Finding Particular Solutions Using Initial Conditions and Separation of Variables · Trouver des solutions particulières en utilisant des conditions initiales et la séparation des variables
| English | Français |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | condition initiale |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solution particulière |
Pinning down the one true curve
- The general solution is a family with a constant $C$. Reality wants one curve.
- An initial condition 初始条件 — a known point $\big(x_0,y_0\big)$ — selects that single member.
- Solve the equation generally, then use the point to find $C$.
- The result is the particular solution 特解 for that situation.
Fixer la vraie courbe unique
- La solution générale est une famille avec une constante $C$. La réalité veut une courbe.
- Une condition initiale 初始条件 — un point connu $\big(x_0,y_0\big)$ — sélectionne ce membre unique.
- Résolvez l'équation généralement, puis utilisez le point pour trouver $C$.
- Le résultat est la solution particulière 特解 pour cette situation.
The single curve chosen by an initial condition is the ____ solution. · La unique courbe choisie par une condition initiale est la solution ____.
One member of the general family. · Un membre de la famille générale.
The full procedure
- 1. Separate the variables and integrate both sides (with $+C$) — the general solution.
- 2. Substitute the initial condition $\big(x_0,y_0\big)$ to solve for $C$.
- 3. Put that $C$ back in and simplify.
- 4. If asked, solve explicitly for $y$.
La procédure complète
- 1. Séparez les variables et intégrez les deux côtés (avec $+C$) — la solution générale.
- 2. Substituez la condition initiale $\big(x_0,y_0\big)$ pour résoudre $C$.
- 3. Remettez cette $C$ en place et simplifiez.
- 4. Si demandé, résolvez explicitement pour $y$.
The initial point picks one curve · Le point initial choisit une courbe
The general solution is a whole family; the initial condition $y(x_0)=y_0$ selects the single curve through that point. · La solution générale est une famille entière ; la condition initiale $y(x_0)=y_0$ sélectionne la unique courbe passant par ce point.
You apply the initial condition to find $C$... · Vous appliquez la condition initiale pour trouver $C$...
Get the general solution first, then use the point for $C$. · Obtenez d'abord la solution générale, puis utilisez le point pour $C$.
Order the steps for a particular solution. · Classez les étapes pour une solution particulière.
Separate, integrate, apply the point, simplify. · Séparer, intégrer, appliquer le point, simplifier.
A worked particular solution
- Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=3$.
- General solution (from last lesson): $y=A\,e^{x^2/2}$.
- Apply the point: $3 = A\,e^{0}=A$, so $A=3$.
- Particular solution: $y=3\,e^{x^2/2}$.
Une solution particulière résolue étape par étape
- Résolvez $\dfrac{dy}{dx}=xy$ avec $y(0)=3$.
- Solution générale (de la dernière leçon) : $y=A\,e^{x^2/2}$.
- Appliquez le point : $3 = A\,e^{0}=A$, donc $A=3$.
- Solution particulière : $y=3\,e^{x^2/2}$.
For · Pour $y=x^2+C$ with $y(1)=5$, find $C$. · Pour $y=x^2+C$ avec $y(1)=5$, trouvez $C$.
$5=1+C\Rightarrow C=4$.
The particular solution is $y=x^2+4$. Find $y(3)$. · La solution particulière est $y=x^2+4$. Trouvez $y(3)$.
$3^2+4=13$.
For · Pour $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with $y(0)=3$ (general $y=Ae^{x^2/2}$), the particular solution is... · Pour $\dfrac{dy}{dx}=xy$ avec $y(0)=3$ (général $y=Ae^{x^2/2}$), la solution particulière est...
$y(0)=A=3$, so $y=3e^{x^2/2}$. · $y(0)=A=3$, donc $y=3e^{x^2/2}$.
Watch the domain
- Solving for $y$ may involve $\ln$, roots, or reciprocals — mind where the solution is valid.
- The particular solution usually lives on an interval containing $x_0$, not necessarily all real $x$.
- A sign or an absolute value may need resolving using the given point (e.g. $y_0>0$ picks the $+$ branch).
- State the domain when the algebra restricts it.
Surveiller le domaine
- Résoudre pour $y$ peut impliquer $\ln$, des racines ou des inverses — faites attention à là où la solution est valide.
- La solution particulière vit généralement sur un intervalle contenant $x_0$, pas nécessairement tous les réels $x$.
- Un signe ou une valeur absolue peut nécessiter une résolution en utilisant le point donné (ex. : $y_0>0$ sélectionne la branche $+$).
- Indiquez le domaine lorsque l'algèbre le restreint.
Apply the initial condition after integrating, to find $C$ — not before. And use the point to resolve any sign/branch ambiguity: if $\ln|y|=\dots$ and $y_0>0$, drop the absolute value as $y>0$. Substituting the point too early (like in separation of variables' warning) loses the general family.
Appliquez la condition initiale après l'intégration, pour trouver $C$ — pas avant. Et utilisez le point pour lever toute ambiguïté de signe/branche : si $\ln|y|=\dots$ et $y_0>0$, supprimez la valeur absolue comme $y>0$. Substituer le point trop tôt (comme dans l'avertissement de séparation des variables) perd la famille générale.
Solve $\dfrac{dy}{dx}=2x$ with $y(1)=5$.
- General solution: $y=x^2+C$.
- Apply $y(1)=5$: $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$.
- Particular solution: $y=x^2+4$.
Résolvez $\dfrac{dy}{dx}=2x$ avec $y(1)=5$.
- Solution générale : $y=x^2+C$.
- Appliquez $y(1)=5$ : $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$.
- Solution particulière : $y=x^2+4$.
A particular solution is the one member of the general family fixed by an initial condition. Solve generally (integrate, keep $+C$), substitute the point $\big(x_0,y_0\big)$ to find $C$, and simplify. Use the point to settle any sign/branch and note the valid domain.
Une solution particulière est le membre unique de la famille générale fixé par une condition initiale. Résolvez généralement (intégrez, gardez $+C$), substituez le point $\big(x_0,y_0\big)$ pour trouver $C$, et simplifiez. Utilisez le point pour trancher toute question de signe/branche et notez le domaine valide.