
Axis below the region
- If the axis $y=k$ is below the region, the curve is above it, so $R=f(x)-k$ (a positive gap).
- Example: revolving about $y=-1$ a curve at height $f(x)$ gives radius $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$.
- The "$+1$" is the extra distance down to the shifted axis.
- Always draw it: the radius reaches from the curve to the axis.
Axe sous la région
- Si l'axe $y=k$ est sous la région, la courbe est au-dessus, donc $R=f(x)-k$ (un écart positif).
- Exemple : rotation autour de $y=-1$ d'une courbe à la hauteur $f(x)$ donne un rayon $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$.
- Le "$+1$" est la distance supplémentaire vers le bas jusqu'à l'axe décalé.
- Dessinez-le toujours : le rayon part de la courbe vers l'axe.
If the axis $y=3$ lies above the region (curve $f(x)<3$), the radius is... · Si l'axe $y=3$ se trouve au-dessus de la région (courbe $f(x)<3$), le rayon est...
Distance is axis minus curve: $3-f(x)$ (a positive gap). · La distance est axe moins courbe : $3-f(x)$ (un écart positif).
Don't reuse the plain-axis radius
- The most common error is forgetting to shift: using $R=f(x)$ when the axis is $y=-1$.
- That underestimates the radius by the shift amount, giving a wrong (too small) volume.
- Rewrite the radius as (curve value) $-$ (axis value) every time the axis isn't $y=0$ or $x=0$.
- Sketching the distance segment prevents this slip.
Ne réutilisez pas le rayon d'axe simple
- L'erreur la plus courante est d'oublier le décalage : utiliser $R=f(x)$ quand l'axe est $y=-1$.
- Cela sous-estime le rayon de la quantité du décalage, donnant un volume faux (trop petit).
- Réécrivez le rayon comme (valeur de la courbe) $-$ (valeur de l'axe) chaque fois que l'axe n'est pas $y=0$ ou $x=0$.
- Esquisser le segment de distance évite cette erreur.
When revolving about $y=-1$, you can still use radius $R=f(x)$. · Lors de la rotation autour de $y=-1$, vous pouvez encore utiliser le rayon $R=f(x)$.
You must shift: $R=f(x)+1$. · Vous devez décaler : $R=f(x)+1$.
Revolving $y=\sqrt x$ on $[0,4]$ about $y=-1$ gives radius $\sqrt x+1$, so $V=$ · La rotation de $y=\sqrt x$ sur $[0,4]$ autour de $y=-1$ donne un rayon $\sqrt x+1$, donc $V=$
$\pi\int_0^4(x+2\sqrt x+1)\,dx=\pi(8+\tfrac{32}{3}+4)=\tfrac{68\pi}{3}$.
For a shifted axis, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $R=f(x)-k$ for $y=k$ — not just $f(x)$. Revolving about $y=-1$ makes the radius larger (add $1$); about $y=3$ above the region makes it $3-f(x)$. Always measure to the correct axis before squaring.
Pour un axe décalé, le rayon est la distance de la courbe à cette ligne, ex. $R=f(x)-k$ pour $y=k$ — pas seulement $f(x)$. Tournant autour de $y=-1$ rend le rayon plus grand (ajoutez $1$) ; autour de $y=3$ au-dessus de la région, il devient $3-f(x)$. Mesurez toujours vers le bon axe avant de squarer.
Revolve the region between $y=\sqrt x$ and the line $y=-1$ on $[0,4]$ about $y=-1$. (The region reaches down to the axis, so each slice sweeps a solid disc — no hole.)
- Radius reaches from the curve down to $y=-1$: $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
Faites tourner la région entre $y=\sqrt x$ et la ligne $y=-1$ sur $[0,4]$ autour de $y=-1$. (La région descend jusqu'à l'axe, donc chaque tranche balaye un disque solide — pas de trou.)
- Le rayon descend de la courbe vers $y=-1$ : $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
The disc method about a shifted axis keeps $V=\pi\int R^2$, but the radius is the distance from the curve to that line: $R=f(x)-k$ for $y=k$, or $g(y)-k$ for $x=k$. Adjust $R$ for the shift (an axis below the region adds to the radius); never reuse the plain-axis radius.
La méthode du disque autour d'un axe décalé garde $V=\pi\int R^2$, mais le rayon est la distance de la courbe à cette ligne : $R=f(x)-k$ pour $y=k$, ou $g(y)-k$ pour $x=k$. Ajustez $R$ pour le décalage (un axe sous la région ajoute au rayon) ; ne réutilisez jamais le rayon d'axe simple.