Verifying Solutions for Differential Equations · Vérification des solutions pour les équations différentielles
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| solution/səˈluːʃn/ | solution |
Is this function actually a solution?
- Before solving a differential equation, you should be able to check a proposed answer.
- A solution 解 of a differential equation is a function that makes the equation true.
- The test is purely mechanical: differentiate the candidate and substitute.
- If both sides match for all $x$, it's a solution; if not, it isn't.
Cette fonction est-elle réellement une solution ?
- Avant de résoudre une équation différentielle, vous devriez pouvoir vérifier une proposition de réponse.
- Une solution 解 d'une équation différentielle est une fonction qui rend l'équation vraie.
- Le test est purement mécanique : dérivez le candidat et substituez.
- Si les deux côtés correspondent pour tout $x$, c'est une solution ; sinon, ce n'en est pas une.
The verification recipe
- 1. Take the candidate function and compute its derivative(s).
- 2. Substitute the function and its derivatives into the differential equation.
- 3. Simplify both sides and check that they are equal (as identities in $x$).
- No integration needed — verifying is just differentiating and plugging in.
La recette de vérification
- 1. Prenez la fonction candidate et calculez sa(ses) dérivée(s).
- 2. Substituez la fonction et ses dérivées dans l'équation différentielle.
- 3. Simplifiez les deux côtés et vérifiez qu'ils sont égaux (comme identités en $x$).
- Aucune intégration requise — vérifier, c'est juste dériver et insérer.
To verify a candidate solution, you... · Pour vérifier une solution candidate, vous...
Differentiate the candidate, substitute, check both sides match. · Dérivez la candidate, substituez, vérifiez que les deux côtés correspondent.
A worked check
- Does $y=e^{3x}$ solve $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
- Differentiate: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- Substitute into the right side: $3y=3e^{3x}$.
- Left $=$ right ($3e^{3x}=3e^{3x}$), so yes, $y=e^{3x}$ is a solution. ✓
Une vérification détaillée
- $y=e^{3x}$ résout-il $\dfrac{dy}{dx}=3y$ ?
- Différenciez : $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- Substituez dans le côté droit : $3y=3e^{3x}$.
- Gauche $=$ droite ($3e^{3x}=3e^{3x}$), donc oui, $y=e^{3x}$ est une solution. ✓
Solutions of dy/dx = ky · Solutions de dy/dx = ky
Each exponential $y=Ce^{kx}$ threads the slope field — verifying one just confirms its derivative matches $ky$. · Chaque exponentielle $y=Ce^{kx}$ traverse le champ de pentes — vérifier l'une confirme simplement que sa dérivée correspond à $ky$.
$y=e^{3x}$ is a solution of $\dfrac{dy}{dx}=3y$. · $y=e^{3x}$ est une solution de $\dfrac{dy}{dx}=3y$.
$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
Both sides must be equal for ____ values of $x$, not just one, to confirm a solution. · Les deux côtés doivent être égaux pour ____ valeurs de $x$, pas seulement une, pour confirmer une solution.
A solution satisfies the equation identically. · Une solution satisfait l'équation identiquement.
General vs. particular solutions
- $y=Ce^{3x}$ (with any constant $C$) also solves $\dfrac{dy}{dx}=3y$ — the whole family is the general solution.
- Pick a specific $C$ and you get a particular solution.
- Verifying works the same for either: differentiate and check the equation holds.
- The constant carries through the differentiation, so the check still balances.
Solutions générales vs particulières
- $y=Ce^{3x}$ (avec n'importe quelle constante $C$) résout aussi $\dfrac{dy}{dx}=3y$ — toute la famille constitue la solution générale.
- Choisissez une $C$ spécifique et vous obtenez une solution particulière.
- La vérification fonctionne de la même manière pour l'une ou l'autre : dérivez et vérifiez que l'équation tient.
- La constante passe à travers la dérivation, donc la vérification reste équilibrée.
Verifying a given solution requires integrating the differential equation. · Vérifier une solution donnée nécessite d'intégrer l'équation différentielle.
Verifying is differentiate-and-substitute; no integration. · La vérification consiste à dériver et substituer ; aucune intégration n'est requise.
For which constants $C$ does · fait $y=Ce^{3x}$ solve $\dfrac{dy}{dx}=3y$? · Pour quelles constantes $C$ $y=Ce^{3x}$ résout-elle $\dfrac{dy}{dx}=3y$ ?
$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ for all $C$ — the general solution. · $\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ pour tous les $C$ — la solution générale.
Is $y=x^2+C$ a solution of $\dfrac{dy}{dx}=2x$? · $y=x^2+C$ est-elle une solution de $\dfrac{dy}{dx}=2x$ ?
$\frac{dy}{dx}=2x$ regardless of $C$. · $\frac{dy}{dx}=2x$ peu importe $C$.
Verifying is not solving — you're only checking a given candidate, so no integration is involved. Substitute the function and its derivative into the equation and confirm both sides are identical for all $x$, not just at one point. A match at a single $x$ isn't enough.
Vérifier n'est pas résoudre — vous vérifiez uniquement un candidat donné, aucune intégration n'est donc impliquée. Substituez la fonction et sa dérivée dans l'équation et confirmez que les deux côtés sont identiques pour tout $x$, pas seulement en un point. Un accord en un seul $x$ ne suffit pas.
Verify that $y=x^2+C$ solves $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Differentiate: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (the $+C$ vanishes).
- The differential equation says $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Both sides equal $2x$, so $y=x^2+C$ is a solution for every constant $C$. ✓
Vérifiez que $y=x^2+C$ résout $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Dérivez : $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (le $+C$ disparaît).
- L'équation différentielle dit $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Les deux côtés valent $2x$, donc $y=x^2+C$ est une solution pour tout constant $C$. ✓
To verify a solution of a differential equation, differentiate the candidate and substitute it (with its derivatives) into the equation; it's a solution iff both sides are equal for all $x$. No integration required — verifying is differentiate-and-check. A family with a constant $C$ is the general solution.
Pour vérifier une solution d'une équation différentielle, dérivez le candidat et substituez-le (avec ses dérivées) dans l'équation ; c'est une solution si et seulement si les deux côtés sont égaux pour tout $x$. Aucune intégration requise — vérifier, c'est dériver-et-vérifier. Une famille avec une constante $C$ est la solution générale.